Материал: 1503
Оценки параметров распределения СП должны отвечать следующим требованиям:
оценка должна быть состоятельной, т.е. сходиться по вероятности к оцениваемой величине при неограниченном увеличении времени реализации процесса;
оценка должна быть несмещенной, т.е. сходиться к ее математическому ожиданию;
оценка должна быть эффективной, т.е. ее рассеивание относительной (оцениваемой) величины должно быть минимальным.
Для стационарного эргодического математического ожидания является нижеприведенного выражения величина
m*x T1T x(t)dt ,
0
где T – длина реализации, дисперсия которой
2 |
|
2 T |
||
mT |
|
|
K( )(T )d |
|
T2 |
||||
|
|
0 |
||
СП такой оценкой получаемая из
(1.13)
зависит от длины интервала задания реализации T и вида корреляционной функции K( ).
При переходе к сигналу, заданному на интервале T в N последовательных точках, выражения для оценки математического ожидания и его дисперсии имеют вид:
|
|
1 |
N |
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
||
m* |
|
x |
, 2 |
|
K 0 N 2 |
(N l) K(l t) |
, l i j. (1.14) |
|||||
|
||||||||||||
x |
|
N |
i |
mN |
|
N |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
l 1 |
|
|
||
Учитывая, что K( ) x2 r( ), получим
m2N |
|
|
2 |
N 1 |
|
|
|
|
x |
N 2 (N l)(l t) . |
|||
N |
2 |
|||||
|
|
|
|
l 1 |
|
|
Определим показатель эффективности оценки математического
ожидания как kЭ mN . Чем меньше kЭ , тем эффективнее оценка.
x
Минимум kЭ определяется числом последовательных измерений реализации СП, заданной на интервале T, и видом корреляционной
функции процесса. |
Для |
функции |
вида |
r( ) e |
|
|
|
минимум |
||
|
|
|||||||||
находится из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соотношения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 e |
, |
T |
. |
||||
N e (N 2) |
|
|||||||||
mont |
|
|
(N 1) |
|||||||
Принимая 0,1 и T 50с, получим mont2 = 0,286. Используя соотношение (1.13), найдем, что mT2 = 0,321. В то же время формула (1.14) для разного числа регистрируемых точек на интервале T дает: по 6 точкам m2N = 0,310; по 11 точкам m2N = 0,307; по 21 точке m2N = = 0,311.
Среднеквадратичная оценка при разбиении интервала реализации на 10 участках в данном примере оказалась достаточно эффективной. Приведенный пример иллюстрирует важность вопроса выбора числа отсчетов для описания реализаций СП. К такому же выводу можно прийти при рассмотрении оценок дисперсии, корреляционной функции и спектральной плотности случайных стационарных процессов и последовательностей.
На практике, как правило, корреляционная функция неизвестна, и задача по выбору оптимального числа отсчетов СП на интервале его задания не имеет решения. С другой стороны, имеющиеся экспериментальные данные и физические законы формирования и течения различных динамических процессов позволяют достаточно точно судить о максимально возможных изменениях в исследуемом процессе в единицу времени. Другими словами, речь идет об оценке максимальной частоты в спектральной плотности СП, которая значимо влияет на его форму. В качестве примера на рис. 1.8 приведена спектральная плотность функции изменения скорости ветра, полученная экспериментальным путем. На графике четко выражены синоптический максимум, соответствующий колебаниям с
периодом около 4 суток (~100 часов), и микрометеорологический максимум колебаний с периодом ~1 минута.
Рис. 1.8. Спектральная плотность изменений горизонтальной составляющей скорости ветра
График изображен в координатах f S(f ) (f ), |
f |
2 – |
частота, выражаемая в циклах в час или Гц. Такое представление позволило усилить высокочастотные составляющие процесса и увидеть наличие микрометеорологического максимума с частотой ~0,0016 Гц. Колебания с частотами более 0,3 Гц имеют ничтожную амплитуду, ими можно пренебречь, приняв за максимальную частоту процесса 0,3 Гц.
В ряде случаев информацию о максимальной частоте (частоте среза) удается получить теоретически. К примеру, в гидромеханике выведено уравнение для максимально возможной частоты изменений
метеорологических параметров атмосферы f |
|
|
|
|
3 |
|
0,25 |
||
|
, где |
|
|
– |
|||||
max |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колмогоровский масштаб турбулентности, выраженный через постоянные среднюю скорость диссипации кинетической энергии и вязкость воздуха . Принимая скорость ветра =10 м/с и =1см2∙с-3,
=10-1см2∙с-1, получим fmax 103Гц. Эта оценка является предельно возможной на земном шаре и, как следует из приведенных выше экспериментальных данных для изучаемой местности, ее значение более чем в 1000 раз превышает используемое на практике значение
fmax.
Значение частоты среза fmaxпозволяет для решения поставленной задачи воспользоваться теоремой В.А. Котельникова: функция, спектральная плотность которой отлична от нуля только в полосе ( fmax, fmax), полностью определяется своими значениями отсчетов,
взятых в дискретных точках аргумента через интервалы t 1 .
2 fmax
По этим отсчетам можно восстановить исходную функцию x(t), используя выражение
|
|
sin (t k t) |
|
|
|
x(t) |
x(k t) |
, 2 f , |
(1.15) |
||
|
|||||
|
k |
(t k t) |
|
||
где x(k t)– отсчеты непрерывной функции x(t) в моменты времени
tk k t, k – |
целое число. Каждый |
отсчет |
умножается |
на |
||
соответствующую функцию |
sin (t k t) |
, сумма этих произведений |
||||
(t k t) |
||||||
|
|
|
|
|
||
есть описание исходной функции x(t). |
|
|
|
|||
На рис. 1.9 |
показан процесс формирования |
функции x(t) |
по |
|||
отсчетам x(k t).
Сигналы, с которыми приходится иметь дело на практике, ограничены по длительности. Такие функции формально можно описать усеченным рядом Котельникова:
|
|
B |
sin (t k t) |
|
|
|
|
xy (t) x(k t) |
, |
(1.16) |
|
|
|
||||
|
|
k 1 |
(t k t) |
|
|
где B |
T |
1 2 fmax T 1; T– длительность реализации. |
|
||
|
|
||||
|
t |
|
|
|
|
Налицо отступление от классической формулы (1.15), возникает погрешность представления исходной функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
S( f )df |
|
|
|
x(t) xy (t) |
|
. |
(1.17) |
|||||
|
|
|
fmax |
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
x |
2 (t) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
S( f )df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Здесь черточка над x означает усреднение.
Рис. 1.9. Иллюстрация представления произвольной функции x(t) рядом Котельникова:
а – взятие отсчетов x(tk ) через интервал t в точках (t k t);
б-г – формирование аппроксимирующих функций соответственно в точках t 0, t Δt, t 8Δt