Также важно отметить, что оценки риска, полученные на основе исторических данных могут оказаться смещёнными в силу того факта, что рассматриваемый период окажется нерепрезентативными. Огромные убытки, которые характерны для какой-либо инвестиционной стратегии могут просто не реализоваться в тот период, на основе которого мы оцениваем показатели её деятельности. Попытка преодолеть данный недостаток сделана при разработке показателя Conditional Value atrisk (C-VaR или Expected Shortfall). Стоит сначала сказать, что широко распространённый сейчас показатель VaR, рассчитывается не на основе данных за определённый временной интервал, а, исходя из распределения доходностей того актива, риск которого оценивается. Это даёт возможность учитывать вероятность и размер потерь, которые ещё не случились, но могут произойти в будущем.
Однако VaR имеет ряд недостатков. Во-первых, данный показатель отражает величину потерь, которую можно понести при владении активом с заданными интервалом времени и вероятностью. Например, выбрав 5% уровень значимости, и период в 3 дня можем получить, что с вероятностью 95% убытки в течение 3-х дней не превысят величины X. Проблема состоит в том, что мы не знаем размер убытка, который мы получим, если риск всё же реализуется. Это может быть величина равная 100*X, и тогда события, наступающие с довольно низкой вероятностью в 5% и меньше, в случае возникновения могут оказаться критическими для портфеля. Во-вторых, при применении VaRнарушается естественное правило, при котором величина риска от ряда активов, включённых в один портфель, не может быть больше, чем величина риска от владения этими же активами одновременно, но по-отдельности. К примеру, есть два актива, Aи B, каждый из которых может принести убыток в 100 тыс. с вероятностью 4%. Тогда выберем для оценки VaR 5% уровень значимости, и рассмотрим два случая:
1. инвестор вкладывается полностью в актив A или в актив B. Тогда ожидаемый убыток составит 100 тыс. * 0,04 = 4 тыс. VaR же покажет ноль, поскольку вероятность его ниже уровня значимости в 5% (а именно 4%)
2. инвестор вкладывается поровну в A и B. Тогда ожидаемый убыток составит 0,5*100 тыс.*0,04+0,5*100 тыс.*0,03=3,5 тыс. VaR же покажет убыток в 100 тыс., поскольку вероятность превысит 5% и составит 6,88% (поскольку события являются совместными, т.е. могут произойти одновременно, и независимыми, т.е. наступление одного происходит вне зависимости от наступления другого, то вероятность наступления хотя бы одного из них составляет P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). В данном случае это будет P(A+B)=0.04+0.03-0.04*0.03=0.0688 (6.88%))
В результате, хотя ожидаемый убыток во втором случае меньше, VaR покажет, что он больше (100 тыс. против нуля). Формально говоря, это умозаключение известно как нарушение аксиомы о субаддитивности (Artzner, 1998), выполнение которой, помимо соответствия логике экономических явлений, является необходимым условием для осуществления диверсификации.
Эти проблемы решает показатель C-VaR (ConditionalValueatrisk), который рассчитывает не минимальную величину потерь с заданной вероятностью, а математическое ожидание потерь за пределами этой границы (Agarwal, 2004). В этом случае, вне зависимости от величины риска отдельного актива C-VaR будет адекватно отражать риск всего портфеля. Соответственно данная мера удовлетворяет аксиоме субаддитивности. Благодаря этим достоинствам, и особенно лучшему учёту «хвостового риска» (“tailrisk”), т.е. адекватной оценке риска существенных потерь, находящихся в хвосте распределения, данный показатель был принят в качестве основного при расчёте величины ожидаемого риска в рамках нового документа, регламентирующего деятельность банков, Базель III [14].
Ещё одним важным аспектом, который должен быть учтён в показателе результативности фонда или инвестора, является условие стохастического доминирования. Оно представляет собой требование о том, чтобы в случае наличия двух игр (либо любых вероятностных событий) доминирующая игра A для любого значения x даёт не меньшую вероятность наступления, чем в доминируемой игре B. Эта формулировка является определением стохастического доминирования первого порядка. Также должно выполняться условие стохастического доминирования второго порядка, предполагающего, грубо говоря, что игра A доминирует над B, если A более предсказуема (имеет меньший риск) и не меньшее среднее значение. При этом выполнение условия стохастического доминирования первого порядка автоматически приводит к выполнению стохастического доминирования второго порядка. Смысл этого легко понять на графиках:
Рис. 2. Стохастическое доминирование первого порядка [13].
Рис. 3. Стохастическое доминирование второго порядка [13].
На рис. 2 и 3 синим и красным показаны функции распределения двух портфелей, зелёным на графике 3 отмечена разница между функциями распределения.
