Данная работа посвящена исследованию взаимодействия электромагнитных волн в нелинейных периодических структурах СВЧ диапазона, получивших название электромагнитных кристаллов (ЭМК). Известно несколько видов таких взаимодействий [1]. Особый интерес представляют явления, происходящие в условиях пространственного синхронизма волн ЭМК, распространяющихся на разных гармониках основной частоты . Мы рассматриваем установившиеся периодические процессы, в которых зависимость всех электрических параметров от времени может быть описана суммой гармоник вида . Здесь - круговая частота, - номер гармоники, который принимает положительные и отрицательные значения. Основная частота задается источником, возбуждающим ЭМК при этом возможно также наличие источника на удвоенной частоте .
Следует отметить, что типичной для ЭМК, а также для фотонных кристаллов ситуацией является слабая нелинейность отдельного элемента. Поэтому сильные эффекты в таких структурах могут возникать только как результат когерентного сложения множества слабых нелинейных взаимодействий. Указанное выше когерентное сложение возникает при выполнении условий пространственного синхронизма.
В теории волн в нелинейных средах известен пространственный синхронизм сонаправленных волн [2]. Он возникает при выполнении следующего условия:
, (1)
где - целые числа, имеющие смысл номеров гармоник основной частоты , - коэффициент замедления волны в среде, - ее постоянная распространения, - волновое число свободного пространства.
Термин сонаправленные волны показывает, что речь идет о волнах, имеющих вектора Пойнтинга и волновые вектора, ориентированные в одном направлении. Синхронизм сонаправленных волн приводит к интенсивной связи волн на частотах и , которая может приводить, например, к полной перекачке энергии с основной частоты на кратную ей частоту.
Особенностью периодических структур является возможность распространения в них обратных волн [3], у которых вектор Пойнтинга и волновой вектор направлены в противоположные стороны. Существование обратных волн порождает новый вид пространственного синхронизма, который не возникает в непрерывных средах: синхронизм противонаправленных волн [4]. Под противонаправленными волнами мы понимает волны, у которых вектора Пойнтинга сонаправлены, а волновые вектора противонаправлены. Очевидно, что в этом случае одна из волн является прямой, а другая обратной. Условие синхронизма имеет следующий вид:
. (2)
Отметим, что синхронизм противонаправленных волн является эффектом характерным исключительно для ЭМК. Возможность аномального поведения электромагнитных волн при выполнении условия (2) отмечалась в работе [4].
Целью данной работы является изучение синхронизма сонаправленных волн в ЭМК. Отметим, что, как показали результаты исследований, качественно оно во многом аналогично поведению волн в непрерывных нелинейных средах. Поэтому основное внимание мы уделим следующим вопросам: реализация режима пространственного синхронизма в ЭМК, аналитическое исследование распространения волн в ЭМК, численное исследование характеристик ЭМК в режиме пространственного синхронизма.
1. Математическая модель ЭМК.
Исследуемая структура показана на рис. 1. Она представляет собой два металлических экрана, образующих плоский волновод (ПВ). Внутри ПВ расположена решетка металлических цилиндров радиуса . В общем случае она имеет бесконечные размеры по оси 0у и конечные размеры по оси 0х. Размеры решетки по этой оси задаются числом . В цилиндры включены сосредоточенные нелинейные емкости. Решетка, формирующая ЭМК, возбуждается плоской волной, падающей под углом падения на основной частоте .
Рис. 1. Исследуемая структура
Модель представленной выше структуры получена в работе [5]. Поэтому мы не будем подробно рассматривать вывод уравнений, к которым сводится граничная задача для электромагнитного поля, а приведем основные соотношения без вывода:
, (3)
,
,
где
, (4)
,
, (5)
,
,
, ,
,
, ,
где - символ Кронекера, - волновое сопротивление среды внутри ПВ, - волновое число свободного пространства на частоте , - высота ПВ, - периоды решетки ЭМК, - номер максимальной гармоники основной частоты, учитываемой в решении, - номер гармоники основной частоты. Индексы описывают положение элемента ЭМК по оси 0х. Вектора и имеют размерность равную . Их элементами соответственно являются токи, текущие по цилиндрам ЭМК и напряжения на нелинейных емкостях. Вектор имеет такую же размерность, а его элементами являются напряженности компоненты поля падающей волны в центрах цилиндров ЭМК. При выводе соотношений (2) - (5) принято во внимание, что в силу периодичности ЭМК по оси 0у все электродинамические параметры имеют экспоненциальную зависимость от индекса :
.
