Материал: 1503
входе (в том числе при специально генерируемых шумах в разных её звеньях с целью блокирования работы системы в целом).
В рамках этой работы при изучении сформулированной задачи ограничимся рассмотрением простых примеров, освоение которых позволит перейти к освоению более общих (и, естественно, более сложных) задач.
Операция суммирования. При сложении детерминированной
функции (t) со случайным процессом |
X(t) |
требуется оценить |
|||||||
математическое |
ожидание |
my(t) и |
корреляционную |
функцию |
|||||
Κy(ti,tj) выходного процесса Y(t) (t) X(t). |
|
|
|
||||||
Если |
известны |
математическое |
ожидание |
mx(x) |
и |
||||
корреляционная |
функция |
входного |
процесса |
X(t), |
решение |
||||
поставленной задачи не имеет особенностей. По теореме сложения
математических |
ожиданий |
my(t) mx(t) (t), а |
корреляционная |
||||
функция находится по общему правилу |
|
|
|
|
|||
|
Ky (ti ,tj ) M{(Y(ti ) my (ti )) (Y(tj ) my (tj ))} Kx (ti ,tj ). |
||||||
При добавлении неслучайного слагаемого корреляционная |
|||||||
функция полученной суммы не меняется. |
|
|
|
|
|||
Усложним |
задачу, просуммировав два |
случайных |
процесса |
||||
X(t) Y(t) Z(t). Тогда |
|
|
|
|
|
||
|
mz (t) mx (t) my (t); |
Kz (ti,tj ) M |
0 |
0 |
|
, |
|
|
Z(ti ) Z(tj ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
где Z(ti ) и Z(tj )– центрированные значения процесса Z(t)в точках
ti,tj . С учетом соотношения |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Z(t) X(t) Y(t) |
несложно получить |
||||||||||||||||
выражение для искомой функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
K |
|
(t |
,t |
|
) M |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
z |
j |
X(t |
) Y(t |
) X(t |
j |
) Y(t |
j |
) |
|
|
|||||||
|
i |
|
|
|
i |
i |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kx (ti,tj ) Ky (ti,tj ) Kxy (ti,tj ) Kyx (ti,tj ). |
(1.22) |
||||||||||||||||
Обобщая (1.22) на случай произвольного числа слагаемых
n
Z(t) Xk (t),
i 1
получим
n |
|
n |
|
n |
|
mz(t) mxk (t); Kz (ti,tj ) Kxk (ti,tj ) Kxk xl (ti,tj ) . |
|||||
k 1 |
|
k 1 |
|
k l |
|
Последними формулами задача нахождения характеристик |
|||||
суммы СП исчерпывается. |
|
|
|
X(t) с |
|
Операция дифференцирования. Случайная функция |
|||||
характеристиками |
mx(t),Kx(ti,tj ) |
связана |
со |
случайной |
функцией |
Y(t) линейным |
однородным |
оператором |
дифференцирования: |
||
Y(t) dX(t)/dt . Требуется определить |
характеристики |
my(t) и |
|||
Ky(ti,tj).
Математическое ожидание mx(t) – неслучайная функция. Ее дифференцирование
my(t) dmx(t)/dt
есть решение первой части поставленной задачи.
Что касается корреляционной функции, она находится обычным
0 0
способом через центрированные функции Y(ti ), Y(t j ) :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) d X(tj |
) |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
d X(ti |
|
|
|||||||||||||
K |
|
(t |
,t |
|
) M Y(t |
) Y(t |
|
) |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
dti |
|
|
|
|
|
dtj |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2K |
x |
(t ,t |
j |
) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
M |
X(ti) X(tj ) |
|
|
|
i |
|
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ti tj |
|
ti tj |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для стационарного процесса mx(t) mx . Тогда |
my 0, |
Kx(ti,tj) Kx( ), tj ti , dtj d ; dti d и |
|
Ky ( ) d2Kx ( ) / d 2 . |
(1.23) |
Переходя к нормированной корреляционной функции, получим
ry( ) Kx ( )/Kx (0).
По общим правилам найдем выражение для функции взаимной корреляции процессов X(t) и Y(t):
Kxy( ) M |
|
0 |
0 |
|
dKx( )/d ;, |
X(ti) Y(tj) |
|||||
|
|
|
|
|
|
rxy( ) Kx ( )/ x 
K (0).
Операция интегрирования. Дана |
случайная функция X t с |
|||
математическим |
ожиданием |
mx t и |
корреляционной |
функцией |
Κx ti ,tj . Другая |
случайная |
функция |
Υ t связана с |
заданной |
линейным однородным оператором интегрирования: |
|
|||
|
τ |
|
|
|
|
Υ t X t dt . |
|
(1.24) |
|
|
0 |
|
|
|
Требуется определить характеристики случайного процесса:
t : mу t |
и Kу ti,tj .. |
Исходя из формального определения математического ожидания, запишем
m |
|
|
|
|
|
M X(t) dt |
|
m |
|
(t)dt |
|
|
t |
X(t)dt |
|
|
|
. |
|||||
|
у |
|
|
|
|
|
x |
|
|||
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
Для нахождения my t необходимо проинтегрировать
математические ожидания исходного процесса. Представим (1.24) в виде
|
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Υ t |
X(t) mx |
(t) dt |
X t dt mу t Y t mу t ; Y t X t dt . |
||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ky ti ,tj |
M |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
Y(ti |
) Y(tj |
) |
M X(ti ) X(tj )dtidtj Kx (ti ,tj )dtidtj . |
||||||
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
0 0 |
|
Таким образом, чтобы найти корреляционную функцию интеграла от СП, нужно дважды проинтегрировать корреляционную функцию исходного СП: сначала по одному аргументу, затем – по другому.
Нелинейные образования СП. Ограничимся рассмотрением безинерционных нелинейных функциональных преобразователей. Их особенность: значение выходной функции Υ t в любой момент времени определяется только значением входной функции X t в тот же момент времени. Сформируем задачу исследований. По известной функциональной связи у=f(x) и плотности распределения вероятностей СП X t , т.е. X , определить плотность распределения вероятностей выходного процесса ω Υ .
Для стационарных процессов решение поставленной задачи элементарно. На рис. 1.17 изображены процесс X t с плотностью
распределения вероятностей x и передаточная характеристика обозначенного преобразования у=f(x). Вероятность пребывания СП х(t) в диапазоне x0 x0 dx равна вероятности пребывание функции
y(t) в диапазоне у0 у0 |
dу |
|
|
x0 dx |
y0 dy |
|
(x)dx |
(y)dy, |
|
x0 |
y0 |
или при dx → 0, ω(x) dx ≈ ω(y)dy. Отсюда следует
у x dxdу .
Рис. 1.17. Иллюстрация взаимнооднозначного нелинейного преобразования стационарного
случайного процесса
Плотности вероятностей не могут быть отрицательными. С учетом этого обстоятельства
у x |
|
dx |
|
. |
|
dy |
|||||
|
|
|
|||
(1.25) |
|
|
|
|
|
Если преобразование неоднозначно (рис.1.18), то каждому значению выходной величины у соответствуют два значения входной функции х. Неравенство
y0 y y0 dy