Из рис. 2 видно, что, инвестор сможет получить прибыль, не превышающую 100 единиц в случае A лишь примерно с вероятностью 50%, и в 50% большую, в то время как в случае B те же значения прибыли могут быть получены лишь с вероятностью около 75% и 25% большую. Рис. 3 показывает, что, грубо говоря, в среднем (при всём распределении вероятностей) инвестор получит больше при стратегии A, чем при B, о чём говорит положительное значение разницы между их функциями распределения, отмеченного как D(z).
Требование о том, чтобы мера результативности управления портфелем учитывала возможность стохастического доминирования необходимо, поскольку иначе оценка может оказаться неадекватной. Традиционные методы оценки, вроде mean-variance optimization (M-V) не в состоянии корректно учесть данный факт, хотя с точки зрения любого инвестора именно факт стохастического доминирования может оказаться решающим при принятии решения об инвестировании. Это легко показать на графике:
Рис. 4. Доходности портфелей A и C (Sortino, 2001a).
Рис. 4 показывает, что риск портфеля C, традиционно оцениваемый через стандартное отклонение, выше, чем у портфеля A. При этом средняя доходность A также выше, чем у C. В соответствии с принципами M-Vданные портфели могут быть адекватной заменой друг друга, т.е. располагаться на границе Марковица. При этом любой реальный инвестор, основываясь на представленных данных, однозначно выберет портфель C, поскольку в этом случае он в среднем получит больше, но даже в худшем варианте почти всегда его доходность окажется выше, чем при выборе портфеля A.На практике это может, к примеру, выражаться в том, что акция, которая стабильно и сильно растёт, хоть и с существенными колебаниями будет предпочитаться той, которая достаточно стабильна, но показывает очень низкую доходность.
Ещё более остро проблема учёта распределений и моментов выше второго (не только среднего и дисперсии) стоит в случае инвестиционных стратегий, имеющих несимметричный профиль доходностей, к примеру, стратегий с использованием опционов. В качестве примера можно привести рис. 5:
Рис. 5. Плотности распределения двух инвестиционных стратегий (Sortino, 2001a).
На рис. 5 S&P представляет собой плотность распределения доходностей индекса S&P500, а S+P плотность распределения того же индекса и опцион пут. В S+Pоднозначно привлекательнее для инвестора, поскольку он с одной стороны застрахован от риска потерь, что видно из графика плотности распределения, а с другой сможет заработать не меньше, чем при инвестировании просто в индекс S&P500. Доходность в 10% худших случаев для S&P составляет 4,5% доходности, в то время как для S+P это 13,7%. При этом в 10% лучших случаев разница незначительна - 54,5% против 51,2%. Поскольку, среднее значение и стандартные отклонения для обеих стратегий одинаковы, то M-V не покажет между ними разницы, в отличие от меры результативности, способной учесть плотность вероятности.
При оценке показателя риска стоит отметить, что вариация, используемая при M-V, в силу своей симметричности вряд ли отражает именно риск. Исследования показывают, что риск в первую очередь ассоциируется с величиной потерь, а не с величиной волатильности. В Sortino, 2001a в отношении этого тезиса ссылаются на работу психолога Дж.Пэйна 1973 года, утверждавшего, что наиболее значимыми факторами для инвесторов являются частота просадок и величина возможных потерь.
Обобщая вышесказанное, отметим, что возможно мы не сможем оценить риск максимально точным образом, ведь каждый инвестор воспринимает его индивидуально. Кроме того, нет идеального критерия оценки результативности управления, с которым можно было бы сравнивать выбранный показатель. По этой причине мы можем лишь сказать, какой индикатор является лучше или хуже, исключить явные ошибки и недостатки, попытаться подобрать функцию, более точно отражающую восприятие риска большинством инвесторов, и, главное, построить показатель, который не расходился бы с практикой управления активами, отражал тот опыт, который используется при вложении средств на финансовом рынке.
Кратко обозначим основные критерии, которым должен удовлетворять показатель результативности управления портфелем (инвестиционной стратегии):
1. Учёт величины потерь (вместо оценки дисперсии)
2. Повышенный штраф за потери
3. Определение потерь относительно MAR (показатель может быть любым, фиксированным или изменяющимся)
4. Учёт функции распределения (не просто исторический ряд данных)
5. Выполнение условия субаддитивности
Одним из наиболее подходящих под данные критерии является показатель Upside potential ratio, разработанный Ф. Сортино, А. Плантингой и Р. Ванн дер Миром (F.Sortino, A.Plantinga, R. van der Meer) (Sortino, 2001b). В непрерывной форме он выглядит следующим образом:
, (3)
Где:
mar - минимально приемлемое значений доходности(minimum acceptable return);
r - доходность портфеля;
f(r) - плотность распределения вероятностей доходности портфеля;
б - степень неприятия риска.
