Материал: Теоретические основы теплотехники 2

Величина u может быть действительной и мнимой; в обоих случаях ее действительная часть должна быть достаточно велика, чтобы обеспечить сходимость интеграла.

Выражение L u называется изображением оригинала, т.е. функции f x . Таким образом, изображения различных функций f x могут быть по-

лучены непосредственным интегрированием. Например, если f x = x , то изображение этой функции будет

условия, которым должна удовлетворять функция f x .

Интеграл Лапласа (71) и соотношения (72) и (73) можно использовать для интегрирования дифференциальных уравнений.

Метод конечных разностей. Метод конечных разностей часто исполь-

зуют для решения задач нестационарной теплопроводности, особенно при нагревании или охлаждении тел простой геометрической формы. В основе этого метода лежит допущение о возможности замены, например в уравне-

31

нии теплопроводности, бесконечно малых изменений температуры во време-

ни и пространстве малыми, но конечными ее изменениями. Тем самым про-

текающий непрерывно процесс изменения температуры в теле при его нагре-

вании или охлаждении заменяется совокупностью скачкообразных процес-

сов.

В случае одномерного нестационарного температурного поля уравне-

Решение уравнения (74) может быть выполнено аналитический и гра-

фически.

Численный метод. В основу численного метода определения распре-

деления температуры положено уравнение теплопроводности в конечных разностях, с помощью которого вычисляют температуру в фиксированных точках тела. Для применения численного метода рассматриваемое тело раз-

бивают на ряд элементарных объемов, и центральным точкам каждого объе-

ма присваивается номер. Предполагается, что тепловые свойства каждого такого объема сосредоточены в его центральной узловой точке и, что переда-

ча теплоты между узловыми точками осуществляется через условные тепло-

проводящие стержни. В нестационарном состоянии в каждом элементарном объеме подвод и отвод теплоты сопровождается изменением внутренней энергии, причем величина этого изменения зависит от изменения температу-

ры в элементарном объеме в течение рассматриваемого промежутка времени,

его теплоемкости, плотности и массы.

Рассмотрим применение численного метода к расчету распределения температуры в плоской стенке. Разбивая стенку на элементарные объемы

V=δ·δ·1=δ2 (рис. 4а,б), где δ – сторона элементарного объема.

32

Рис. 4. Разбиение и числовая сетка определения нестационарного темпера-

турного поля а – одномерное температурное поле; б – двухмерное темпера-

турное поле

Изменение внутренней энергии в данной узловой точке за время Δτ со-

гласно первому началу термодинамики определяется следующим образом

где t – температура в рассматриваемой узловой точке в момент времени τ;

t – температура в той же точке в момент времени ; V – объем элемен-

тарного участка.

33

Уравнение теплового баланса в конечных разностях для узловой точки

1 (см. рис. 4а) можно записать в виде

В случае двухмерного температурного поля тело разбивается на эле-

точек показана на рис. 4б.

В соответствии с рис. 4б искомое уравнение температуры для точки 5

запишется в виде

Уравнения (80 и 81) являются основой численного метода расчета не-

стационарной теплопроводности одномерного и двухмерного тела.

В качестве примера приведем расчет нестационарной теплопроводно-

сти одномерного тела методом разделения переменных.

34

Охлаждение (нагрев) плоской неограниченной пластины

Рассмотрим неограниченную пластину толщиной 2δ, имеющую в начальный момент времени (τ=0) постоянную по сечению температуру t0 и

помещенную в среду с постоянной температурой tж< t0

Коэффициент теплообмена α с обеих сторон стенки одинаков и не изменяется в процессе охлаждения. Известны плотность

ρ, теплоемкость cp и коэффициент тепло-

проводности материала стенки λ. В связи с тем что линейные размеры поверхности стенки велики по сравнению с ее толщиной,

пературное поле в любой момент времени будет также симметричным.

В этом случае удобно выбрать за начало координат точку, лежащую посредине между ограничивающими плоскостями пластины, и направить ось

х перпендикулярно к поверхности стенки (рис.5).

Дифференциальное уравнение теплопроводности для рассматриваемого

где t0 tж - избыточная температура.

Решая (82) методом разделения переменных частное решение первого

35