Большие, но конечные значения параметра соответствуют режиму усиления второй гармоники. В этом режиме малый сигнал удвоенной частоты усиливается за счет взаимодействия с сильным сигналом на частоте . Процесс имеет квазипериодический характер (вопрос о периодичности мы еще будем обсуждать ниже, а сейчас ограничимся использованием термина квазипериодический, который говорит о том, что процесс близок к периодическому, но не полностью тождественен ему). Отметим также, что распределение модулей амплитуд имеет существенно негармонический характер.
При значениях порядка единицы ЭМК находится в промежуточном режиме. Распределение модулей амплитуд квазипериодическое и близкое к гармоническому.
Последний режим - это режим параметрического усиления первой гармоники, который имеет место при . В этом случае процесс имеет квазипериодический и негармонический характер.
Рассмотрим далее некоторые результаты численного исследования процесса распространения электромагнитных волн в нелинейном ЭМК в условиях пространственного синхронизма. На рис. 14 а,б показаны типичные распределения модулей амплитуд волн первой и второй гармоник в режиме параметрического усиления (рис. 14 а) и усиления второй гармоники (рис. 14 б). Также на рис. 14 а,б поясняются параметры, с помощью которых мы будем количественно описывать исследуемые процессы. К их числу относятся период процесса , координата точки первого максимума , максимальные и минимальные значения модулей амплитуд первой и второй гармоник.
Рис. 14. К определению параметров процесса в режимах усиления первой и второй гармоник
Отметим, что координата определяется по-разному в режимах усиления первой и второй гармоник. В первом случае, который соответствует неравенству параметр описывает расстояние от начала координат то точки максимума первой гармоники, а во втором случае () до точки максимума второй гармоники. Таким образом, в обоих режимах мы можем с помощью параметра можем описывать расстояние, на котором происходит максимальная перекачка энергии из гармоники с большей начальной амплитудой в гармонику с меньшей начальной амплитудой.
На рис. 15, 16 представлены зависимости координаты первого максимума и периода от параметра , который определяется разностью фаз между волнами, возбуждающими ЭМК. Указанные зависимости получены при , пФ, , , , , ГГц. Кривые 1 - 5 на обоих рисунках соответствуют q=0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 0.4. Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что представленные графики получены в режиме усиления первой гармоники.
Рис. 15. Координата первого максимума первой гармоники
Параметр меняется от минус до плюс . Этого интервала достаточно для полного описания поведения функций и , так как они удовлетворяют следующим соотношениям:
, (34)
.
Рис. 16. Период процесса в режиме параметрического усиления
Обращает на себя внимание присутствие точек, в которых параметры и резко растут. Ниже будет показано, что они уходят на бесконечность. Это происходит при =. Таким образом, при некоторой разности фаз возбуждающих ЭМК волн процесс становится апериодическим. При этом при = усиление первой гармоники сохраняется, так как остается конечной величиной, а при = усиление отсутствует, поскольку .
Скорость перекачки энергии из второй гармоники в первую зависит от амплитуды первой гармоники на входе ЭМК, которая характеризуется параметром . Из рис. 15 хорошо видно, что расстояние уменьшается с ростом .
Режим усиления второй гармоники характеризуется графиками, показанными на рис. 17 и 18. На них представлены зависимости координаты и периода от параметра . Кривые 1 - 5 соответствуют q = 4, 10, 100, 1000, 10000. Остальные параметры ЭМК такие же как и раньше.
Рис. 17. Координата первого максимума второй гармоники
Основное отличие режима усиления второй гармоники от рассмотренного выше усиления первой гармоники состоит в том, что усиление теперь отсутствует при =. Процесс при этих значениях фаз возбуждающих волн имеет апериодический характер.
Рис. 18. Период процесса в режиме усиления второй гармоники
Интересные закономерности позволяет установить анализ макисмальных и минимальных значений амплитуд первой и второй гармоник в промежуточном режиме. На рис. 19 и 20 показаны их зависимости от параметра при =0.9. Кривая 1 соответствует максимальному значению, а кривая 2 минимальному. Первой гармонике соответствует рис. 18, а второй рис. 19.
Из рис. 19 и 20 видно, что являются периодическими функциями с периодом равным . При = минимальное значение амплитуды равно нулю, а максимальное . Они не меняются при изменении . Это означает, что процесс имеет непериодический характер. При =0, пульсации амплитуд минимальны. Интересно, что их величина зависит от параметра . При они вообще исчезают.
Рис. 19. Зависимость максимальных и минимальных значений амплитуды первой гармоники от параметра
Рис. 20. Зависимость максимальных и минимальных значений амплитуды второй гармоники от параметра
Об этом эффекте наиболее наглядно свидетельствуют графики зависимости от переменной , которые показаны на рис. 21 и 22. Кривые 1 - 3 соответствуют максимальному значению амплитуды. Они получены для =-22.5, 0, 450. Кривые 1'-3' получены для тех же значений , но они соответствуют минимальным значениям амплитуды.
Рис. 21. Зависимость максимальных и минимальных значений амплитуды первой гармоники от параметра
Рис. 22. Зависимость максимальных и минимальных значений амплитуды второй гармоники от параметра
Из рис. 21, 22 видно, что максимальное и минимальное значения амплитуд первой и второй гармоник сближаются и при совпадают друг с другом. Полное совпадение означает, что амплитуды практически не меняются вдоль оси 0х. Характерно, что абсолютные значения амплитуд волн на первой и второй гармониках частоты отличаются друг от друга.
Решение в режиме генерации второй гармоники имеет апериодический характер. Энергия волны на основной частоте переходит в волну на удвоенной частоте. Обратной перекачки энергии не возникает.
Приведенные выше численные данные получены для фиксированного значения параметра , который пропорционален суммарной мощности, переносимой волнами в ЭМК. Из теории нелинейных волн известно [2], что он влияет только на скорость процесса, которая определяется произведением . Численные исследования показывают, что такой характер влияния сохраняется и в случае ЭМК.
5. Аналитическое исследование волновых процессов в режиме пространственного синхронизма.
Целью аналитического исследования является вывод достаточно простых соотношений, дающих, без использования численных расчетов, количественную характеристику волновых процессов в режиме пространственного синхронизма. Эту задачу решим с помощью модели в виде системы дифференциальных уравнений (32). Как уже отмечалось выше, частные решения этой системы известны [2]. Мы попытаемся, используя их, получить приближенную модель квазипериодических процессов, изученных численно в разделе 4.
Будем использовать три частных решения: решение в гиперболических функциях, два решения при заданной накачки и решение в виде квазисобственных волн. Приведем их без подробного анализа.
Решение в гиперболических функциях:
, (35)
,
,
где , , - постоянные, с точностью до которых определяется решение однородной системы дифференциальных уравнений (32). Их можно определить из начальных условий. Нетрудно показать, что
.
Отсюда следует, что постоянная равна . Таким образом, она определяется мощностью, поступившей на вход ЭМК. Если ввести аналогично соотношению (33) параметр , то можно увидеть, что для решения в гиперболических функциях он равен .
Решение при постоянной накачке на второй гармонике. Это решение получается из системы уравнений (32) при условии, что , которое может приближенно выполняться при . В этом случае система (32) сводится к следующей системе дифференциальных уравнений:
, (36)
.
Система (36) имеет следующее решение:
, (37)
,
где - действительные числа, определяемые из начальных условий.
Решение при постоянной накачке на первой гармонике соответствует условию , которой может выполняться при . Это решение элементарно получается из второго уравнения системы (32):
, (38)
где - постоянная интегрирования дифференциального уравнения. Ее можно записать следующим образом:
.
Тогда решение (38) приобретает удобный вид:
. (39)
Решение в виде квазисобственных волн. Это частное решение системы (32) получается, если его искать в следующем виде:
,
,
где - постоянные, не зависящие от координаты , а имеет смысл постоянной распространения квазисобственной волны. Из системы (32) можно получить следующие соотношения:
, . (40)
Из соотношений для комплексных величин (40) следуют два равенства для модулей и фаз:
, . (41)
Режим генерации второй гармоники, в котором можно точно описать решением в гиперболических функциях:
, (42)
,
.
