Материал: Задача оптимального управления опционами

Рисунок 11. Среднеквадратические отклонения физических функций плотности pC(x,k), соответствующих разным сроком исполнения, и "Implied Volatility"

Проделав все то же самое для опционов на акции компании Goldman Sachs с ценой исполнения 155, мы получили аналогичные результаты, однако посчитанная нами волатильность отличается от предоставленной на сайте. В идеале было бы хорошо проверить правильность наших результатов, однако мы не располагаем такой базой данных, в которой можно найти динамику цен этих опционов.

Также нами было решено рассмотреть опционы с разными сроками исполнения на индекс CBOE Volatility Index (VIX), представляющий собой индикатор ожидания волатильности (изменчивости) рынка, также с ближайшими к текущей цене, равной на тот момент 15.04, страйками.

В дополнение, поскольку мы оценили первые производные функции полезности, из которых мы можем получить функции полезности, эволюционирующие со временем, есть возможность порассуждать об изменении отношения к риску на различных горизонтах инвестирования. Таким образом, открывается значительное поле для дальнейших исследований.

Заключение

Таким образом, в данном исследовании нам удалось построить модель, позволяющую оценивать опционы и построить реконструкции функции полезности, а также субъективных и риск-нейтральных распределений цены подлежащего актива на основе наблюдаемы на рынке цен опционов.

Для этого сначала мы изучили, какие вообще существуют модели оценки опционов. Рассмотрели классическую модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза-Мёртона, выяснили, какие предпосылки в ней заложены, как она выводится, и какие недостатки имеет. Было показано, что предположение о логнормальности распределения цены, из которого следует равенство волатильности для разных страйков и разных периодов до исполнения, не выполняется на практике, о чем свидетельствует "улыбка" волатильности.

Также проанализировали альтернативный неструктурный подход к оценке опционов, в соответствии с которым цена опциона в равновесном случае - это ожидаемая к сроку их исполнения стоимость подлежащего актива, обратно продисконтированная с помощью риск-нейтральной плотности.

Дальше мы рассмотрели задачи оптимального управления в рамках задач вариационного исчисления, поскольку мы не стали придерживаться традиционному в литературе по количественным финансам способу оценки американских опционов методом динамического программирования.

Прежде чем приступить к постановке и решению задачи оптимального управления, мы изучили дополнительные теории и предпосылки. Во-первых мы познакомились с формализмом Якверта, согласно которому риск-нейтральная вероятность равна субъективной, умноженной на поправку на неприятие риска. Благодаря этому у нас появилась возможность получить RND, зная наблюдаемую функцию плотности и функцию полезности индивида. Также была введена предпосылка конечного математического ожидания функции полезности в русле подхода к ней как функции с ограниченным изменением.

Составив задачу оптимального управления таким образом, что субъект рынка управляет своим отношением к риску и вероятностной картиной мира, и решив ее как вариационную, мы нашли вид первой производной функции полезности и вид функции плотности вероятности. Подставив эти функции вместо риск-нейтральной функции плотности вероятности в формулу для нахождения ожидаемых значений будущих выплат, дисконтированных с безрисковой ставкой процента, мы получим готовую модель для оценки опционов.

Задачей последней части данного исследования была проверка эффективности построенной модели на реальных рыночных данных. С помощью минимизации квадратов отклонений теоретических цен опционов от наблюдаемых на рынке была произведена параметризация искомых функций по опционам на покупку и по опционам на продажу на акции компании Goldman Sachs. На основании статистик полученных распределений были предложены различные варианты торговых стратегий, благодаря которым представляется возможным сделать вывод об эффективности получения информации о неявных рыночных ожиданиях из фактического распределения, полученного с помощью построенной модели, в отношении того горизонта инвестирования, который совпадает со временем исполнения опционов. Также благодаря нашей модели можно оценивать среднеквадратическое отклонение для ожидаемых функций плотности подлежащего актива, и, сравнивая ее с вмененной волатильность опционов, делать вывод о том, торгуются ли опционы по завышенной или заниженной цене.

