Материал: Вв. Гл1,2_1

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Большинство сигналов имеет бесконечный частотный спектр. В то же время для них применяют понятие о ширине спектра, о граничной частоте спектра сигнала, т.е. считают, что спектры у таких сигналов ограничены. Под шириной спектра понимают диапазон частот, в котором сосредоточена заданная доля от энергии всего сигнала (50, 90, 95, ..)% , а верхнюю частоту этого диапазона называют верхней граничной частотой спектра сигнала .

Для одиночного прямоугольного импульса за ширину спектра принимают интервал частот от 0 до 2/τ_u т.е. верхняя граничная частота равна _гр= 2/τ_u .

Следовательно, чем короче импульс τ_u,тем шире его спектр _гр .

2.4. Операторное представление сигнала

Преобразование Фурье применяется лишь для сигналов с конечной энергией, т. е. для сигналов удовлетворяющих условию

Функция S(t), удовлетворяющая записанному условию, называется абсолютно интегрируемой.

Более универсальным является операторное представление сигнала, которое основано на преобразование Лапласа. При операторном представление, сигналу S(t), как функции действительной переменной t, ставится в соответствие функция комплексной переменной р - S(p), где, p= σ+jω (p - называется комплексной частотой). Эта функция вводится следующим выражением:

- прямое преобразование Лапласа (ППЛ), (S(p)=L[S(t)]),

- обратное преобразование Лапласа (ОПЛ), (S(t)=L^-1[S(p)]).

Функцию S(t) – называют оригиналом или сигналом, а S(p) – изображением или операторным представлением сигнала.

Для нахождения функции спектральной плотности S(jω) по известному операторному представлению S(p) сигнала необходимо оператор р заменить на jω, т.е. S(jω) = S(р)|_р=_j_ω .

Пример. Найти спектральную плотность S(j ω) для единичной функции.

2.5. Свойства преобразований Фурье и Лапласа

Так как преобразования Фурье и Лапласа схожи, рассмотрим свойства только преобразования Фурье.

1 ). Спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов, т.е.

S₁(t)→S₁(jω); S₂(t)→S₂(jω); S(t)=S₁(t)+S₂(t)→S(jω)=S₁(jω)+S₂(j ω).

Это вытекает из свойства линейности преобразования Фурье ПФ.

2). Спектр сигнала сдвинутый по оси времени на время t_з(время задержки), равен спектру исходного сигнала, помноженного на множитель .

т.е. если S₁(t)→S(j ω), то S₂(t)=S₁(t-t_з)→S₁(j ω) .

На рис.2.18 приведены сигналы: без временного сдвига (рис.2.18 а), сигнал с задержкой на время t₀ (рис.2.18 б) и сигнал с опережением на время t₀ (рис. 2.18 в)

3).Изменение масштаба сигнала по оси времени приводит к изменению масштаба его спектра по оси частот

S₁(t)→S₁(j ω); S₂(t)=S₁(αt)→S₂(t)= S₁(j ω /α).

Если α >1, то сигнал сжимается по оси времени, что приводит к растяжению его спектра по оси частот.

Если 0< α<1, то сигнал растягивается по оси времени, а его спектр сжимается по оси частот.

Пример: S₁(t)=cos ωt; S₂(t)=cos2 ωt.

4). Дифференцирование сигнала эквивалентно умножению его спектра на множитель jω.

Пусть сигнал S₁(t) имеет спектральную плотность S₁(jω), (S₁(t) → S₁(jω)), тогда S₂(t)=d(S₁(t))dt → S₂(j) = j S₁(jω).

При дифференцировании выделяются высокочастотные составляющие спектра сигнала, а низкочастотные ослабляются, т.к. имеют малый масштабный множитель.

5). Интегрирование сигнала эквивалентно умножению спектра на множитель 1/jω.

Пусть сигнал S₁(t) имеет спектр S₁(j), (S₁(t) → S₁(jω)), тогда

S₂(t)= S₁(t)dt → S₂(j) = (1/j)S₁(jω)).

При интегрировании выделяются низкочастотные составляющие, а высокочастотные – подавляются.

