Материал: 1503

Сделав заключение, что исследуемый процесс нестационарный, его моделью может служить выражение

или

В приведенных выражениях tr(t)– тренд – плавно изменяющаяся компонента, характеризующая тенденции изменения изучаемого явления под действием долговременных факторов. Такими факторами могут быть изменение демографических характеристик популяции (рождаемость, смертность, изменение возрастной структуры), истощение природных ресурсов, старение созданной инфраструктуры и т.д. Функция c(t) отражает «сезонную» компоненту – краткосрочные колебания в течение интересующего периода (года, месяца, недели, дня и т.д.). Типичны примеры этой составляющей – объем перевозок пассажиров городским транспортом в течение суток. Утром и вечером наблюдается рост объемов, ночью этот показатель близок к нулю. На графике месячных продаж шампанского видны пики в декабре и спад в жаркие летние месяцы.

Функцию b(t) называют «циклической» компонентой. По формальным признакам она описывает компоненту с длительным периодом подъема-спада. Ее можно обнаружить на реализации большой протяженности.

Появление закона о налоговых льготах, банкротство крупного банка, пожар и т.д. («стрессовая» компонента) резко меняет характеристики наблюдаемого процесса, ее обнаружение может быть реализовано в рамках теории разладки СП, а описание – в рамках построения модели тренда.

Последняя функция ξ(t) – хаотичные и непредсказуемые изменения – есть случайная компонента суммы (1.19).

Выражение (1.19) описывает аддитивную модель, выражение (1.20)

– мультипликативную модель временного ряда.

Анализ СП вида (1.19), (1.20) включает несколько этапов:

графическое представление, на основании которого делается заключение о стационарности или нестационарности ряда. В последнем случае выдвигается гипотеза о возможности описания тренда;

выделение и математическое описание составляющих временного ряда;

формирование «гуманитарной» модели выделенных компонент, объясняющей причинно-следственные связи явлений, которые породили наблюдаемый характер изменения составляющих ряда;

прогнозирование будущего развития процесса и формирование перечня воздействий, позволяющих корректировать это развитие.

Для стационарных процессов d(t) 0, x(t) (t). Рассмотрим перечисленные этапы подробнее.

На рис. 1.15 приведен график, отражающий данные о расстояниях, преодоленных самолетами Великобритании за шесть последовательных лет [2]. Нетрудно увидеть наличие линейного тренда с тенденцией возрастания значений по времени и наличие сезонных колебаний с периодом ориентировочно 12 мес.

Сумма этих составляющих искажается случайным образом, отражая случайную компоненту наблюдаемого сигнала на рис. 1.15, а.

Выделение и вычитание тренда приводит к сигналу вида, изображенного на рис. 1.15, б. Спектральный анализ этого сигнала позволил выделить сезонную компоненту с периодом ~1 год и другую компоненту с периодом 3 месяца.

Пример резкого изменения тенденции изучаемого процесса приведен на рис. 1.16.

На рис. 1.16 даны разъяснения причин появления выброса. Разъяснение является важной задачей информационноаналитичесткой деятельности, ориентированной на получение знаний, вытекающих из анализируемого процесса.

В заключении коротко остановимся на методах выделения и описания тренда и сезонной компоненты.

Первое представление о характере тренда дает графическое представление случайной последовательности. Если имеется

а – исходный процесс; б – после удаления тренда; в – вид амплитудно-частотной характеристики сигнала на рис.1.15, б

Рис. 1.16. Иллюстрация изменения тенденции процесса при случайном воздействии фактора на механизм его формирования

При наличии одной реализации характер тренда выявляется с помощью регрессионного анализа. Чаще всего встречаются следующие модели:

В приведенных выражениях a,b,c – коэффициенты, подлежащие определению с помощью регрессионного анализа; ajk – амплитуды,

jk – фазы; k – круговая частота.

Подобрав описание тренда с помощью одной из приведенных моделей, его вычитают из исходного процесса:

Для выделения сезонной составляющей из процесса (1.21) используются несколько методов, в том числе метод наименьших квадратов, опирающийся на полигармоническую модель.

Оставшаяся случайная компонента описывается через плотность распределения вероятностей или моментные функции.

Контрольные вопросы

1.На основании какой информации принимается решение о стационарности или нестационарности исследуемого процесса?

2.На какой идее реализуется алгоритм кумулятивных сумм?

3.Назовите количество последовательных параметрических методов, используемых для обнаружения разладки случайного процесса.

4.Какими составляющими представляется модель нестационарного СП?

5.Перечислите этапы анализа СП.

6.Какие модели для описания трендов СП чаще всего используются на практике?

1.6. Преобразование случайных процессов

Информационные потоки, циркулирующие в системах обработки

информации и также подвергаются тем или иным трансформациям. Знание изменений параметров СП при применении к ним тех или иных преобразований – необходимое условие качественного проектирования таких систем.

Использование аппарата СП в практике проектирования информационных систем в большинстве случаев сводится к следующей схеме. На вход функционального преобразователя воздействует случайная функция X(t). На его выходе имеем Y(t) = A X(t), где А – оператор преобразования.

Требуется оценить, насколько исказятся информационные потоки в системе при наличии неучтенных случайных возмущений на её