Итак, выполнив ряд поставленных задач, мы достигли цели данной курсовой работы. Кроме того, были заданы векторы для дальнейших исследований в этой области.

Список использованной литературы

.     Будылин А.М.: Вариационное исчисление (Москва, 2001).

2.       Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматлит, 1961.

.        Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (4-е изд.). М.: Наука, 1976, С. 332.

.        Кротов В.Ф., Лагома Б.А., Лобанов С.М. и др. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. М.: Высшая школа, 1990.

.        Лейтман Дж. Введение в теорию оптимального управления. Серия: Теоретические основы технической кибернетики. Пер. с англ. М.: Наука. 1968.

.        Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. - 12-е изд. - М.: Айрис Пресс, 2014. 336 с.

.        Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

.        Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Физматгиз, 1961.

.        Ногин В.Д. Введение в оптимальное управление: Учебно-методическое пособие. - СПб: Изд-во "ЮТАС", 2008.

10.     Aït-Sahalia Y., Lo A.W., Nonparametric Estimation of State-Price Densities Implicit in Financial Asset Prices, 1988, Journal of Finance, 53.

.        Aït-Sahalia Y., Lo A.W., Nonparametric Risk Management and Implied Risk Aversion, 2000, Journal of econometrics, 94.

.        Becker G. The Economic Approach to Human Behavior // Rational Choice. Oxford: Blackwell. 1986. P. 111.

.        Black, F., Scholes, M., 1973. The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy 81, P. 637-654.

.        Bellman R. E., Dynamic programming, Princeton University Press, Princeton N J, 1957.

.        Coutant, S., "Implied Risk Aversion in Options Prices Using Hermite Polynomials." Manuscript presented at Workshop on Estimating and Interpreting Probability Density Functions, Bank of International Settlements, Basel, Switzerland (June 14)

.        Donaldson, J., & Mehra, R. Risk-Based Explanations of the Equity Premium. In Handbook of the Equity Risk Premium (2008), P. 48.

.        Fishburn, P. C. A General Axiomatization of Additive Measurement with Applications, 1992, Naval Research Logistics, Vol. 39, P. 741-755.

.        Gale, Ian L. and Stiglitz, Joseph E., A Simple Proof that Futures Markets are Almost Always Informationally Inefficient (December 1989). NBER Working Paper No. 3209. P. 3-5.

19.     Jackwerth J.C. Recovering Risk Aversion from Option Prices and Realized Returns. The Review of Financial Studies, Vol. 13, No. 2 (Summer, 2000), P. 436.

.        Harrison J. M. and Kreps D. M., Martingales and arbitrage in multiperiod securities markets, Journal of Economic Theory 20 (1979).

.        Harrison J. M. and Pliska S. R., A stochastic calculus model of continuous trading: complete markets, Stochastic Processes and Their Application 15 (1983), P. 313-316.

.        John C. Hull. Options, Futures, and Other Derivatives - 8th ed. Pearson Education Inc. 2012.

.        Jondeau E., Poon S-H. and Rockinger M. Financial Modelling Under Non-Gaussian Distributions. Springer Finance, 2006.

.        Krantz, D. H., Luce, R. D., Suppes, P., and Tversky, A. (1971) "Foundations of Measurement (Additive and Polynomial Representations)", Vol. 1. Academic Press, New York.

.        Pollak, R. A. The Review of Economic Studies, Vol. 38, No. 4 (Oct., 1971), P. 401-414.

.        Te Sun, H., Kobayashi, K.: Mathematics of Information and Coding (American Mathematical Society, 2002), P. 19-20.

.        Yalincak, Orhun Hakan, Criticism of the Black-Scholes Model: But Why is It Still Used?: (The Answer is Simpler than the Formula) (July 22, 2012).

.        http://finance.yahoo.com/q/op?s=GS+Options

.        http://finance.yahoo.com/q/hp?s=GS+Historical+Prices

.        http://ycharts.com/indicators/10_year_treasury_rate