Данный показатель в знаменателе показывает взвешенные по вероятности отклонения доходности портфеля от MAR. При этом в зависимости от коэффициента б инвестор может устанавливать величину штрафа за риск. Для более консервативных инвесторов этот показатель должен быть больше. В числителе аналогично находятся взвешенные по вероятности отклонения от MAR, но уже в положительную сторону. В целом показатель UPR отражает величину доходности за каждую единицу риска с учётом вероятности возникновения доходности. Чем выше данный показатель, тем больше доходности приходится на единицу риска, и тем выгоднее оцениваемая им инвестиционная стратегия.
1.2 Инвестирование на основе инерции (momentum)
Стратегия инвестирования на основе инерции цен активов представляет собой статистически обоснованный метод формирования портфеля, исходя из динамики цен за прошедший период. Обычно предполагается, что нужно покупать те активы, которые росли последнее время и «шортить» те, которые падали. Одной из первых работ, где была предпринята попытка системно проанализировать данный эффект на фондовом рынке стала статья Jegadeesh and Titman, 1993. Чтобы выявить эффект они отсортировали бумаги по доходности за последние три, шесть, девять и двенадцать месяцев, верхний дециль был назван портфелем «победителей», нижний дециль портфелем «проигравших». Затем бумаги «победителей» покупались, бумаги «проигравших» «шортились». Результаты показали, что такая стратегия приносит около 12% годовых в течение следующих шести месяцев. Аналогичные работы показывали, что стратегия оказывается прибыльной на других интервалах времени и на других рынках. В частности сами Jegadeesh and Titman, 2001 проверили её в период с 1965 по 1999 гг. и пришли к выводу, что эффект устойчив, в отличие от эффектов размера и стоимости и сохраняет примерно те же величины доходности, как и в их предыдущей работе. Эффект инерции был обнаружен даже на интервале с 1866 по 1907 гг. в Великобритании (Chabot et al., 2008). Также возможность получения прибыли была подтверждена на примерах большого числа стран: в 12 европейских странах (Rouwenhorst,2002), на индексах 23 стран (Chan et al., 2000), на 8 азиатских странах (Chui et al., 2001).
Эмпирическое подтверждение инерции цен активов противоречит постулатам гипотезы эффективного рынка (Efficient market hypothesis - EMH) Ю. Фамы, предполагавшего, что даже в слабой форме EMH цены активов не должны зависеть от предыдущих значений, в противном случае инвесторы смогут систематически извлекать безрисковую прибыль. Поэтому были предприняты попытки объяснить наличие данного эффекта как компенсации за принятие риска. Другие исследователи предполагали, что сверхприбыль от данной стратегии появляется за счёт интеллектуального анализа данных (data mining). Однако попытки выявить конкретные факторы риска не увенчались успехом. Jegadeesh and Titman (2001), Grundy and Martin (2001), Liu (1999) пришли к выводу, что инерция не может быть объяснена ни дополнительными рисками, ни интеллектуальным анализом данных. Последнее в частности вытекает из наличия эффекта на рынке Великобритании в Викторианскую эпоху, когда статистические методы исследования рынка были практически не распространены (Chabot B. et al., 2008). В результате попытки объяснения инерции сместились в сторону поведенческих финансов.
При анализе действий индивидов было выделено два основных эффекта: эффект чрезмерной реакции (overreaction) и недостаточной реакции (underreaction). Один из возможных вариантов тестирования первого эффекта был представлен De Bondt et al., 1985. Логика теста предполагала, что если имеет место чрезмерная реакция, то акции, которые росли в течение некоторого периода времени («победители»), в дальнейшем покажут отрицательную доходность, поскольку рост был избыточным относительно внутренней стоимости бумаг, и наоборот, упавшие акции («проигравшие») будут в дальнейшем расти. Исследователи выделили 35 наиболее сильно выросших и упавших за последние 5 лет бумаг, сформировали из них портфель проигравших и победителей с равными весами. Затем держали такие портфели ещё 5 лет. Формирование новых портфелей (при сохранении старых) происходило каждый год в течение 46 лет. В результате портфели проигравших показали в среднем кумулятивную доходность выше уровня бенчмарка (индекс NYSE) в течение 36 месяцев после формирования портфеля в 19,6%, портфель победителей в свою очередь имеет тот же показатель в -5%. Иными словами, предположение об эффекте чрезмерной реакции подтверждается в долгосрочном периоде (до 60 месяцев).
Также существует ряд подтверждений эффекта недостаточной реакции. Например, после объявления величины дивидендов, оказавшейся выше, чем ожидалось, инвесторы склонны не проявлять реакцию на это событие сразу. Отмечается, что моментальная реакция составляет лишь около 50% общего изменения цены под влиянием объявления дивидендной доходности. Кроме того, проявляются также и долгосрочные эффекты изменения цен акций (Michaely et al., 1995). Также Chordia et al. (2005) выявили, что доходность длинных позиций по акциям компаний, объявивших о более высокой прибыли, чем ожидалось, и короткие по акциям компаний с фактической прибылью меньше прогноза в среднем составила порядка 10% годовых. Данный эффект получил название earnings momentum.