Индекс описывает положение центра элемента ЭМК по оси 0у. Волновое число задается падающей волной, поле которой описывается следующим образом:
, (6)
.
В уравнении (3) под понимается нелинейный оператор, связывающий гармоники тока с гармониками напряжения на нелинейных емкостях. В общем случае он имеет следующий вид:
, (7)
.
В формуле (7) индекс - это номер элемента ЭМК, задающий его положение на оси 0х, - нелинейная емкость, зависящая от напряжения .
Благодаря оператору система уравнений (5) становится нелинейной системой, которую в общем случае можно решить только численными методами.
2. Условия реализации пространственного синхронизма волн.
В данном разделе мы рассмотрим условия, при которых в ЭМК возникает пространственный синхронизм сонаправленных волн. Сложность его реализации заключается в необходимости одновременного удовлетворения условию кратности частот и условию равенства коэффициентов замедления волн. Изучение собственных волн линейного ЭМК показывает, что они могут иметь одинаковые коэффициенты замедления на разных частотах, однако при этом отношение частот совсем не обязательно равно двум или, по крайней мере, является натуральным числом.
Отметим, что постоянные распространения собственных волн ЭМК получаются из решения следующего уравнения:
, (8)
,
,
где - линейная емкость. Индексы в уравнении (8) означают, что данные величины берутся на основной частоте . В принципе для линейной системы индекс не имеет смысла, так как в ней поля на кратных частотах не возникают. Мы его сохранили для единообразия обозначений введенных в формулах (3) - (5).
Изучение собственных волн линейного ЭМК необходимо для определения условий возникновения пространственного синхронизма. Ограничимся исследованием волн на частотах и . Рассмотрим два случая. Отметим, что ЭМК является более сложным объектом, чем однородная среда. Поэтому в нем возможен режим многоволнового распространения. В этом режиме в ЭМК существуют две и более волны, отличающиеся друг от друга структурой поля и постоянными распространения. Также в ЭМК можно создать условия, при которых на частотах и существует один распространяющийся тип волны. Такой режим принято называть одноволновым. Возникновение многоволнового режима в ЭМК существенно зависит от его периодов и от угла распространения волны , то есть угла между волновым вектором волны и осью 0х. Таким образом, мы предполагаем, что в общем случае волна может распространяться в плоскости XOY под произвольным углом к осям координат (см. рис. 2).
Рис. 2. К определению направления распространения волны
Из рис. 2 видно, что постоянная распространения является проекцией волнового вектора на ось 0х. Его проекцию на ось 0у - считаем фиксированной величиной, а из уравнения (8) находим значение . Непосредственно задавать величину неудобно. Для ее определения введем угол падения :
, (9)
Угол распространения определяется через угол падения из уравнения:
. (10)
Угол падения имеет простой смысл, который состоит в том, что он равен углу, под которым на ЭМК падает Т - волна ПВ, имеющая проекцию волнового вектора на ось 0у равную . Такая волна возбуждает в ЭМК его собственные волны, имеющие такую же проекцию на волнового вектора на ось 0у. Таким образом, с помощью угла падения мы можем одинаково описывать, как распространение собственных волн в бесконечном ЭМК, так и возбуждение ЭМК внешним полем.
Рассмотрим два способа создания режима пространственного синхронизма сонаправленных волн. Первый из них можно назвать методом компенсации емкости. Он реализуется при параллельном подключении к нелинейной емкости дополнительной цепи, состоящей из сосредоточенных реактивных элементов (см. рис. 3).
