Материал: 1510

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Если значения функции совпадают в двух точках, то функция достигает наибольшего и наименьшего значений на стороне,

соединяющей эти точки.

2. Q – не многоугольник, решается в общем виде.

Пример.

z x2 y2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

x y 3;

z c;

x

2

y

2

c;

линии уровня –

окружность

:

0,y

0;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

с

 

центром

 

в точке

0;0 ;

с 0; снаим 0;

x2 y2 0;

c

 

 

zнаим z 0;0 0 при

R ,

c zнаиб z A z B 9; A 0;3 ,

B 3;0 (рис. 19).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. z 2x 4y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

x y 3;

А 0;3 ,

В 3;0 ,

С 0;0 , z A 13, z B 7, z C 1.

:

0,y

0;

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zнаим z 0;0 1;

zнаиб z 0;3 13.

 

 

 

 

Пример. z 2x 4y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Q

: x

 

y

 

4;

z c; 2x 4y 1 c; 2x 4y c 1;

g

2;4 .

 

 

x 0,y 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 1

 

; 2x 4y 0; zнаим z 0;0 1; zнаиб z M0 C0

(рис. 20).

 

 

 

 

 

x2 y2

4;

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 4y

C

0

1;

М

 

?, С

 

?

 

2

 

2x

 

 

0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0, y

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2x ;

C0 1 10x;

5x2 4;

x 0, y 0.

 

x

2

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

4

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

C0 1 4

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наим z 0;0 1; zнаиб

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

z

 

 

 

;

 

 

 

 

1 4

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

М0

g

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 20

 

 

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений

функции:

1)находим область определения функции, строим ее;

2)находим критические точки функции и выбираем те, которые принадлежат данной области. Вычисляем значения функции в этих точках;

3)находим наибольшее и наименьшее значения функции на границе (методом исключения);

4)из найденных значений в п. 2), 3) выбираем наименьшее и

наибольшее.

y x ; x a;b граница области.

Исследуем функцию z f x,y . Рассмотрим ~z f x, x .

Полученная функция ~z совпадает с функцией z вдоль кривой y x ; x a;b . Т. о., нахождение наибольшего и наименьшего

значений функции z f x,y на границе y x ; x a;b сводится к

нахождению наибольшего и наименьшего значений функции ~z f x, x на a;b . Пусть искомая точка x0 a;b , тогда ей

соответствует точка М0 x0, x0 , принадлежащая границе области.

Вычисляем z M0 .

Замечание. Если граница не задается одним уравнением, а

разбивается на k частей, каждая из которых задается уравнением

y k x , то наибольшее и наименьшее значения на границе находим по следующей схеме:

вычисляем значения в точках пересечения кривых;

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

находим наибольшее и

наименьшее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значения внутри каждой из границ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выбираем наибольшее и наименьшее

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

значения.

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

Пример. Найти наибольшее и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

наименьшее значения функции (рис.21)

 

А

 

 

-2

 

 

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z x

2

y

2

 

x y 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в области Q:

 

 

 

 

Рис. 21

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1,y 2.

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

D z R2. Разобьем границу области Q на части.

 

а)x y 1;

 

y 1 x;

x 1;3 ;

 

 

 

 

б)

x 1;

 

 

 

 

 

y 2;2 ;

 

 

 

 

в)

y 2;

 

 

 

 

 

x 1;3 .

 

 

 

 

A 1; 2 ,

B 1;2 , C 3; 2 – точки пересечения кривой а) – б).

2. Найдем критические точки.

 

 

 

 

 

zx 2x;

 

2x 0;

M

 

0;0 ;

z M

 

0.

 

zy 2y.

 

0

0

 

 

 

 

 

2y 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на

x,y 0
Рис. 22
z f x,y

границе.

а)

z

x2 1 x 2 1 2x 2x2;

z

4x 2;

z

0 x 1 2;

M1 12;12 ; z M1 12;

б)

 

 

1 y2;

 

 

2y;

z M2 1;

 

0 y 0; M2 1;0 ;

 

z

 

z

z

в)

~

 

2

4

;

~

x 0; M3 0; 2 ; z M3 4;

 

z x

 

 

z 2x;

 

г) z A 5;

z B 5;

z C 13.

 

 

 

Ответ: zнаиб z c 13; c 3; 2 ;

 

zнаим z M0 0;

M0 0;0 .

ЛЕКЦИЯ №8

УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ

Задача условного экстремума для

функции двух переменных

z

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z f x,y при условии, что переменные связаны

уравнением связи x,y 0.

0 y

Геометрический смысл: нахождение

x

наибольшего и наименьшего значений функции z f x,y вдоль кривой

x,y 0 или нахождение наибольшего и наименьшего значений кривой в пространстве, полученной в результате пересечения

поверхностей z f x,y и x,y 0 z f x,y ; (рис. 22).

x,y 0.

Задача решается тремя способами:

1. Метод исключения.

Уравнение связи x,y 0 записываем в явном виде y 1 x и

подставляем в функцию z f x,y . Получаем функцию одной переменной ~z f x, 1 x . Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции.

2. С помощью линий уровня.

Линии уровня функции, соответствующие значению z c,

имеют вид f x,y c. Исследуем их поведение вдоль кривой

x,y 0.

3. Метод множителей Лагранжа.

Вводится вспомогательная функция – функция Лагранжа.

Замечание.

y

1

1/2

0 1/2

Рис. 23

F x,y, f x,y x,y .

Функция Лагранжа совпадает с исходной функцией при условии выполнения уравнения связи. Т. о., задача сводится к нахождению точек локального экстремума функции Лагранжа:

1) находим критические точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

Fx

fx

x

;

 

Fx

0;

Fy fy y ;

Fy 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

F x,y .

 

 

F

~

M0 x0,y0, 0 M0 x0,y0 x, y 0;

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_10_Эмиль Золя для эл версии
_11_А. Франс для эл версии
_2 тема-Дефекты (тезисы)