Материал: 1503

Условие отсутствия последействия означает независимость событий друг от друга. Это справедливо для потока пассажиров, входящих на станцию метро. Однако поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним поездом, зависимы между собой.

На примере с пассажирами можно пояснить и условие ординарности: через дверь пассажиры входят поодиночке, хотя возможность протиснуться через дверь одновременно двум более желающим войти в метро не равна нулю.

Важной характеристикой рассматриваемого потока является плотность распределения отрезков времени T между соседними событиями

График плотности (T) приведен на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Плотность распределения вероятности интервалов между событиями простейшего пуассоновского потока

Если простейший пуассоновский поток подвергнуть операции «просеивания», т.е. сохранить (k+1)-е событие и вычеркнуть остальные, такой поток называется потоком Эрланга k-го порядка

(рис. 1.21).

Рис. 1.21. Иллюстрация процесса формирования потока Эрланга k-го порядка

Как следует из рис. 1.21, плотность распределения k (T) определяется вероятностью осуществления двух событий:

а) (k+1)-е событие должно попасть в интервал {t,t dt}, очевидно, вероятность такой ситуации равна dt;

б) k событий между 0 и (k+1) событиями должны попасть в интервал {0;t}; вероятность осуществления такого случая (см. (1.27))

Pk (0;t) ( t)k e t. k!

Вероятность совместного осуществления а) и б)

или, переходя к плотности распределения,

импульсы задаются дельта-функцией t ti , где ti – случайный момент появления i-го импульса.

На рис. 1.22 изображена случайная последовательность прямоугольных импульсов. Такими потоками описываются процессы в радионавигационных, радиолокационных и других системах. Например, продолжительность работы любой технической системы может быть поставлена в соответствии с длительностью импульса i , время ее восстановления (ремонта) – длительностью паузы Τi . Амплитудой импульса Αi характеризуют эксплуатационный показатель системы (пробег автомобиля, вес перевезенного груза и т.д.).

Рис. 1.22. Случайная последовательность прямоугольных импульсов

Величины Αi ,τi ,Τi являются случайными. Поэтому изображение СП на рис.1.22 следует понимать как конкретную реализацию. Функция x t при одном и том же значении аргумента будет принимать разные значения, характеризующие случайную величину со счетным множеством значений. Общий подход к описанию функций такого сорта (нестационарных) был изложен выше.

В качестве конкретного примера построения модели прямоугольной последовательности импульсов рассмотрим случай независимости параметров Αi ,τi ,Τi . Вначале следует определить плотность распределения вероятностей (A), ( ), (T). Обычно эти плотности находятся в результате решения самостоятельной задачи, а

именно анализа работы системы, описываемой моделью потока импульсов. Затем производится вычисление средних значений:

На последнем этапе находится выражение корреляционной функции (спектральной плотности) и производится анализ поведения системы.

За исключением нескольких частных случаев вычисление корреляционной функции оказывается значительно сложнее, чем спектральной плотности. Достаточно громоздким оказывается и алгоритм нахождения аналитического выражения для спектральной плотности. Широкое распространение программных продуктов по статистическому анализу экспериментальных данных сместило направление интересов исследователей на построение эмпирических зависимостей для описания функционирования исследуемых систем.

Тридцать лет назад, когда господствовал аналитический подход в построении моделей сложных систем, было получено выражение для спектральной плотности потока прямоугольных импульсов в виде

характеристические функции длительностей импульсов 1( ) и

интервалов между ними 2 ( ); Re – действительная часть.

Для частного случая i 0 const приведенное выражение упрощается: