Материал: 1510

Определение. m-мерной последовательностью точек называется бесконечное множество точек пространства Rm , каждой из которых

поставлен в соответствие номер n N , т. е. упорядоченное бесконечное множество точек Rm . Обозначим последовательность

Мп,А 0 при п ;

0, достаточно маленького, n0 такой, что n n0, верно

неравенство Mn,A ;

какую бы ни взяли -окрестность точки А, найдется номер п0 ,

начиная с которого все точки последовательности будут находиться в

-окрестности этой точки;

х1п n а1

.............. , если А а1,...,ат .

хтп n ат

Определение. Мп n равносильно:

Мп,0 , 0 0,0,...,0 ;

n

К 0 большого, n0 К такой, что n n0, Mn,0 К ;

какой бы ни взяли m-мерный шар достаточно большого r К с

центром в 0 0,...,0 , найдется n0 К , начиная с которого все точки по-

следовательности будут находиться вне шара;

хотя бы одна xin при n i 1,m, т. е. xin – бесконечно большая числовая последовательность хотя бы для одного из i 1,m.

3. Понятие функции нескольких переменных

Пусть множество Q Rm и U R; точка M x1,...,xm Q, u U .

Определение. Функцией m-действительных переменных называ-

ется закон или правило, по которому каждой точке M Q ставится в соответствие действительное число u U .

Функция обозначается f :Q U ( f отображает множество Q во множество U ), или u f M , или u f x1,...,xm .

Определение. Множество Q называют областью определения функции D f Q , а множество U – область значений функций; x1,...,xm – аргументы; u – функция.

Способы задания функции двух переменных

Пусть множество Q R2 и Z R; M x,y Q;z Z .

Рассмотрим f :Q Z или z f x,y . 1. Аналитический. Задается формулой.

Примеры.

Если поверхность задана, то можно сказать, что задана функция

двух переменных графически, тогда уравнение поверхности

F x,y,z 0 определяет функцию двух переменных, заданную неявно,

причем роль аргументов может играть любая пара переменных, т. е.

функцию можно рассматривать как z(x,y), или x(y,z), или y(x,z).

Пример. Уравнение x2 y2 z2 1 является уравнением сферы с центром в точке D 0;0;0 и r 1, запишем его в явном виде

z 1 x2 y2 .

D(z):1 x2 y2 0 или D z x,y : x2 y2 1 (рис. 4).

Определение. Рассмотрим функцию двух переменных z f (x,y).

Линией уровня функции двух переменных называется кривая, вдоль которой функция принимает постоянное значение, т. е. значению функции z c соответствует линия уровня с уравнением f (x,y) c.

Замечание. С помощью линий уровня можно построить саму по-

верхность, исследовать поведение функции в области определения.

z

y

4

1