Материал: 1510

Она определяет гиперповерхность в R4.

Рассмотрим функцию т-переменных u f (x1,...,xm), явно заданную, или F(x1,...,xm,u) 0 неявно заданную.

Функция задается аналитически. Определяет гиперповерхность в

Rm 1.

Определение. Поверхностью уровня функции трех переменных u f (x,y,z) называется поверхность, вдоль которой функция принимает постоянное значение, то есть значению u c соответствует поверхность уровня с уравнением f (x,y,z) c.

Пример. Найти поверхности уровня функции u x2 y2 z .

D(u):x2 y2 z 0;

ЛЕКЦИЯ №2

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

1. Предел функции

Определение. Число B называется пределом функции u f (M) в

принадлежит -окрестности числа В, если точка М лежит в -

окрестности точки А.

Определение. Функция u f M не имеет предела в точке A,

Замечания:

1)аналогично функции одной переменной вводятся понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций нескольких переменных в точке и на бесконечности;

2)все свойства предела функции одной переменной верны и для функции нескольких переменных;

3)понятия эквивалентности бесконечно малых и бесконечно больших функций аналогичны понятиям для функции одной переменной.

Определение. Функция u f M ограничена на Q, если существуют константы c1,c2 или c 0, такие, что выполнены

lim cos sin , предел не существует.

0

2. Непрерывность функции в точке и на множестве

функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Точка М0– точка устранимого разрыва, если предел существует,

но не существует f M0 , и тогда функцию можно доопределить,

положив значение функции в этой точке, равным пределу.

Замечания:

1)исходя из определения непрерывности функции в точке и предела функции в точке, можно установить, что все свойства непрерывных функций одной переменной верны и для функций многих переменных: сумма, произведение, частное, суперпозиция непрерывных функций есть непрерывные функции;

2)так же, как элементарные функции одной переменной

непрерывны в своей области определения, элементарные функции многих переменных непрерывны в своей области определения.

Теорема. Всякая непрерывная функция нескольких переменных в замкнутой ограниченной области достигает в ней своего наибольшего и наименьшего значений (либо внутри области, либо на границе).

1

Пример. Исследовать функцию на непрерывность z x2 y2 .

D z :x2 y2 0 или D z R2 0, 0 .

В D z функция непрерывна, т. к. является элементарной.

y 0

Пример. Исследовать функцию на непрерывность z ln x y .

D z :x y 0; D z x,y :x y;x R; y R .

В D z функция непрерывна, т. к. является элементарной.

Q x0,x0 ;x0 R точки разрыва.

lim ln x y точки разрыва второго рода (рис. 9).

x x0 y x0