(4)
Где:
- арифметическое (ожидаемое) среднее актива j;
- дисперсия доходности актива j;
- среднее геометрическое актива j.
При этом, разумеется, адекватной оценкой доходности портфеля представляется именно геометрическое среднее, что легко показать на примере. Предположим у инвестора имеется 1000 руб., вложенных в актив. В первый период доходность составила -50%, во второй +100%. Понятно, что первоначальная сумма при этом не изменилась - мы сначала потеряли 500 руб., а потом вновь заработали те же 500 руб., т.е. доходность в итоге составила 0%. При этом арифметическое среднее составляет
(-50%+100%)/2=25%, а среднее геометрическое . Видно, что среднее арифметическое завысило доходность.
Соответственно, на основе полученных формул, делается вывод, что основная причина возникновения доходности портфеля, превышающей среднее доходностей компонентов, является подавление волатильности, которая измеряется показателем дисперсии, что приводит к росту геометрического среднего. Получается, что дополнительный доход образуется за счёт диверсификации, соответственно он и был назван доходом от диверсификации (diversification return - DR).
Erb и Harvey, придерживаясь того же мнения относительно источника DR, утверждают, что на него влияют два разнонаправленных эффекта. Первый - иссушение вариации (variance drain - VD), которое увеличивает DR за счёт снижения дисперсии, т.е. диверсификации, как и было описано у (Booth, Fama, 1992). Второй - смещение ковариации (covariance drag - CD), названный так потому, что авторы определяют его как величину ковариации актива с его весом в портфеле. Следуя этой логике, они предполагают, что, если вес из-за отсутствия ребалансировки меняется, то ковариация его с доходностью актива растёт и это снижает общий эффект. Если вес постоянен, то, естественно, ковариация с постоянной величиной равна нулю и CD исчезает.
Также в работе приводится формула для расчёта величины DR, выведенная для равных весов каждого из активов, входящего в портфель и усреднения показателей дисперсии и корреляции.
(5)
Где:
K - количество активов в портфеле;
- средний коэффициент дисперсии активов в портфеле;
- средний коэффициент корреляции активов в портфеле.
Из этой формулы видно, что рост величины DR происходит при росте дисперсии активов, росте числа активов в портфеле и снижении их средней корреляции. При этом при корреляции, равной единице, эффект полностью исчезает.
К сожалению в работе не объясняется природа возникновения CD, причина, по которой этот эффект имеет отрицательное влияние на DR и почему по величине он примерно равен самому эффекту DR.
Попытка объяснить феномен даётся в работе (Willenbrock, 2011). Автор утверждает, что то, что называют доходом от диверсификации (DR) правильнее было бы назвать доходом от ребалансировки, потому что именно она приносит доход. Диверсификация же является просто следствием объединения активов в портфель, но никак не причиной возникновения сверхдохода. В подтверждение этому приводится выражение, предполагающее единичный коэффициент корреляции между активами.
(6)
Где:
- вес актива i;
- стандартное отклонение доходностей актива i.
Из выражения следует, что даже при полной скорелированности доходностей активов, что исключает возможность диверсификации в привычном понимании, DR всё равно остаётся положительным. Это укладывается в объяснение, данное Willenbrock, который приписывает возникновение DR тому факту, что ребалансировка к фиксированным весам является фактически реализацией стратегии частичной продажи активов с относительно более высокими ценами и частичной покупки актива с относительно более низкими ценами. Это легко показать на графике (рис. 9). Предположим, что мы сформировали портфель, состоящий из актива А, имеющего значительную волатильность, но нулевую доходность и актива B, являющегося альтернативой текущего депозита, т.е. не имеющего доходности. На рис. 9 показаны 4 периода, в которые производится ребалансировка портфеля, веса устанавливаются равные. В каждый период до вертикальной черты показана стоимость актива в портфеле до момента ребалансировки, но после роста\падения, сразу за чертой стоимость актива после ребалансировки. Изначально портфель составляет 100%.
Рис. 9. Показатели ребалансировки в зависимости от динамики доходности актива
На графике видно, что в конце первого периода, когда актив А понизился в стоимости, мы, ребалансируя портфель, извлекли часть денег с текущего счёта (актив B) и купили на эти деньги немного актива А. После этого уже большее количество актива А (если считать в количестве акций, например) выросло, увеличив общую стоимость портфеля на 1,25% за 2 периода. Далее, когда актив А продолжил расти, мы продали его часть в конце 3 периода, сохранив часть заработанных денег на депозит, после этого падение происходило с уже меньшим количеством актива А.
Получается, что ребалансировка является автоматической стратегией, реализующей принцип «покупай дешево, продавай дорого». Дополнительная прибыль получается из-за того, что после роста одного актива часть прибыли «сберегается» в другом, который в это время оказывается ниже собственного тренда доходности. То, что прибыль от относительно более дорогого актива именно сохраняется, гарантирует наличие отрицательной или слабой корреляции между активами - когда один растёт второй либо падает, либо стоит на месте. При этом чем выше волатильность, тем больший доход можно сохранить на подъёме цены актива и больше падающего актива купить на спаде.
Такое объяснение соответствует выводам Willenbrock, поскольку даже, если активы полностью скорелированны, но волатильности у них разные, то доход также «сберегается» в менее волатильном активе на фазе подъёма и «извлекается» из него же на фазе спада. Естественно, что в отсутствие ребалансировки никакого сверхдохода получено быть не может. Сами Erb и Harvey отметили, что у не ребалансированных портфелей (их DR равен нулю) снижение дисперсии иногда даже превышает показатели ребалансированных портфелей, но при этом всё равно утверждали, что источник сверхдохода лежит в снижении вариации за счёт диверсификации. Несмотря на это, их формулы вполне подходят для расчёта величины эффекта, получаемого в результате реализации стратегии ребалансировки.
В литературе отмечается, что ребалансировка обладает значительным недостатком - она снижает общую доходность, если активы, входящие в портфель, имеют существенно различающуюся индивидуальную доходность. В этом случае неизбежное усреднение параметров компонентов портфеля приводит к регулярным потерям от роста более доходного. Если величина DR при этом недостаточно высока, то суммарно ребалансировка будет приводить к потерям. При этом по показателям, отражающим соотношение риска и доходности, стратегия всё равно может быть лучше за счёт одновременного снижения риска. Но, чтобы в этом случае добиться необходимых показателей доходности придётся прибегать к рычагу, который в ряде случаев недоступен и во всех случаях не бесплатен.
Глава 2. Применение стратегии ребалансировки
2.1 Расчёт diversification return (DR) и учёт транзакционных издержек
Чтобы объяснить различие в результатах, полученных в работах (Erb, Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) возьмём предпосылки первой и, в отличие от авторов, выведем зависимость DR от волатильности, измеряемой дисперсией, и корреляции между активами в общем виде. То есть мы отказываемся от упрощения, предполагающего, что веса всех активов равны, а зависимость выражается при помощи средних показателей вариации и корреляции.
Предположим, что у инвестора имеется n (i=1…n) активов. Вес каждого в портфеле составляет wi , стандартное отклонение i-го актива уi , арифметическое среднее , геометрическое среднее gi , ковариация уij .
На основе разложения геометрического среднего в ряд Тейлора известно, что с приближением до второго члена прогрессии геометрическое среднее равно арифметическому среднему минус половина вариации актива (Erb, Harvey 2006).
По определению
DR равен разнице между CAGR портфеля и среднему CAGR входящих в него активов (Erb, Harvey 2006).
Выразим из первого равенства и подставим во второе. Получим:
Разложим дисперсию портфеля как дисперсии входящих в него активов и подставим в равенство выше.
Сократим средние арифметические портфеля, т.к.
Заменим для удобства ковариацию на корреляцию.
(7)
Данный результат совпадает с полученным в (Willenbrock, 2011). Как уже опоминалось ранее выражение, в отличие от работы Erb и Harvey, показывает, что при единичной корреляции эффект DR полностью не пропадает, что далее будет продемонстрировано на реальных данных. Однако данное выражение подтверждает тот факт, что величина DR зависит исключительно от волатильности активов, входящих в портфель и тесноты связи между ними.
Найдём частный случай для равных долей, входящих в портфель активов. Тогда вес равен 1/n.
Теперь предположим, что дисперсии всех активов равны, получим:
Отметим, что, только введя предположение о равенстве дисперсий, мы получили, что выражение обратится в ноль, если корреляция будет равна единице. До этого даже при абсолютной скорелированности активов DR оказывался положительным. Иными словами DR, по сути, не является доходом от диверсификации, а полностью обязан применению ребалансировки. Кроме того, итоговая величина не зависит от количества активов в портфеле, как утверждалось в (Erb, Harvey 2006). Наши выводы соответствуют результатам, полученным в (Willenbrock, 2011) и показывают, что расхождение в выводах двух работ имело причиной именно упрощение, предполагающее замену дисперсий активов на показатель средней дисперсии активов в портфеле.
