Материал: 1503
Решение
Приведем представленное выражение для плотности распределения вероятностей к виду
|
|
1 |
|
|
2 |
|
e |
2 t |
e |
t |
|
||
X,t |
|
|
exp |
x |
|
e2 t |
|
exp t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
e t |
||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
e |
2 t |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
x2 |
|
1 |
|
|
|
x2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
2 exp t |
|
|
2e |
2 t |
|
|
2 x t |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
t |
||||||||
Имеем выражение для нормального закона распределения вероятностей. В каждом сечении рассматриваемого случайного процесса математическое ожидание случайной величины равно
m t =0, а дисперсия |
x2 t e 2 t изменяется во времени. Связи |
x |
|
между случайными величинами отсутствуют (коэффициенты корреляции равны нулю, определитель А имеет значимые элементы только по диагонали rij 0 при i≠j и rij 1 при i=j).
В обозначенных точках аргумента имеем:
t1 0, x (0) 1; t2 1/ , x (1/2) e 1 0,37; t3 (2/ ) e 2 0,137.
Этих данных достаточно, чтобы построить требуемые графики, представленные на рисунке.
а)
Иллюстрация поведения (X,t) и x (t) во времени (начало)
б)
Иллюстрация поведения (X,t) и x (t) во времени (окончание)
1.2. Числовые характеристики случайных процессов
Существует большое число задач, для решения которых оказывается достаточным использование числовых характеристик плотности распределения вероятностей. В отличие от числовых характеристик случайных величин (математического ожидания, дисперсии и др.), представляющих собой числа, характеристики СП являются функциями.
На рис. 1.4 видно, что если соединить точки mхi (значение математических ожиданий в сечениях случайной функции), полученная кривая при ∆t→0 будет одной из искомых функций mx t :
mх t Х t Х dx.
-
Она и есть математическое ожидание СП – неслучайная функция, около которой группируются ее конкретные реализации.
Аналогичным образом определяется дисперсия СП– неслучайная функция x2 t , описываемая при ∆t → ∞ выражением
2
x2 t Х t mx t dx
ихарактеризующая разброс его реализаций относительно среднего. Математическое ожидание и дисперсия – важные, но
недостаточные характеристики для описания основных свойств СП. В этом можно убедиться, обратившись к рис. 1.5, на котором изображены реализации двух случайных функций Х(t), Υ(t).
Рис. 1.5. Сопоставление двух СП с одинаковыми дисперсиями и математическими ожиданиями
Очевидно, внутренняя структура обоих СП совершенно различна, но это не отражает ни математическое ожидание, ни дисперсия. Для описания динамики изменения СП вводится специальная характеристика – корреляционная (другой встречающийся термин автокорреляционная) функция. Она характеризует степень сходства между сечениями процесса, взятого в момент tj и удаленного от него на расстояние ij i j t, ∆t – интервал между сечениями.
Из физических соображений следует, что при малом шаге ij
сходство соседних сечений будет больше для процесса на рис. 1.5, б, нежели для процесса на рис. 1.5, а. В первом случае за малый интервал времени реализации не успевают заметно измениться – сходство с сечением процесса в tj велико. Обратное заключение можно сделать, анализируя СП на рис. 1.5, а. Поэтому процессы Х(t) и Y(t) должны иметь различные корреляционные функции, определяемые как
K |
|
t |
|
|
|
M |
|
o |
|
o |
|
|
|
K |
t |
|
|
|
|
o |
|
o |
|
|
|
|
|
|
j |
ij |
|
X t |
j |
X t |
j |
; |
j |
ij |
M Y t |
j |
Y t |
j |
ij |
, (1.3) |
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
ij |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
o |
|
tj X |
tj mx tj , |
o |
tj |
|
|
|
X tj |
ij mx tj |
ij – |
||||||||||||||
где |
|
X |
X |
ij |
|||||||||||||||||||||||
центрированные реализации СП, М – знак математического
o o
ожидания. Аналогично определяется Y tj Y tj ij .
Таким образом, корреляционной функцией СП называется неслучайная функция двух аргументов, выраженная через математическое ожидание произведения центрированных СП при тех же аргументах.
Функция, полученная аналогично, но для разных СП: Х(t), Υ(t):
K |
|
t ,t |
|
o |
|
o |
|
взаимокорреляционной |
В |
j |
M Y t |
X t |
, i,j=1,2,…, называется |
||||
|
i |
|
i |
|
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функцией. Она характеризует степень сходства i-го сечения одного СП с различными сечениями другого СП.
При ij 0, |
K ti,tj M |
o |
2 |
|
x2 ti и необходимость в |
X ti |
|
||||
|
|
|
|
|
|
дисперсии, как отдельной характеристике СП, отпадает: достаточно знать математическое ожидание и корреляционную функцию.
Так как функция K tj,tj ij не зависит от последовательности, в
o |
o |
при ее |
которой используются сомножители X(tj) и |
X t ij |
вычислении, то она симметрична относительно своих аргументов.
На практике часто пользуются нормированной корреляционной функцией
r tj,tj ij K tj,tj ij / x tj x tj ij ,
которая представляет собой последовательность коэффициентов корреляции случайных величин X tj и X tj ij . При ij 0
r ti,ti / x2 ti 1.
Информацию о СП, которую дает корреляционная функция, можно получить и через так называемую спектральную плотность.
В теории сигналов широко используется преобразование Фурье функции времени х(t):
|
j t |
|
|
1 |
|
- jѓЦt |
|
x t F e |
|
d ; |
F |
|
x t e |
dt, |
(1.4) |
|
2 |
||||||
- |
|
|
|
- |
|
|
|
где F( ) называют спектром амплитуд, |
которые приписываются |
||||||
элементарным функциям |
ej t ; |
ω – круговая частота 2 /T ; |
Т – |
||||
период синусоидальной функции.
Аналогичную запись можно привести и для корреляционной
функции. При фиксированном |
tj функция K tj, ij будет |
зависеть |
||
только от интервала ij . По аналогии с (1.4) при ∆t→0 запишем: |
||||
|
|
|
||
K tj,tj Sj e jω d ; |
(1.5) |
|||
|
- |
|
||
Sj |
|
1 |
K tj,tj e- jω d . |
|
|
|
|||
|
|
2 - |
|
|
|
(1.6) |
|
||