Материал: 1510

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

в точке M0 называется главная часть полного приращения функции,

линейная относительно приращений аргументов xi и эквивалентная

полному приращению при xi 0, i 1,m. Обозначается полный дифференциал du ux1 x1 ux2 x2 ... uxm xm, так как xi dxi ,

i 1,m для независимых переменных, то полный дифференциал имеет вид du ux1 dx1 ... uxm dxm.

Правило нахождения частных производных

Чтобы найти частную производную от функции m переменных по i-й переменной, нужно зафиксировать все переменные, кроме i-й

и вычислять производную как от функции одной переменной.

Замечания:

1)полный дифференциал для функции нескольких переменных обладает теми же свойствами, что и для одной переменной;

2)полный дифференциал для функции нескольких переменных обладает свойством инвариантности, т. е. сохраняет свой вид независимо от того, являются ли x1,...,xm независимыми

переменными или функциями, т. е. du ux1 dx1 ... uxm dxm .

Пример. Найти частные производные и полный дифференциал

функции u ex2 xy z3 .

ux 2x y ex2 xy z3 ; uy xex2 xy z3 ;		uz 3z2 ex2 xy z3 .
du ex2 xy z3	2x y dx xdy 3z2dz .

Примеры. Найти дифференциалы функции, пользуясь его свойствами.

1) u x2 y3 z4;
du d x2		y3 z4 dx2 dy3 dz4	2xdx 3y2dy 4z3dz,
тогда	ux	2x; uy 3y2 ; uz 4z3;
2)	z xy; dz d xy ydx xdy, тогда			zx y; zy x.

3. Дифференцирование сложных функций

Дифференцирование сложной функции следует из

инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим u f x1 t ,x2 t ,...,xm t .

du	df		dx1		2dx
		f x1		f x		2 ... f xmdxm
dt	dt
					dt

f x1 x1 t f x2 x2 t ... f xm xm t .

Рассмотрим u f x1 t1,...,tk ,x2 t1,...,tk ,...,xm t1,...,tk .

Тогда

...

1,k

x1 ti

4.Производная функции, заданной неявно

1.Рассмотрим функцию одной переменной, заданную неявно:


F x,y 0. Подставим зависимость		y x в уравнение		F x,y 0. Тогда
F x,y x 0 и	dF 0. Отсюда	Fx dx Fy dy 0.		Таким образом,
получили формулу для производной функции y x ,				заданной неявно:
dy dx Fx Fy .	Аналогично получаем		производную		для x y :
dx dy Fy Fx .	Для существования dy dx		или dx dy		необходимо

выполнение условий Fx 0 или Fy 0.

Задача. Составить уравнение касательной к кривой в точке M0,

заданной неявным уравнением F x,y 0.

Решение. Уравнение прямой y y0 k x x0 , где k dydx.

Тогда уравнение касательной к кривой F x,y 0 имеет вид

	Fx x0	,y0

y y0			x x0	Fy x0,y0 . После преобразования
	Fy x0	,y0

получаем уравнение Fx M0 x x0 Fy M0 y y0 0.

NM0 Fx M0 ;Fy M0 – нормаль к касательной в точке M0.

2. Рассмотрим функцию двух переменных F x,y,z , заданную

неявно. Тогда, зафиксировав одну из переменных, получим функцию одной переменной и по пункту 1 получим формулу для нахождения частных производных:

для функции z x,y ;

;

для функции x y,z ;

б) xy

;

в)

;

для функции y x,z .

Замечание.

Fx 0

или Fy 0, или Fz 0 для

существования

частных производных.

Аналогично

получаем

частные производные функции

т-переменных.

Если

функция

т-переменных

имеет вид

F x1,...,xm,u 0,

то частные производные находятся по формулам

uxi

Fxi

, где Fu 0.

1,m

ЛЕКЦИЯ №4

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА

В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ, ЛИНЕАРИЗАЦИЯ

ФУНКЦИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ.

УРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

КПОВЕРХНОСТИ. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

1.Линеаризация функции в окрестности точки

Вокрестности точки M0 x10 ,...,xm0 при достаточно малых


приращениях аргумента		xi i		можно полное приращение
приращениях аргумента		xi i	1,m	можно полное приращение
функции	u f x1,...,xm	заменить			приближенно	полным

дифференциалом u du, эта операция называется линеаризацией.

f M f M0 fx1 M0 x1 ... fxm M0 xm,

где M x1	x1,...,xm	0	xm .
0		0
Обозначим координаты точки М соответственно xi xio xi;
			i	1,m
M x1,...,xm xi xi			xi0 .

Формула примет вид

f M f M0 fx1 M0 x1 x10 ...fxm M0 xm xm0 .

Линеаризация означает, что в окрестности точки M0 функция

u f M заменяется линейной функцией

u f M0 fx1 M0 x1 x10 ... fxm M0 xm xm0 .

Это уравнение касательной гиперплоскости к гиперповерхности

u f M	~		x10,...xm0	,u0 , u0	f M0 .
	в точке M	0

Рассмотрим функцию двух переменных z f x,y , M0 x0,y0 .

Тогда формула линеаризации записывается следующим образом:

f x,y f x0,y0 fx x0,y0 x x0 fy x0,y0 y y0 .

Уравнение касательной плоскости z f x,y к поверхности в

точке M0 x0,y0,z0 , z0 f x0,y0 имеет вид

z z0 fx M0 x x0 fy M0 y y0 .

Неявный вид: fx M0 x x0 fy M0 y y0 z z0 0.

Вектор нормали в точке M0 к касательной плоскости:

NM0 fx M0 ; fy M0 ; 1 .

2. Касательная плоскость к поверхности,

заданной неявным уравнением

Пусть

поверхность задана

уравнением

F x,y,z 0;

точка

,y0,z0 принадлежит этой поверхности,

т. е. F x0,y0,z0 0.

M0 x0

Составим уравнение касательной

плоскости к

этой поверхности в

точке

M0.

;

Обозначим точку M0 x0,y0 . Тогда Zx M

Fy M0

Zy M0

, и вектор нормали к поверхности

в точке M0

Fz M0

запишется следующим образом: NM~0

Fx M0 ;~

Fz M0


	~
Fy	M0		или
	~	; 1	или
Fz M0

~		~	~		~		~		~
N1M	0 Fz	M0	NM0	Fx M0		;Fy	M0 ;	Fz	M0 .
	Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид
	~			~				~		0.
	Fx M0	x x0 Fy M0			y y0 Fz M0 z z0					0.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)