Рис. 3. Нелинейная емкость с дополнительной цепью
Проводимость цепи обозначим через и потребуем выполнения следующих условий:
, (11)
,
где - линейная часть емкости (), - частота пространственного синхронизма для первой гармоники.
Из системы уравнений (11) видно, что при ее выполнении суммарная проводимость, включенная в металлический цилиндр, являющийся элементом ЭМК, равна нулю. В этом случае ток через цилиндр не течет, что эквивалентно его отсутствию в составе ЭМК. Если внутри ПВ нет цилиндров, или, по крайней мере, отсутствует их влияние на электромагнитное поле, то это означает, что внутри ПВ распространяются его собственные волны. Наибольший интерес представляет основная Т - волна, имеющая на любой частоте коэффициент замедления равный единице. Таким образом, мы приходим к выводу о том, что на частотах и 2 в ЭМК распространяются волны с одинаковыми коэффициентами замедления, что говорит о существовании в ЭМК искомого режима пространственного синхронизма.
Структура дополнительной цепи может быть достаточна произвольной. Остановимся на цепи лестничного типа известной в теории фильтров [6]. Простейшая цепь, с помощью которой можно удовлетворить системе уравнений (11), содержит три элемента. Два варианта выполнения такой цепи показаны на рис. 4.
Рис. 4. Принципиальные схемы дополнительной цепи
Поскольку для выполнения системы уравнений (11) необходимо, чтобы импеданс дополнительной цепи на частотах и 2 имел индуктивный характер, то более естественным представляется использование схемы, показанной на рис. 4 а. Ее проводимость может быть выражена следующим образом:
. (12)
Подставляя формулу (12) в систему (11), получим систему уравнений для определения неизвестных и . Видно, что число уравнений недостаточно для однозначного решения поставленной задачи. Поэтому мы имеем возможность фиксировать один из искомых параметров или сформулировать дополнительное условие. Например, мы можем потребовать, чтобы суммарная проводимость, включенная в цилиндр, стремилась к бесконечности на некоторой частоте удовлетворяющей неравенству:
. (13)
От способа формулировки дополнительного условия поведение собственных волн меняется весьма незначительно. От него преимущественно зависят номиналы реактивных элементов дополнительной цепи и .
Рассмотрим численный пример, показывающий возможность реализации пространственного синхронизма с помощью метода скомпенсированной емкости. , , , , , . Размеры здесь и далее даны в миллиметрах, емкости в пикофарадах и индуктивности в наногенри. В качестве дополнительного условия взято равенство полной проводимости бесконечности на частоте =7 ГГц (). Частота взята равной 4.5 ГГц.
На рис. 5 показана частотная зависимость коэффициента замедления волны ЭМК. Важно, что кривые на рис. 5 соответствуют одной волне ЭМК основного типа. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что рассматриваемый ЭМК находится в одноволновом режиме.
Рис. 5. Частотная зависимость коэффициента замедления основной волны ЭМК
Возможность реализации пространственного синхронизма собственных волн ЭМК в одноволновом режиме является существенным преимуществом метода скомпенсированной емкости.
Из рис. 5 также видно, что на частотах 4.5 и 9 ГГц волна ЭМК имеет одинаковый коэффициент замедления равный единице.
Интересные выводы позволяет сделать анализ двух графиков функций и , если их построить в окрестности значения аргумента равного 4.5. Такие графики представлены на рис. 6. Кривая 1 соответствует функции , а кривая 2 функции .Видно, что два графика не пересекаются в одной точке, как этого можно было ожидать, а касаются друг друга. В результате коэффициенты замедления на кратных частотах оказываются близкими друг другу в некотором диапазоне частот. Поэтому условия близкие к условиям пространственного синхронизма выполняются в полосе частот, хотя исходили мы (см. систему (11)) из требований сформулированных только для частоты .
Рис. 6. Частотная зависимость коэффициента замедления
Другой способ реализации пространственного синхронизма заключается в использовании многоволнового режима в ЭМК на частоте . При этом дополнительная цепь к емкости не подключается, но рассматривается распространение волн в ЭМК под некоторым углом к оси 0х.