Материал: Теоретические основы теплотехники 2

При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное урав-

нение теплопроводности имеет вид

Уравнение (54) является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных. Решения такого урав-

нения обладают свойством наложения аналогично решениям обыкновенного

однородного дифференциального уравнения: если t1 и t2 — частные решения

возможны различные значения, уравнение типа (54) может иметь бесконечно большое количество частных решений.

Для решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего задан-

ным условиям однозначности, берут сумму частных решений, в которых по-

стоянные Сi имеют определенные значения. Соответствующим подбором по-

стоянных Ci, удовлетворяют решение исходному дифференциальному уравнению и условиям однозначности.

К классическим методам решения уравнения теплопроводности отно-

сятся метод разделения переменных и метод источников.

Метод разделения переменных. По этому методу решается уравнение теплопроводности, а затем, исходя из начальных и граничных условий, опре-

деляются постоянные в общем решении. Частное решение t выражается про-

изведением двух функций, одна из которых U(τ) зависит только от времени τ,

где С – произвольная постоянная.

Подставляя решение (55) в уравнение (54) получим

26

янным числом; она не зависит от координат. Правая часть может зависеть от координат или быть постоянным числом; она не зависит от времени. По-

скольку уравнение (57) справедливо при любых значениях времени и коор-

динат, то правая и левая части его равны постоянной величине, которую обо-

значим через D.

Таким образом, мы получим два дифференциальных уравнения для определения вида функций U(τ) и P(x,y,z):

Решением уравнения (58) является

где С – постоянная интегрирования.

Постоянная величина D выбирается из физических соображений. В

большинстве случаев при нагревании или охлаждении тел по истечении дли-

тельного времени температура распределяется в теле определенным образом.

Для тепловых процессов, стремящихся к тепловому равновесию, величина D

не может быть положительной, потому что можно задать такой промежуток времени, при котором температура в теле будет стремиться к бесконечности,

что физически невозможно. Величина D не может равняться нулю, так как при D=0 функция U(τ) в уравнении (59) имела бы постоянное значение, а тем-

27

пература тела не зависела бы от времени, как это следует из уравнения (55),

что не реально.

Таким образом, из физических соображений следует, что величина D

может быть отрицательной или мнимой величиной. Последний случай будет при условии, что температура тела есть периодическая функция времени, то-

гда экспонента (59) будет периодической функцией времени.

Рассматривая случай, когда D < 0, предположим, что

где а – коэффициент температуропроводности (величина положительная); m – некоторая постоянная величина, определяемая из граничных условий.

С учетом (60) имеем выражение для функции U

Методы решения уравнения (62) излагаются в курсах высшей математи-

ки.

Для общего решения уравнения (54) по принципу наложения берут сум-

му частных решений. Постоянная m определяется из граничных условий, а по-

стоянная C – из начальных условий.

28

Метод источников. Метод источников заключается в замене процесса распространения теплоты в теле теплопроводностью совокупностью процес-

сов выравнивания температуры от большого количества элементарных источ-

ников теплоты, распределенных в пространстве и времени. Правильный выбор источников теплоты и их распределение во времени – необходимое условие получения надежного решения уравнения теплопроводности.

Сущность метода источников покажем на примере неограниченного те-

ла при одномерном потоке теплоты. В этом случае действие элементарного источника характеризуется функцией источника на бесконечной прямой

Таким образом, количество теплоты Q не зависит от времени. Оно рав-

но произведению площади, ограниченной кривой G и осью абсцисс x, на объ-

емную теплоемкость cp.

Функцию G называют фундаментальным решением уравнения тепло-

проводности, поскольку она удовлетворяет этому уравнению. В самом деле,

для неограниченного тела при одномерном потоке теплоты уравнение (54)

имеет вид

29

Если функция G является решением уравнения (66), его можно запи-

сать так

Сопоставление последних двух выражений показывает, что действи-

тельно справедливо уравнение (67).

Преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа приводит к опера-

ционному методу решения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. В этом методе краевые условия используются в начальной стадии решения, что во многих случаях исключает необходимость определения про-

30