Материал: Вв. Гл1,2_1

2)Гармонические колебания (рис.2.4.).

S(t) = A_mcos(t - ₀).

Его параметрами являются: A_m – амплитуда ,  - частота, ₀ –начальная фаза. Это пример непрерывного сигнала.

Непериодические сигналы – это сигналы, которые описываются непериодическими функциями времени. Однако их можно рассматривать как периодические, для которых Т .

Примеры непериодических сигналов.

1) Сигнал типа единичная функция (ступенчатый сигнал, функция Хевисайда, рис.2.5.).

2 ) Одиночный прямоугольный импульс – это сигнал, форма которого прямоугольная (рис.2.6).

3) Сигнал типа (дельта – функция, функция Дирака, рис. 2.7.).

0, t<0

(t)= , t=0

0, t>0

Э та функция обладает свойствами: 1. ;

2. -это

соотношение называют, фильтрующее свойство дельта – функции.

Случайные сигналы – это сигналы характер изменения, которых заранее предсказать невозможно. Именно эти сигналы несут информацию о состоянии интересующего нас объекта. С математической точки зрения такие сигналы описываются методами теории вероятности или случайных процессов. Разновидностью случайных сигналов являются помехи – сигналы, которые накладываются на передаваемые сообщения и искажают его характер. По природе происхождения помехи бывают: атмосферные, индустриальные и флуктуационные.

Флуктуационные помехи связаны , с хаотичным движением свободных носителей зарядов в самих элементах электрических цепей.

2.2. Гармоническое колебание и способы его представления

Гармоническим называется колебание, которое описывается гармонической функцией времени: sin(t), cos(t).

Г армоническое колебание, а также сигнал произвольной формы могут быть представлены в следующих формах:

1) временное представление сигнала;

2) комплексное представление;

3) векторное представление;

4) спектральное;

5) операторное.

1) При временном представлении сигнал записывается в виде аналитической функцией времени: .

Его график – называется временной диаграммой (рис.2.8.). Основными параметрами гармонического сигнала являются:

1. Амплитуда - A_m (наибольшее отклонение от нуля гармонической функции). Размерность амплитуды связана с физической природой сигнала.

2. Период - T (минимальное расстояние между точками находящимися в одной фазе), ω=2π/T - круговая частота, f=1/T – циклическая частота. Их размерность: T  [сек]; f  [Гц]; ω  [рад/сек].

3. ₀=ωt₀ – начальная фаза гармонического колебания гармонического колебания; t₀ – временной сдвиг, если t₀>0, то это означает опережение, если t₀<0, то это означает задержку сигнала, относительно сигнала с t₀=0.

4. Ψ_(t) = (ωt + φ₀) – полная фаза гармонического колебания.

5. ω(t) = dΨ_(t)/dt – мгновенная частота.

2) При комплексном представлении гармоническое колебание, как функция времени, заменяется комплексной амплитудой, т. е. комплексным числом независящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями.

Вспомним комплексные числа. - комплексное число. Его можно записать в одной из трех форм: алгебраической, показательной и тригонометрической:

= ,

где ,

Re[Z] - реальная часть, Im[Z] - мнимая часть

комплексного числа Z.

На рис. 2.9 показано геометрическое представление

комплексного числа на комплексной плоскости. Здесь:

А – mod[Z] – модуль комплексного числа Z, или А=(а²+b²)^1/2 - длины вектор комплексного числа.

φ =arg[Z] – аргумент комплексного числа Z, или φ₀ = arctg(b/a) – начальная фаза.

Выражение А_me^j(ωt+φ) называют комплексом гармонической функции. Тогда учитывая, что Аcosφ = Re{Ae^jφ}, можно записать

Комплексную величину называют комплексной амплитудой гармонического сигнала, а е^jωt – множитель вращения. Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и о начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени, при известной частоте ω, связаны взаимнооднозначно, т. е.

.

Например: гармоническому колебанию u(t)=256cos(2π100t - 45⁰) соответствует комплексная амплитуда - Ù_m = 256e^-j45 , справедливо и обратное.

3) Векторное представление сигнала – это представление сигнала вектором на комплексной плоскости. Рассмотрим векторное представление следующих сигналов:

а) комплексное гармоническое колебание - гармонический комплекс:

s(t)= А_me^j(ωt-φ)= Å_me^j(ωt) ,

где e^jωt – множитель вращения.

На комплексной плоскости гармонический комплекс представляется вектором А_m c начальной фазой -φ₀, который вращается против часовой стрелки с частотой ω.

