. (51)
Она обеспечивает удовлетворительную точность. Об этом можно судить из графиков, показанных на рис. 26.
Рис. 26. Период процесса в режиме усиления второй гармоники
Кривые 1-4 получены для 10, 100, 1000, 10000. Напомним, что другие параметры ЭМК остаются неизменными для всех рассматриваемых численных примеров.
Для вывода соотношений, описывающих параметр необходимо подробнее рассмотреть распределения модулей амплитуд . Они показаны на рис. 27 а,б.
Рис. 27. Амплитудные распределения в режиме усиления второй гармоники
Кривые получены при 100, , . На рис. 27 а показаны распределения в крупном масштабе, а на рис. 27 б распределение , но на начальном участке. Из рис. 27 а,б видно, что расстояние можно представить следующим образом:
, (52)
где - координата точки минимума модуля амплитуды . Отметим, что координата может иметь также и отрицательные значения.
Для вывода соотношения, описывающего координату воспользуемся решением (39) системы дифференциальных уравнений, которое соответствует условию . В нем имеется неизвестная величина , которую ищем из начальных условий при :
. (53)
При записи выражения (53) принято во внимание, что при .
Подставляя соотношение (53) в решение (39), находим координату точки, в которой его модуль имеет минимальное значение. Эта координата совпадает с :
. (54)
С помощью формулы (54) не составляет труда определить расстояние .
Промежуточный режим представляет наибольшие трудности для аналитического исследования, так как в нем форма амплитудного распределения меняется весьма существенно в зависимости от начального значения параметра и параметра .
Имеет смысл выделить режим возбуждения квазисобственных волн, который наблюдается при выполнении условий, следующих из соотношений (41):
, . (55)
В этом режиме модули амплитуд не зависят от координаты . При небольших отклонениях от условий (55) распределения модулей амплитуд имеют вид осциллирующих функций (см. рис. 12).
6. Генерация второй гармоники в режиме пространственного синхронизма волн разных типов.
Возможность пространственного синхронизма волн ЭМК разных типов была установлена в разделе 2. Кратко рассмотрим результаты численного исследования этого режима. Мы не можем претендовать на полноту полученных результатов. Они говорят только о том, что интенсивная генерация второй гармоники в данном режиме в принципе возможна. Численные результаты, которые будут представлены ниже получены путем непосредственного решения системы нелинейных уравнений (3). Это накладывает ограничения на возможности увеличения числа элементов ЭМК. Имеются также ограничения на напряжение волны, возбуждающей ЭМК, которые связаны с неустойчивостью итерационного процесса решения системы (3).
На рис. 28 а,б и 29 а,б показаны распределения модулей амплитуд напряжений и токов в ЭМК со следующими параметрами: , , , , , . Возбуждался ЭМК волной на частотах 7.69 ГГц (см. рис. 28 а,б) и 8.2 ГГц (см. рис. 29 а,б).
Рис. 28. Распределения модулей амплитуд напряжений и токов на частоте 7.69 ГГц.
Рис. 29. Распределения модулей амплитуд напряжений и токов на частоте 8.2 ГГц.
Кривые 1 и 2 соответствуют первой и второй гармоникам частоты. Как было показано в разделе 2 в ЭМК с указанными параметрами на частоте около 7.7 ГГц наблюдается пространственный синхронизм между основной волной на первой гармонике и высшим типом волны на второй гармонике.
Из рисунков, представленных выше, видно, что распределение модулей напряжений и в особенности токов на второй гармонике имеет нарастающий характер на частоте 7.69 ГГц. При этом напряжения на первой гармонике заметно уменьшаются с ростом . В этом сказывается влияние пространственного синхронизма. На частоте 8.2 ГГц удаленной от частоты синхронизма распределения модулей амплитуд напряжений и токов имеют осциллирующий характер. При этом максимальные значения напряжений и токов существенно уступают таким же их значениям на частоте 7.69 ГГц. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что при нарушении условий пространственного синхронизма интенсивность преобразования энергии первой гармоники во вторую уменьшается.
Литература
1. Манцызов Б.И. Когерентная и нелинейная оптика фотонных кристаллов. М.: Физматлит. 2010.
2. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977.
3. Сазонов В.П., Силин Р.А. Замедляющие системы. М.: Сов. Радио. 1966.
4. Банков С.Е. Полубесконечный нелинейный электромагнитный кристалл // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 5. С. 1-11/
5. Банков С.Е. Модель нелинейного электромагнитного кристалла // Радиотехника и электроника. 2011. Т. 56. № 3. С. 261-274.
6. Маттей Д.Л., Янг Л., Джонс Е.М.Т. Фильтры СВЧ, согласующие цепи и цепи связи // М.: «Связь». 1971. Т.1.