Материал: 1510

y в точке M0.

Определение. Частным приращением функции по переменным x

иy в точке M0 называются величины

x z M0 z M1 z M0 f x0 x,y0 f x0,y0 ;

y z M0 z M2 z M0 f x0,y0 y f x0,y0 .

Определение. Полным приращением функции по переменным x

и y в точке M0 называется величина

z M0 z M z M0 f x0 x,y0 y f x0,y0 .

Определение. Частными производными функции z f x,y в

точке M0 по переменным x или y называется предел отношения

частного приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последний стремится к нулю и обозначаются

скорость изменения функции в точке M0 в направлении оси Оx или

Oy.

точке M0 называется главная часть полного приращения функции,

линейная относительно x и y, причем если функция имеет полный

порядка малости, чем x 2 y 2 , т. е. lim x, y 0.

x 0y 0

Если полное приращение функции можно так представить, то функция имеет полный дифференциал и ее называют дифференцируемой в точке, т. е. дифференциал функции есть бесконечно малая величина относительно бесконечно малых x и

y, эквивалентная полному приращению функции.

Теорема (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Функция z f x,y дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке непрерывные частные производные.

Замечания:

1)dz dxz dy z;

2)z x z y z.

Пример. Найти частные приращения, полное приращение,

частные дифференциалы, полный дифференциал, частные производные в точке M0 1;2 функции z xy2 2x 3y.

Решение. Возьмем точки М1 1 x;2 , M2 1;2 y ,

M 1 x;2 y ; тогда x z M0 z M1 z M0

полный дифференциал функции нескольких переменных

Определение. Полным приращением функции в точке M0,

соответствующим приращениям аргументов xi , i 1,m, называется

Определение. Частной производной по i-й переменной функции u f x1,...,xm в точке M0 называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению аргумента xi, когда последний стремится к нулю: