Необходимость использования ненулевых углов падения обусловлена тем, что условия синхронизма даже в многоволновом ЭМК, но при =0 выполнить не удалось. Для пояснения причин этой ситуации рассмотрим частотную зависимость модуля коэффициента замедления собственных волн ЭМК. Параметры ЭМК выбраны таким образом, чтобы в некотором диапазоне частот в нем могли распространяться две и более волны.
Указанная зависимость представлена на рис. 7. Она получена при , , , , , . Красным цветом показан коэффициент замедления основной волны ЭМК, а синий соответствует первому высшему типу. Из рис. 7 хорошо видна зонная структура ЭМК. Рассмотрим ее подробнее.
На низких частотах мы имеем полосу пропускания. Присвоим ей нулевой номер. В этой полосе пропускания основная волна ЭМК имеет замедленный характер (). При повышении частоты распространяющиеся волны в ЭМК исчезают и он попадает в полосу запирания с нулевым номером. В диапазоне частот 6.2-15 ГГц наблюдается первая полоса пропускания (), в которой сохраняется одноволновый режим распространения. Первую полосу пропускания сменяет довольно узкая первая полоса запирания, которую также называют Брэгговской.
Рис. 7. Частотная зависимость модуля коэффициента замедления при
Начиная с некоторой частоты, которая в рассматриваемом случае равна 18.1 ГГц, в ЭМК распространяются две волны разных типов. При этом одна из них - основная является обратной волной, а волна высшего типа прямой. Назовем полосу пропускания с несколькими распространяющимися волнами многоволновой зоной. Будем оптимизировать параметры ЭМК с целью получить равные коэффициенты замедления основной волны в первой полосе пропускания и волны высшего типа в многоволновой зоне. К сожалению, выполнить условия пространственного синхронизма для этих волн при не удается.
Рис. 8. Частотная зависимость модуля коэффициента замедления при
Увеличения угла падения резко сдвигает вниз по частоте точку возникновения многоволновой зоны, при этом слабо влияя на основную волну. В этом можно убедиться, анализируя графики на рис. 8, на котором показана частотная зависимость модуля коэффициента замедления при . Благодаря указанному изменению поведения кривых возникает возможность обеспечить равенство коэффициентов замедлений основной и высшей волн на кратных частотах и 2.
О выполнении условий пространственного синхронизма для двух рассматриваемых волн говорят графики на рис. 9. На рис. 9 показаны графики уже использованных функций и , которым соответствуют кривые 1 и 2.
Рис. 9. Частотная зависимость коэффициента замедления
Из рис. 9 видно, что кривые имеют единственную точку пересечения при =7.7 ГГц. В точке пересечения коэффициент замедления равен =0.55. Отметим, принципиальную разницу между двумя рассмотренными способами реализации режима пространственного синхронизма. Метод скомпенсированной емкости работает в одноволновом режиме, а метод, использующий волны высших типов принципиально реализуем только в многоволновом режиме, в котором кроме двух волн, находящихся в синхронизме существуют также другие волны, которые могут отбирать энергию у взаимодействующих волн и благодаря этому существенно влиять на их распространение.
3. Модель ЭМК в режиме синхронизма сонаправленных волн.
Непосредственное использование модели ЭМК в виде уравнений (3) - (5) для анализа ЭМК в режиме синхронизма оказывается неэффективным. Проблема состоит в том, что взаимодействие волн ЭМК происходит в виде периодического или квазипериодического процесса, который формируется на расстояниях многократно превышающих период ЭМК. Таким образом, для его исследования необходимо анализировать электромагнитное поле в структуре с весьма большим числом элементов вдоль оси 0х . Прямое численное решение нелинейной системы (3) в этом случае часто сопровождается неустойчивостью и может вообще быть расходящимся. Поэтому возникает необходимость адаптации модели к условиям синхронизма.
Уравнения (3) - (5) могут использоваться для нелинейных элементов с разной зависимостью емкости от напряжения на ней. Также в них отсутствуют ограничения на количество учитываемых гармоник. Модель, которая будет построена в данном разделе имеет ограниченную область использования. Она учитывает только взаимодействие первой и второй частотных гармоник. Кроме того, она справедлива для емкостей с простейшей линейной зависимостью от напряжения:
, (14)
которая, вообще говоря, верна только при достаточно малых напряжениях на емкости.