В соотношениях (42) параметр можно заменить так как . Таким образом, мы можем сделать вывод о том, что скорость перекачки энергии первой гармоники во вторую определяется параметром , о котором говорилось выше.
Численное решение и аналитическая модель (42) дают практически одинаковые результаты. Этот вывод можно сделать из рис. 23, на котором показаны распределения модулей амплитуд волн на первой и второй гармониках.
Рис. 23. Распределения модулей амплитуд волн, полученные из численной и аналитической моделей
Они получены при . Другие параметры такие же, как и в приведенных выше численных примерах. Кривые 1 и 2 соответствуют первой и второй гармоникам. Точки показывают результаты численного решения, а сплошные кривые аналитического.
Рассмотрим далее режим параметрического усиления первой гармоники. Будем анализировать ситуацию, при которой амплитуда возбуждающей волны на основной частоте много меньше амплитуды волны на удвоенной частоте: , что эквивалентно неравенству . Опишем поведение амплитуд комбинацией решения в гиперболических функциях и решения с заданной накачкой на второй гармонике.
Из рис. 23 хорошо видно, что на начальном участке функцию действительно можно считать постоянной. Поэтому для описания функции допустимо использовать решение (37). В области первого максимума амплитуды волны на первой гармонике целесообразно использовать решение в гиперболических функциях. При этом неизвестные константы решения (37) будем выбирать исходя из начальных условий, а неизвестные константы в (35) найдем из условий сшивания соотношений (35) и (37).
Наложение начальных условий приводит к следующим соотношениям:
, (43)
.
В формулах (43) величина заменена более удобным параметром , к которому она близка при принятых соотношениях между амплитудами волн, возбуждающих ЭМК.
Теперь перейдем к сшиванию двух решений. При решение (37) имеет следующее асимптотическое поведение:
, (44)
.
Рассмотрим решение в гиперболических функциях для амплитуды :
,
.
Исходим из условия . Тогда при малых значениях гиперболический тангенс приближенно равен минус единице:
. (45)
При должно выполняться начальное условие для , которое с учетом того, что позволяет определить постоянную :
, (46)
Таким образом, мы выразили фазы амплитуд волн, описываемых решением в гиперболических функциях через фазу возбуждающей волны . Из формулы (46) следует выражение для параметра :
. (47)
Сравнивая выражения (44) и (47), можно сделать вывод, что они совпадают при .
Далее рассмотрим решение в гиперболических функциях для первой гармоники:
.
При малых оно имеет экспоненциальный вид:
. (47)
Сравнивая выражения (44) и (47), приравняем множители при экспонентах и найдем неизвестный параметр :
. (48)
Этот параметр является расстоянием от начала координат до точки первого максимума амплитуды первой гармоники частоты. Как видно из рис. 14 а он равен . Из того же рис. 14 а нетрудно увидеть, что период процесса равен удвоенной разности между координатами и , где - это координата точки минимума указанной амплитуды. Таким образом, для периода получаем следующее выражение:
. (49)
На рис. 24 и 25 показаны зависимости расстояния и периода от параметра . Сплошные кривые получены с помощью аналитических формул. Точки соответствуют численным расчетам. Кривые 1 - 4 построены для 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1. Исходные формулы (48), (49) дают погрешность (1 - 2)%. Для устранения этой погрешности в данные соотношения введены корректирующие множители:
, (50)
.
Рис. 24. Зависимость расстояния от параметра
Рис. 25. Зависимость периода от параметра
Как видно из рис. 24, 25, введение корректирующих множителей существенно уменьшает расхождение численных и аналитических результатов.
Рассмотрим далее режим усиления второй гармоники, возникающий при . В этом режиме построит полноценную аналитическую модель, описывающую процессы в ЭМК вплоть до первого максимума второй гармоники затруднительно. Однако для периода процесса удалось получить на основе аппроксимации численных данных следующую формулу, очень похожую на соотношение (50):