Материал: 1503
Заменяя e j cos jsin и учитывая, что относительно нуля синусоидальная функция нечетная, а косинусоидальная – четная, получим выражения, известные как формулы Винера–Хинчина:
K tj,tj |
|
|
|
|||
2 Sj cos d ; |
(1.7) |
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Sj |
|
K tj,tj cos d . |
(1.8) |
|||
|
||||||
|
0 |
|
|
|||
Характеристика Sj |
|
|
в |
выражениях (1.6), |
(1.8) и есть |
|
спектральная плотность случайного процесса, описываемого корреляционной функцией Kj . Обе характеристики Sj , Kj
равноправны по объему содержащейся в них информации и в зависимости от сложности выражений на практике используют либо одну, либо другую.
Корреляционные и спектральные характеристики некоторых СП представлены в табл. 1.1.
Таблица 1.1
Примеры корреляционных и спектральных функций СП
|
|
Корреляционная функция |
|
|
Спектральная плотность |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K( ) S( )ej d |
|
|
S( ) K( )e j d |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическое |
График |
Аналитическое |
График |
||||||||||||||||
выражение |
|
выражение |
|
||||||||||||||||
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|||
(1 |
|
|
|
)e |
|
|
|
|
|
|
|
4 3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
( 2 2 )2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
16 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
) e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3( 2 2 )3 |
|
|
Запись характеристик СП в виде интегралов – см. ф-лы (1.5)-(1.8)
– носит формальный характер. Значительную роль играет исходный отсчет tj . Следует также понимать, что в реальных задачах
анализируемый сигнал имеет конечную длительность и речь может идти только об оценках наблюдаемых характеристик СП. Получение таких оценок мы рассмотрим позже.
Возвращаясь к выражению (1.5), положим 0. Тогда
Kj(0) i2 Sj( )d .
Отсюда становится ясным физический смысл функции Sj( ): она
показывает, что суммарная дисперсия процесса складывается из дисперсий отдельных спектральных компонентов с частотами .
С ростом аргумента функция |
ri( ) уменьшается (удаленные |
|||||||
сечения |
|
менее связаны друг с другом, нежели близлежащие). |
||||||
Площадь |
|
под |
кривой |
ri( ) определяет интервал |
корреляции |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
rk |
|
ri( ) |
|
d , |
равный |
основанию |
прямоугольника |
высотой 1. |
|
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина rk дает представление об интервале влияния изменений случайного процесса в одном сечении на изменения в другом сечении.
Задачи |
y x e t , t>0, |
х |
1. Случайный процесс описывается функцией |
||
– случайная величина, распределенная равномерно |
в интервале |
(– |
1, 1). Построить графики плотностей распределения вероятностей процесса y(t) в моменты времени t=0, t=1, t=2.
Решение
Учитывая, что площадь плотности распределения вероятностей равна единице и вид ее при разных значениях t сохраняется, будем иметь:
t 0, |
y 0,5, y 1;1; |
t 1, y 1,38, |
y 0,37;0,37 ; |
|||
t 2, |
y 3,57, y 0,139;0,139 . |
|
||||
2. Случайный процесс формируется случайной величиной в |
||||||
соответствии |
с выражением |
y at x, где х – случайная |
||||
нормально |
|
|
|
|
ожиданием mх =0 |
|
распределенная |
величина |
с |
математическим |
|||
и среднеквадратическим |
отклонением x =1, |
а – постоянная |
||||
величина, которая > 0, t – время. Построить графики плотностей распределения y t при t=0, t=1, t=2.
Решение
Графики строятся в трех квадрантах x x; x y; y y при разных значениях t. При t=0 y полностью соответствует исходному распределению x . В остальные моменты времени плотность распределения вероятностей смещается по оси y (меняется my ), дисперсия y2 x2 остается неизменной.
3. Случайный |
процесс |
описывается |
выражением вида |
|
y t x e t , t |
> 0, |
х – случайная величина, |
распределенная по |
|
нормальному |
закону |
с параметрами mx, x . |
Требуется получить |
|
выражения для математического ожидания my t , дисперсии |
Dy t , |
|||||||||||||
корреляционной функции |
Kx tj,t |
и |
плотности |
распределения |
||||||||||
вероятностей y t |
сформированного процесса y t . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|||
По определению my t M y t M[x e t ] e t mx ; |
|
|||||||||||||
Dy t M[y t my t ]2 M[x e t mx e t ] 2 e 2 x2; |
|
|||||||||||||
|
tj ,t |
|
|
o |
|
o |
o |
o |
|
|
e t t j x2 |
|
|
|
Ky |
M y t y t |
xe t |
xe |
t j |
; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
1 |
|
|
y t my t 2 |
|
|
|
|||||
y |
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 t |
|
|
|
|
|||||
|
2 xe t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.3. Классификация случайных процессов
Методика расчета характеристик СП в основном определяется заранее принятой для него теоретической моделью. Поэтому прежде чем приступить к решению конкретной задачи, необходимо принять решение о модели изучаемого СП.
Существует большое число признаков, по которым проводится классификация случайных процессов. Общее представление об основных типах СП дает рис.1.6.
Рис. 1.6. Основные типы случайных процессов
По зависимости вероятностных характеристик от начала отчета времени процессы делятся на стационарные и нестационарные. Для нестационарных СП справедливы следующие неравенства:
x1,x2,...,xn,t1,t2,...,tn x1,x2,...,xn,t1-t0,t2-t0,...,tn-t0 ; mx t f t ; x2 t t ; Κ tj , ij K tj t0, i j .