При построении модели будем использовать уже отмеченное свойство процессов в ЭМК, а именно медленное изменение напряжений на емкостях на периоде ЭМК . Кроме того, будем рассматривать ЭМК находящиеся в одноволновом режиме на частотах и . Из этого условия следует, что пространственный синхронизм реализован по методу скомпенсированной емкости (см. раздел 2).
Сформулированные Выше приближения позволяют перейти от исходной системы уравнений (3) к более простой системе:
, (15)
,
где , - диагональные матрицы, у которых на главной диагонали стоят проводимости элементов, включенных в цилиндры ЭМК. Нетрудно увидеть, что эти проводимости равны проводимости линейной емкости плюс проводимость компенсирующей цепи. На частоте пространственного синхронизма суммарная проводимость равна нулю на частотах первой и второй гармоник. Символс означает операцию комплексного сопряжения.
Операции над векторами в формулах (9) применяются почленно к элементам векторов с одинаковыми индексами. Таким образом, например, - это вектор со следующими элементами:
. (16)
В развернутой форме система уравнений (15) имеет следующий вид:
, (17)
, .
В качестве первого шага преобразований системы (17) рассмотрим оператор, стоящий в левой части. Считаем, что индекс меняется от минус до плюс бесконечности. Это возможно сделать при выполнении условия:
, при , .
Нетрудно показать, что справедливо следующее равенство:
, (18)
,
,
.
Из соотношений (18) видно, что функция является дискретным преобразованием Фурье последовательности . Аналогичные утверждения справедливы для , а также для и .
Конкретизируем далее отмеченное выше свойство медленного изменения параметров волн в ЭМК в режиме пространственного синхронизма. Оно состоит в том, что можно представить в следующем виде:
, (19)
где - постоянные распространения собственных волн линейного ЭМК на частотах соответственно и . Непосредственно на частоте пространственного синхронизма они связаны соотношением . При этом, если синхронизм реализуется по методу скомпенсированной емкости, то .
Экспоненциальный множитель в формуле (19) описывает быстрые изменения напряжений на элементах ЭМК, а множитель медленные изменения, представляющие наибольший интерес. Из вида соотношения (19) следует, что дискретное преобразование Фурье таких последовательностей сосредоточено в небольшой окрестности точки . Поэтому в соотношении (18) мы можем вместо точного выражения для функций использовать их приближенные представления, справедливые только в окрестности указанной выше точки:
, (20)
,
где - производные от соответствующих функций.
Подставляя соотношения (20) в выражения (18), получаем:
. (21)
Из условия медленного изменения амплитуд можно записать следующие приближенные равенства:
, (22)
,
.
С учетом формул (22) получаем окончательное выражение для исследуемого оператора:
. (23)
Строго говоря, соотношение (23) справедливо при бесконечных пределах суммирования. Однако мы будем применять его для анализа ЭМК конечных размеров, принимая во внимание, что концевые эффекты, связанные с конечностью ЭМК будут сказываться только на небольшом числе элементов структуры, расположенных на ее краях. Кроме того, из дальнейшего анализа будет ясно, что эти эффекты весьма малы даже на границах ЭМК.
Анализ аналогичный представленному выше можно провести для свободного члена уравнений (17):
(24)
,
где
=, (25)
,
=.
Выражения (24) и (25) записаны для случая, когда ЭМК возбуждается на обеих рассматриваемых частотах плоскими Т - волнами ПВ. Амплитуды электрических полей этих волн равны . Они не зависят от координаты и, следовательно, от индекса . В этом случае возникает вопрос о смысле индекса во втором равенстве из (25). На первый взгляд он не нужен, так как в правой части стоят величины не зависящие от него. Однако это не совсем так. Поскольку речь пошла о возбуждении, то это означает автоматически, что мы рассматриваем ЭМК конечной длины или, по крайней мере, полубесконечный ЭМК. Это означает, что элементы векторов отличны от нуля только при . С учетом этого факта можно привести более правильное определение для последовательности :
. (26)
Соотношение (26) приводит к следующему выражению для :
, (27)
где - символ Кронекера. Для полубесконечного ЭМК второе слагаемое в формуле (27) отсутствует.