2.6. Модулированные сигналы и их спектры. Радиосигналы

Для передачи информации на большие расстояния требуются электромагнитные колебания, которые эффективно излучаются антенными устройствами и способны распространяться в свободном пространстве с малым затуханием. Такими сигналами являются высокочастотные колебания. Среди них наиболее распространенными в радиотехнике являются гармонические колебания.

Чисто гармоническое колебание представляет собой детерминированную функцию и не содержит никакой информации, но оно эффективно излучается и распространяется, а потому, такое колебание называется несущим.

Чтобы превратить высокочастотное гармоническое колебание в радиосигнал, нужно заложить информацию в несущее колебание. Это делается путем управления параметрами гармонического колебания по закону передаваемого сообщения. Этот процесс управления называют модуляцией.

Для получения меньших искажений вносимых в радиосигнал при его передаче их через радиотехнические устройства, обычно выбирают частоту несущего колебания ω₀значительно больше максимальной частоты модулирующего сигнала (Ω_max), т.е. .

Поэтому в связи с непрерывно возрастающей сложностью передаваемой информации и с увеличением максимальной частоты спектра модулирующего сигнала для современной радиотехники характерно повышение несущих частот.

В общем случае радиосигнал можно представить в виде a(t)=A(t)cosψ(t) , где A(t) – амплитуда, а ψ(t)=ωt+φ- полная фаза, которые могут изменяются по закону передаваемого сообщения. Процесс управления параметрами несущего колебания по закону передаваемой информации называется модуляцией, а колебание - модулированным.

Различают амплитудную и угловую модуляцию. Угловая модуляция подразделяется на частотную и фазовую.

2.6.1. Амплитудная модуляция

При амплитудной модуляции (АМ) прямо пропорцианально амплитуде информационного сигнала S(t) изменяется амплитуда несущего колебания , где - постоянная амплитуда высокочастотного колебания, коэффициент пропорциональности.

где - постоянная угловая частота, - постоянная начальная фаза

В общем случае S(t) носит случайный характер, но для выявления основных характеристик AM колебаний, будем полагать, что S(t) является детерминированной функцией и представляет собой чисто гармоническое низкочастотное колебание . Такой одночастотный сигнал называется тональным.

Пусть тогда аналитическое выражение АМ сигнала имеет вид

Здесь , , M - коэффициент модуляции или глубина модуляции.

Для неискаженной передачи: . На рис. 2.19 показаны управляющий сигнал S(t) и АМ сигналы с глубиной модуляции, равными М=0,5 и М=1.

С пектр АМ колебания легко определить, если записанное выражение, используя тригонометрические формулы, разложить на гармонические составляющие

На рис.2.20 представлен спектр АМ колебания. Он состоит из трех составляющих. Первое слагаемое представляет собой исходное немодулированное колебание (несущую). Второе и третье слагаемые называются соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Если модуляция осуществляется сложным периодическим сигналом, спектр которого состоит из нескольких составляющих, то в спектре АМ сигнала появляются верхняя и нижняя боковые полосы (рис. 2.21). Ширина спектра АМ колебания равна удвоенной частоте от максимальной частоты модулирующего сигнала, т.е. Δω=2Ω_мах.

Отметим, что обе боковые полосы несут одинаковую информацию о модулирующем сигнале. Поэтому в технике связи часто применяют сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы).боковой полосой (ОБП-сигналы).

Частотная и фазовая модуляция (ЧМ и ФМ)

При этих видах модуляции по закону передаваемого сообщения изменяется аргумент, т.е. полная фаза ψ(t)=ωt+φ. Следовательно, а_чм( t)=А₀соs ψ(t).

При фазовой модуляции (ФМ) начальная фаза высокочастотного сигнала изменяется прямо пропорционально величине модулирующего сигнала S(t) , т.е. , где К_фм – коэффициент фазовой модуляции, φ₀ – начальная фаза.

Для тональной фм аналитическое выражение имеет вид

где - индекс фазовой модуляции,

При частотной модуляции ЧМ мгновенная частота изменяется прямо пропорционально амплитуде модулирующего сигнала , где К_чм – коэффициент пропорциональности.