Материал: 1510
вектора, ее называют производной по направлению вектора l в точке
М0 от функции u f x,y,z .
u
l
Обозначим производную по направлению |
u |
|
M |
, т.е. |
|||||
|
|||||||||
|
|||||||||
|
|
|
u |
|
l |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
M |
|
lim |
. |
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|||||
|
l 0 l |
|
|
|
|||||
Вывод формулы производной по направлению:
u lim u lim du lim ux M0 x uy M0 y uz M0 z
|
|
|
|
|
l |
|
l 0 l |
l 0 l |
|
|
|
l 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
ux M0 cos uy M0 cos uz M0 cos |
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
M0 l0 |
|
g |
M0 |
|
l0 |
cos |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ; т.е. |
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
gradu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
M |
0 |
|
|
M |
|
M |
l0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
|
gradu |
|
M0 ux M0 ;uy M0 ;uz M0 |
g |
M0 – |
вектор-градиент в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке М0, |
l0 cos ;cos ;cos . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом, значение производной по направлению в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
М0 |
(мгновенная скорость изменения функции в точке М0 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
направлении l |
) зависит от угла, который образует l с |
g |
M0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
u |
|
|
u |
|
|
g |
|
|
|
|
cos 1; 0 ; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
u |
|
|
u |
|
g |
|
; |
|
g |
|
|
g |
cos 1; 180 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l l |
|
g1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Замечание. |
Для функции двух переменных аналогично выво- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дится |
|
|
|
|
производная |
|
|
по |
|
|
направлению z f x,y ; |
|
|
|
|
M0 x0,y0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
zx M0 ;zy M0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
M |
0 |
M |
0 |
l0 , где |
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l0 cos ;cos cos ;sin ; 90 .
Пример. Найти мгновенную скорость изменения функции
z 2x2 4y y2 в точке M0 1;2 в направлении точки N 3; 1 .
Найти направление максимума и минимума мгновенной скорости
изменения функции в точке М0 и их величины.
|
|
|
|
|
Решение. 1) |
z 2x2 4y y2; |
|
zx 4x; |
zy 2y 4; |
g |
M0 4;0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
l M0N 2; 3 ; |
|
|
l |
13; l0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
13 |
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4;0 2; 3 |
|
8 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M |
M |
l0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
max |
z |
|
М |
|
z |
|
M |
|
|
|
|
g |
M |
|
|
4; |
min |
z |
|
М |
|
|
|
|
|
z |
|
|
M |
|
4; |
g |
1 4;0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
l |
|
g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
0 |
|
|
g1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Вектор |
g |
M0 |
направлен по нормали |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к линии уровня (для функции двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменных) или поверхности уровня |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(для |
|
|
функции |
|
|
|
трех |
|
|
переменных), |
|
|
|
|
|
|
N |
М0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
проходящей через точку М0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Покажем это для функции двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
переменных. |
|
Рассмотрим |
функцию |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z f x,y и линию уровня |
|
|
|
Рис. 14 |
|
|
||
z M0 C0 z C0, проходящую через точку М0; |
f x,y C0 |
линия |
||||||
уровня, f x,y C0 0. |
|
|
M0 fx M0 ; fy M0 |
g |
M0 |
|
вектор |
|
|
N |
|||||||
нормали касательной к линии уровня (рис. 14).
Замечание. Для линейной функции z ax by c g постоянен во
всех точках, g a;b . Линиями уровня линейной функции являются
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
g |
|
1 |
|
|
|
М0 |
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||
-2 |
|
-1 |
|
2 |
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
x |
|||||||
|
|
|
|
|||||||||
Рис. 15 |
Рис. 16 |
параллельные прямые.
Пример. Найти линии уровня, проходящие через заданную точку,
построить, найти вектор gM0 .
z 2x 4y; M0 0;0 ; z M0 0; 2x 4y 0; gradz 2;4 (рис. 15). Пример. z x2 y2; M0 1;1 ; z M0 2; x2 y2 2;gradz 2x;2y ;
gM0 2;2 (рис. 16).
ЛЕКЦИЯ №7
НАХОЖДЕНИЕ НАИБОЛЬШЕГО И НАИМЕНЬШЕГО
ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
В ЗАМКНУТОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Теорема. Всякая непрерывная функция достигает
своего наибольшего и наименьшего значений в замкнутой
ограниченной области, причем либо внутри области – в
точке локального экстремума, либо на границе.
Метод нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
с помощью линии уровня
Рассмотрим z f x,y ; z c, f x,y c. Выстраивая линии
уровня в зависимости от c, находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе, либо внутри области, причем на границе достигается наибольшее и наименьшее, либо в точке касания границы и линии уровня, либо в угловых точках границы (где не существует касательная).
y
М0
М1
0 x
Рис. 17
zнаим z M1 с0 ;
y
М0
М1 |
g |
0 x
Рис. 18
zнаиб z M0 с0 (рис. 17).
Необходимо найти точку М0 и значения с0. Пусть уравнение
границы имеет вид F x,y 0. Линия уровня, проходящая через точку
М0: f x,y с0.
ккас Fx
Fy – угловой коэффициент касательной к границе;
ккас fx |
fy – угловой коэффициент касательной к линии |
уровня.
Тогда решение определяется следующей системой:
|
|
F x,y 0; |
||
|
|
f x,y с0 ; |
||
|
|
|||
|
|
|
|
|
Fx |
Fy |
fx |
fy . |
|
Аналогично составляется система, когда наибольшее и наименьшее значения находятся в угловых точках границы:
|
|
F x,y 0 ; |
||
|
|
|
|
|
|
|
f x,y с0 ; |
||
|
|
|||
Fx |
Fy несуществует. |
|||
Нахождение наибольшего и наименьшего значений линейной функции z ax by c в замкнутой ограниченной области
Рассмотрим для данной функции различные области:
1. Q – многоугольник ; линии уровня данной функции,
соответствующие значению z c0, прямые ax by c c0, вектор g a;b (рис. 18). Таким образом, наибольшего и наименьшего значения линейная функция достигает в вершинах многоугольника либо на ее стороне.
Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в многоугольнике:
находят вершины многоугольника, вычисляют значения функции в этих точках;
выбирают наибольшее и наименьшее значения функции.