Отметим дополнительно также то, что при выводе (24) и (25) принято во внимание, что дискретное преобразование Фурье от последовательностей имеет нули при . В этом нет ничего удивительного, так как нули этой функции совпадают с постоянными распространения собственных волн ПВ, в число которых входит Т - волна, имеющая на соответствующих частотах постоянные распространения равные .
С учетом выполненных выше преобразований получаем следующую систему разностных уравнений:
, (28)
,
.
Уравнения (28) получены для полубесконечного ЭМК. Непосредственно на частоте пространственного синхронизма выполняются следующие соотношения:
, (29)
,
.
В справедливости последнего соотношения из (29) можно убедиться, непосредственно вычисляя коэффициенты . Равенства (29) позволяют упростить систему (28):
, (30)
.
Уравнения (28) и (30) можно использовать для непосредственного итерационного решения. При этом следует иметь ввиду, что при . С учетом этого обстоятельства слагаемые в правой части системы (30) можно рассматривать в качестве начальных условий итерационного процесса.
Для аналитического исследования решения граничной задачи разностные уравнения (30) можно приближенно преобразовать к дифференциальным уравнениям. Такое преобразование справедливо, вообще говоря, в пределе при . Однако, принимая во внимание медленное изменение амплитуд , мы можем совершить указанный переход при конечном периоде ЭМК. Для этого сделаем следующие замены:
, (31)
,
.
Таким образом, мы приходим к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:
, (32)
с концевыми условиями:
.
Система дифференциальных уравнений (32) хорошо известна в теории нелинейных волн [2]. Мы не будем ставить перед собой задачу поиска новых аналитических решений, а будем использовать уравнения (32) и известные их решения для получения простых количественных оценок параметров процессов распространения волн в ЭМК в режиме пространственного синхронизма.
4. Качественная характеристика и результаты численного исследования волновых процессов в режиме пространственного синхронизма сонаправленных волн.
Рассмотрим поведение электромагнитных волн в наиболее интересной ситуации, когда условия пространственного синхронизма выполняются абсолютно точно. С помощью итерационной схемы, представленной в разделе 3 был проведен цикл численных исследований. Его результаты можно разделить на две группы. Первая группа - это качественное описание режимов распространения электромагнитных волн. Вторая группа - это количественные характеристики процессов, полученные численно. Рассмотрим обе группы в данном разделе. В следующем части работы мы попытаемся с помощью аналитического решения системы дифференциальных уравнений (32) получить ряд простых соотношений для параметров волновых процессов, достаточно хорошо совпадающих с численными результатами раздела 4.
На рис. 10-13 показаны распределения модулей амплитуд волн на первой и второй гармониках . Кривая 1 на рис. 10-13 соответствует первой, а кривая 2 второй гармонике. Графики получены для следующих параметров структуры: пФ/В, , , , , ГГц.
Возбуждающие ЭМК волны описывались следующим образом. Пусть - амплитуды этих волн (индексы 1,2 соответствуют первой и второй гармоникам частоты). Введем следующие параметры:
, (33)
,
.
Графики на рис. 10-13 соответствуют следующим значениям введенных в соотношении (33) параметров: , , 100, 1.25, 0.01.
Рис. 10. Распределение модулей амплитуд волн в режиме генерации второй гармоники
Рис. 11. Распределение модулей амплитуд волн в режиме усиления второй гармоники
электромагнитный кристалл волна частотный
Рис. 12. Распределение модулей амплитуд волн в промежуточном режиме
Рис. 13. Распределение модулей амплитуд волн в режиме усиления первой гармоники
Из рис. 10-13 видно, что параметром, определяющим характер взаимодействия волн в ЭМК является отношение модулей амплитуд падающих волн .
При (см. рис. 10), что наблюдается, когда =0, мы имеем режим генерации второй гармоники, который характеризуется перекачкой энергии с частоты на частоту . Этот процесс непериодический. Обратная перекачка с частоты на частоту не происходит.