Материал: 1510

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вывод.				Касательную плоскость можно провести к поверхности в
точке	~		,	если Fx, Fy ,	Fz в точке	~		одновременно в ноль не
	M	0				M	0

обращаются. Точка, в которой производные одновременно обращаются в ноль, – особая точка поверхности и, следовательно,

касательную плоскость в особой точке провести нельзя.

Замечания:

1) если функция задана явно z f x,y , то уравнение касательной

плоскости можно выписать, линеаризовав сначала эту функцию в окрестности точки;

2) если функция задана неявно F x,y,z 0, то линеаризовать эту функцию можно, предварительно выписав уравнение касательной

плоскости, а затем из него выразить z.

Пример.

x2 y2

Линеаризовать

функцию

окрестности точки

М0 3;4 ,

;

выписать уравнение касательной плоскости в точке М0 3;4;z0

Вычислить

приближенное

значение

функции

точке

М 3,1;3,9 .

Решение.

1. z M0 5 z0; zx

zx M0

2 x2 y2

x2 y2

x 3

y 4

;

x2 y2

y уравнение касательной плоскости в точке М0 3;4;5

к поверхности z

x2 y2

2. z M 3 3,1 4 3,9 4,98.

5 5

Пример. 2x2 z ey еz 1 0.

1. Записать уравнение касательной плоскости в точке M0 1;0;1 . 2. Линеаризовать функцию z в окрестности точки M0 1;0 .

Решение.

Fx 4x; 1. Fy z ey;

Fz ey ez 1;

	~
Fx M0 4;
F	~		1;
F	M		1;
	y ~	0

Fz M0 2.

NM0	4;1;2 или	N 4; 1; 2 .
~
4 x 1 y 2 z 1 0			4x y 2z 2 0 – уравнение
касательной плоскости.
2. Выразим z 2x 1		2y 1 z x, y 2x 1 2y 1.

3.Производные и дифференциалы высших порядков

1.Рассмотрим функцию двух переменных z f x, y .

z		z
				x	производные второго порядка по x	или y.
	xx	x
z		z
			y
	yy	y
z
		y z
	x		xy смешанные производные второго порядка по xy


	zy	x zyx

или yx.

;

zxx

zyy

zxy

zyx

x y

y x

Если функция имеет непрерывные частные производные второго порядка, то ее называют дважды дифференцируемой и тогда она имеет дифференциал второго порядка d2z d dz . Дифференциал

первого порядка имеет вид	dz zxdx zydy,	найдем форму
дифференциала	второго	порядка:

d2z d zxdx zydy d zx dx d zy dy

zxxdx zxydy dx zyxdx zyydy dy.

z zxx dx

zyy dy

zxy zyx dxdy.

Замечание.

Смешанные частные

производные не

зависят

от

порядка дифференцирования, если они непрерывны, т.

е.

zxy zyx.

Для

производных

высших

порядков

замечание также

верно,

т.е.

. Если функция имеет непрерывные частные

zxyx

zyxx

zxxy

производные

третьего

порядка,

то

она

называется

трижды

дифференцируемой

и имеет дифференциал третьего порядка

d3z d d2z .

так

далее до п-го

порядка, функция

п раз

дифференцируема, если существует dnz d dn 1z .

2. Рассмотрим функцию m-переменных

u f x1,...,xm .

Тогда производные первого порядка

uxi

, i

; второго порядка

1,m

;

третьего

порядка

1,m

xix j

x x

uxix jxk

, i 1,m,

j 1,m, k 1,m и т. д.

uxix j xk

4. Формула Тейлора

Пусть

функция

u f x1,...,xm

n 1 раз дифференцируема в

точке

,...,xm

некоторой

ее

окрестности, тогда

полное

приращение функции в этой точке равно сумме дифференциалов до

п-го порядка плюс остаток Rm , зависящий от dn 1u:

d2 f

...

dn f

Rm ;

dn f

f M f M

;

f M f M

...

где точка M x1,...,xm принадлежит окрестности точки

M0.

В окрестности

точки

функцию

приближенно

можно

представить в виде

f M f M

...

dn f

, если функция

дифференцируема п 1 раз.

Вывод.

Если функция

п 1

раз дифференцируема в

точке и

некоторой ее окрестности, то функцию в окрестности этой точки можно заменить многочленом п-й степени относительно переменных x1,...,xm.

Рассмотрим функцию двух переменных z f x,y и представим в

окрестности точки M0 x0,y0 по формуле Тейлора.	dx x x0;
dy y y0, тогда
f x,y f x0,y0 fx x0,y0 x x0 fy x0,y0 y y0

fxx x0,y0 x x0 2 2fxy x0,y0 x x0 y y0 fyy x0,y0 y y0 2

... dn f x0,y0 . n!

Пример. Представить в виде многочлена третьей степени в

окрестности точки M0 0,0 функцию z ex y .

dz ex ydx ex ydy; d2z ex y dx 2 ex y dy 2 2ex ydxdy;

d3z ex y dx 3 ex y dy 3 3ex y dx 2 dy 3ex y dy 2 dx;

ex y 1 x y x2 2xy y2 x3 3x2y 3xy2 y3 . 2! 3!

Замечания:

1) формула линеаризации – частный случай формулы Тейлора,

когда n 1;

2) формулу Тейлора в точке М0 0,...,0 называют формулой Маклорена.

ЛЕКЦИЯ №5

ЛОКАЛЬНЫЕ ЭКСТРЕМУМЫ, НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ИХ СУЩЕСТВОВАНИЯ

1. Понятие локального экстремума
Определение. Рассмотрим u f M , M Rm . Точка	M0 Rm

называется точкой локального минимума (максимума) данной функции, если для всех точек М , принадлежащих окрестности точки

М0, выполнено неравенство f M f M0 f M f M0 или

f M0 0 f M0 0 .

Пример.	Пусть точка	M0 x0,y0 является точкой		локального
z		f M0
z		z
		z
f M0

0	y0	y		y0	y
x0	М0	x0		y0	y
x0	М0	x	М0
	Рис. 11		Рис. 12

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)