В вышеприведённой формуле не учитывается наличие транзакционных издержек, которые вынужден нести инвестор, прибегая к ребалансировке. Стратегия является активной и требует продавать и покупать активы в той степени, на которую они отклонились от первоначально заданных весов. Инвестор при этом несёт два вида издержек: первый - на совершение транзакции, т.е. комиссии брокера и биржи, второй - проскальзывания, т.е. покупка или продажа по цене хуже той, по которой планировалось совершить сделку. Второй вид издержек тем выше, чем ниже ликвидность актива. Соответственно, если использовать лишь ликвидные активы, то потери на проскальзываниях будут незначительны.
Интуитивно понятно, что величина транзакционных издержек должна влиять на принятие решения о применении стратегии. Очевидно также, что величину потерь от выравнивания весов в портфеле можно снизить, если снизить частоту ребалансировки. Однако в этом случае, уменьшится и выигрыш от DR (Ilmanen, 2011). Возникает вопрос: «какая периодичность является оптимальной?». Представим, что у инвестора есть портфель со стандартным отклонением у, в котором он корректирует веса раз в месяц. В этом случае каждый месяц он теряет доходность, которую мог бы получать, применяя ребалансировку к внутримесячной волатильности, которая, как правило, ниже, чем месячная. Например, для индекса S&P 500 дневное, недельное, месячное и годовое стандартное отклонение доходностей с 1950 по 2013 г. равны соответственно 0.95, 2.1, 4.2 и 16.8%. Зависимость от длины периода не линейна. Поэтому нельзя заранее сказать какова будет величина недополученной прибыли, если повысить период ребалансировки. Однако можно сравнить величину DR с заданным периодом с потерями доходности от транзакционных издержек. Если абсолютная величина DR превышает расходы на совершение операций, значит применение стратегии оправдано.
2.2 Симуляция DR на искусственных данных
Для проверки полученных выражений и сопоставления с выводами (Erb, Harvey 2006) и (Willenbrock, 2011) удобнее всего использовать данные с заданными параметрами волатильности, корреляции и доходности. Поэтому будем использовать искусственные данные доходностей с нормальным распределением.
Для начала подтвердим, что эффект существует даже на случайных данных с нулевой автокорреляцией, т.е. проявляется даже в условиях эффективного рынка, на котором по определению нельзя получить сверхдоходность. Для этого сформируем портфель из двух активов с равными весами (50/50%), стандартным отклонением одного в 20%, второго в 30%, нулевой корреляцией и средними на уровне нуля. Проведём тысячу симуляция и найдём средний показатель DR. Количество наблюдений в каждой симуляции при этом равно 10 тыс. Количество наблюдений и симуляций достаточно велико, чтобы по закону больших чисел статистики случайных рядов стремились к истинным значениям в генеральной совокупности.
Получили, что среднее значение DR составляет 1,31%, минимальное 1,24%, максимальное 1,38%, распределение следующее (рис. 10):
Рис. 10. Распределение величины DR на искусственных данных в ребалансированном портфеле.
Получилось, что даже на случайных данных эффект DR оказывается положительным и достаточно существенным. Стандартное отклонение портфеля при этом снизилось, составив в среднем для тысячи симуляций 19,3%.
При тестировании того же портфеля, но без проведения ребалансировки DR получился очень близок к нулю. Максимальное значение составило 0,0013%. Распределение DR (рис. 11):
Рис. 11. Распределение величины DR на искусственных данных в не ребалансированном портфеле.
Как видно из графика выше DR имеет исключительно положительные значения и, как и предполагалось, исходя из формул, стремится к нулю при отсутствии ребалансировки. Стандартное отклонение при этом снизилось даже сильнее, чем в случае с ребалансировкой и составило 17,9%. Это подтверждает довод о том, что получаемый сверхдоход обязан не снижению дисперсии, приводящему к повышению геометрического среднего, а именно применению стратегии.
Оценка влияния корреляции между активами показала следующую зависимость (рис. 12):
Рис. 12. Зависимость величины DR от корреляции активов.
Из рис. 12 видно, что зависимость от корреляции положительна и линейна, что полностью соответствует зависимости, выведенной в формуле 7. Также стоит отметить, что даже при коэффициенте корреляции, равном единице, DR полностью не исчезает. Это подтверждает выводы, полученные после введение упрощений в формулу 7.