б) гармоническое колебание s(t) = A_mcos(ωt- φ₀)= Re{À_me^{j ωt} }.

На комплексной плоскости гармоническое колебание представляется проекцией вращающегося с частотой ω против часовой стрелки вектора гармонического комплекса на реальную ось.

в) Комплексная амплитуда . На комплексной плоскости она представляется в виде неподвижного вектора с амплитудой A_m и начальной фазой -₀.

3. Спектральное представление сигнала.

4. Операторное представление сигнала.

Два последних способа описания сигнала рассмотрим подробнее.

2.3. Спектральное представление сигналов

Очень часто математическое описание даже несложных по структуре детерминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в теории электрических цепей и радиоэлектронике используется оригиналь­ный прием, при котором реальные сигналы заменяют (аппроксимируют) набором идеализированных математических моделей, описываемых простыми функциями. Это позволяет упростить решение задач анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи и синтеза сложных сигналов из совокупности простых сигналов.

Спектральный способ представления сигнала S(t) основан на представление любой функции времени совокупностью гармонических составляющих с соответствующими амплитудами, частотами и начальными фазами. При спектральном представление сигнал задаётся не как функция времени, а как функция частоты, что является очень удобным, поскольку свойства электрических цепей часто задаются их частотными характеристиками.

Спектры периодических сигналов

Сигналы, удовлетворяющие условию S(t)=S(t+T), если Т < ∞, а -∞<t<+∞ называются периодическими. Простейшим периодическим сигналом являются гармоническое колебание S(t)=A_mcos(ω₀t+₀). Оно состоит из одной гармонической составляющей с амплитудой A_m и начальной фазой ₀, которые расположены на частоте ω₀. Для наглядного изображения спектров сигналов их изображают в виде графиков, при этом рассматривают по отдельности амплитудный спектр и фазовый спектр.

Амплитудным или амплитудно-частотным спектром (АЧС) называется зависимость амплитуд гармонических составляющих от частоты (АЧС→A_mn(ω), рис 2.13,а).

Фазово-частотным спектром (ФЧС) называется зависимость начальных фаз гармонических составляющих от частоты (ФЧС→(ω), рис. 2 13,б).

Из математики известно, что любой периодический сигнал S(t) удовлетворяющий условиям Дирихле может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

где – основная частота следования сигнала (первая гармоника сигнала), n – номер гармоники сигнала, nΩ – частота n-ой гармоники сигнала, - коэффициенты ряда Фурье:

- постоянная (средняя) составляющая сигнала;

- амплитуда n-ой косинус составляющей спектра сигнала;

- амплитуда n-ой синус составляющей спектра сигнала;

- амплитуда n-й гармоники;

- начальная фаза n-ой гармоники.

Из ряда Фурье следует, что спектр периодического сигнала имеет дискретный (линейчатый) характер по оси частот. На рис. 2.14 показаны спектры (АЧС и ФЧС) для некоторого произвольного периодического сигнала.

Спектры непериодических сигналов

Для проведения гармонического анализа непериодических колебаний представим их в виде периодических, с бесконечно большим периодом (T→∞). Устремляя период к бесконечности в пределе, получим, что:

1.) Основная частота следования = →0. Это означает, что расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте следования , становиться бесконечно малым, а спектр - сплошным.

2.) Амплитуды составляющих спектра , т. е., спектр состоит из гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами.

Поэтому спектр непериодического сигнала характеризуют функцией спектральной плотности. Она показывает плотность распределения бесконечно малых амплитуд по оси частот, т.е. показывает, сколько гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами приходится в диапазон частот df.

Функция спектральной плотности S(jω) связана с сигналом S(t) преобразованием Фурье:

- прямое преобразование Фурье (ППФ).

- обратное преобразование Фурье (ОПФ).

Функция спектральной плотности это комплексная функция частоты

S(jω)= S(ω)e^jφ(ω),

где S(ω) – модуль функции спектральной плотности, его называют спектральной плотностью амплитуд, φ(ω) – аргумент функции спектральной плотности – спектр фаз.

Главной особенностью спектра непериодического сигнала является его сплошной, непрерывный характер.

Пример. Найти S(jω) одиночного прямоугольного импульса (рис. 2.15).

По временной диаграмме запишем аналитическое выражение такого сигнала:

Найдем функцию спектральной плотности импульса и приведем это выражение к функции типа (sinx/x).

Амплитудная спектральная плотность импульса (рис. 2.16) имеет вид

.