Материал: Теоретические основы теплотехники 2

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

условиях стационарного температурного поля		t

ники теплоты отсутствуют (qv=0).

Уравнение теплопроводности цилиндрической риваемых условиях имеет вид

	. Внутренние источ-
0	. Внутренние источ-

стенки (14) в рассмат-

1 t

1 2t

=0.

(36)

r r

Температуры на наружной и внутренней поверхности цилиндрической стенки неизменны и ось z совмещена с осью цилиндра

2	t
2
		0
	2

	2	t

z		2

(36а)

В данном случае температура изменяется только в радиальном направ-

лении

d	2	t	1 dt
				0 .
d	2	r	r dr

Граничные условия

(37)

при

r r1 r r2

t t



t	с1	,
	с1

t	с2	.
	с2

(38)

Для решения уравнения (37) введем новую переменную

уравнение (37) запишется в виде

dudr ur 0 .

dt dr

, тогда

(39)

Интегрируя (39), получим

ln u ln r

(40)

Потенцируя выражение (40) и переходя к первоначальным перемен-

ным, получаем

После интегрирования имеем

t C1

ln r

	dr	.
	r	.
	r

C2 .

(41)

(42)

Постоянные интегрирования С1 и С2 можно определить из граничных условий (38):

t	c1	C	ln r C	;	t	c 2	C	2	ln r	C	.
	c1	1	1 2			c 2		2	2	2

Решая уравнение (43) относительно С1 и С2, найдем:

С1	tc1 tc2		;	С2 tc1 tc1 tc2	ln r1		.

	ln	r1			ln	r1

		r2				r2

(43)

(43а)

Подставляя полученные значения С1 и С2 в уравнение (42), получаем

			ln		r
t tc1	tc1	tc2			r1	.	(44)


			ln	r2

					r1

Выражение температурного поля (44) представляет собой уравнение логарифмической кривой. То, обстоятельство, что распределение температу-

ры в цилиндрической стенке является криволинейным, можно объяснить следующим.

В случае плоской стенки плотность теплового потока q остается одина-

ковой для всех изотермических поверхностей.

В случае цилиндрической стенки плотность теплового потока через любую изотермическую поверхность будет величиной переменой, так как ве-

личина поверхности зависит от радиуса.

Для определения теплового потока через цилиндрическую поверхность воспользуемся законом Фурье

F .

(45)

Подставляя в уравнение Фурье значение градиента температуры (41)

получим (учитывая, что F 2 rl )

2 l t

(46)

или

2 l t

l t

с1

с2

(46а)

Тепловой поток может быть отнесен либо к единице внутренней или внешней поверхности, либо к единице длины. При этом расчетные соотно-

шения для удельного теплового потока принимают вид

Q	q1	tc1 tc2				,	(47)
d l	q1	d1	1	ln	d2	,	(47)
d l			1		d2
1
			2		d1

(q1 – тепловой поток через единицу внутренней поверхности);

Q	q2	tc1 tc2				,	(48)
d2l		d2	1	ln	d2

			2		d1

(q2 – тепловой поток через единицу внешней поверхности);

Q	ql	t	c1		t		c2	,
	ql							,

l		1		ln		d2
		2		ln		d
		2				d
							1

(49)

(ql – тепловой поток через единицу длины поверхности).

Тепловой поток отнесенный к единице длины, имеет размерность Вm/м

и называется линейным тепловым потоком.

Рассуждая аналогично, как при получении расчетного соотношения теплового потока для многослойной плоской стенки, можно получить выра-

жение для определения линейного теплового потока в случае многослойной цилиндрической стенки

q	l
	l

t	c1	t		c	n 1

i n	1		ln		d	i 1


i 1	2		i		d		i

(50)

где знаменатель

i n	1			d	i 1
			ln


i 1	2	i		d		i

называется полным термическим сопро-

тивлением теплопроводности многослойной цилиндрической стенки.

Из уравнения (50) может быть определена температура на границе лю-

бых двух слоев

	q	l		i	1		d	i 1
tc( i 1 ) tc1						ln			.
	2				2		di
			i 1			i

Теплопроводность криволинейной стенки

(51)

При передаче теплоты через произвольные криволинейные стенки теп-

ловой поток определяется по такому же уравнению, как и для плоской стен-

ки, только в выражение вводится расчетная поверхность теплопередачи

Q	F	t		t		.	(52)
	m		1		2

Расчетная поверхность теплопроводности принимается в зависимости от вида стенки, через которую происходит передача теплоты (для плоской стенки поверхности равны; для цилиндрической стенки средняя расчетная поверхность определяется как средняя логарифмическая; для сферической как средняя геометрическая) :

	F	F		F
для плоской стенки				1
	m	ma		2

Для цилиндрической стенки			Fm FmL

F
2	;
	;
F F			ln F	F ;
	2	1	2	1

Для сферической стенки

F	F		F F .
m	mG		1 2

Тепловой поток через многослойные криволинейные стенки определя-

ется по уравнению

Q	t	с1	t		с n 1
		с1			с n 1
		n
						i



		i 1		F
		i 1		i		mi

(53)

где		i	,	i	,F	– толщина, коэффициент теплопроводности и расчетная по-
					mi

верхность рассматриваемого	i	слоя.

Уравнения (52) и (53) называются обобщенными уравнениями стацио-

нарной теплопроводности.

Подставляя в уравнения (52) или (53) значения средних поверхностей можно получить уравнение теплопроводности для плоской, цилиндрической или сферической стенки.

3. Теплопроводность при нестационарном температурном поле

Решить задачу теплопроводности при нестационарном температурном поле – значить установить зависимость между температурой t, временем и

координатами тела x,y,z. Такая зависимость получается решением дифферен-

циального уравнения теплопроводности при определенных условиях одно-

значности.

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
Проактивные методы PR-деятельности российских авиационных компаний «Россия», «Азимут»
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11