Материал: Теоретические основы теплотехники 1
26
Уравнения (40) и (41) называются уравнениями первого начала термо-
динамики по балансу рабочего тела, и справедливы для реальных процессов.
В обратимых процессах |
** |
Q** 0 |
и уравнения первого начала |
L |
термодинамики по внешнему балансу и балансу рабочего тела совпадают.
Первое начало термодинамики для простых тел
Для простых тел, то есть систем, состояние которых определяется дву-
мя независимыми переменными, термодинамическая работа определяется как L p dV и математическое выражение первого начала термодинамики в дифференциальной форме примет следующий вид:
для термодинамической системы
Q dU L dU
pdV
;
(42)
для 1 кг системы
q du l du
pdv
.
(43)
Выражение удельной потенциальной работы можно представить в виде соотношения
w vdp pdv pdv pdv d( pv ) ,
из которого следует, что
w l d( pv ); l w d( pv ).
После подстановки выражения l (45) в уравнение (43), получим:
q du w d( pv ), q d( u pv ) w .
(44)
(45)
(46)
Сумма удельной внутренней энергии (u )
функции ( pv ) называется удельной энтальпией ( h u
ипотенциальной
pv ) (Дж/кг).
27
Поскольку энтальпия определяется с помощью параметров состояния
(u, р, v), то она является функцией состояния, а для простого тела может быть представлена в функции любых двух параметров, например, р и Т. Диффе-
ренциал функции состояния является полным дифференциалом и, следова-
тельно,
|
h |
|
h |
|
|
|
dh |
|
|
dT |
|
dp . |
(47) |
|
||||||
T p |
|
|
|
|
||
|
p T |
|
|
|||
Подобно полной внутренней энергии энтальпия системы является экс-
тенсивным параметром, зависит от количества вещества и определяется по соотношению H h G.
Первое начало термодинамики для 1 кг простого тела по балансу рабо-
чего тела в дифференциальной и интегральной форме можно представить в следующем виде:
* |
** |
du pdv dh vdp ; |
|
||||
q q |
q |
|
|||||
|
q |
|
q |
* q |
|
|
|
|
1,2 |
1,2 |
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
. |
|
u2 |
u1 |
pdv h2 |
h1 vdp |
|
||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
(48)
(49)
Математическое выражение первого начала термодинамики по внеш-
нему балансу в дифференциальной и интегральной форме имеет следующий вид:
q |
|
* |
|
q1*,2 u2
du l |
* |
dh |
|
u1 l1*,2 h2
w |
; |
* |
|
h1 w1*,2 .
(50)
(51)
28
бота
терь
В реальных процессах эффективная потенциальная (техническая) ра-
w |
|
равна разности обратимой работы |
w |
и работы необратимых по- |
||
|
||||||
w |
|
, которая превращаются в теплоту внутреннего теплообмена q |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
|
** |
|
** |
(52) |
|
|
w |
|
q . |
||
В обратимых процессах |
|
0 |
и поэтому выражение первого начала |
||
w |
|||||
термодинамики по внешнему балансу совпадает с выражением первого нача-
ла термодинамики по балансу рабочего тела.
Аналитическое выражение первого начала термодинамики
Значения удельных внутренней энергии и энтальпии простого тела од-
нозначно определяются двумя независимыми переменными и могут быть представлены следующим образом:
u
h
f ( T ,v );
f ( T , p ) .
(53)
(54)
Изменения внутренней энергии и энтальпии простого тела, как функ-
ций состояния, в элементарных процессах являются полными дифференциа-
лами и определяются соотношениями
|
|
u |
|
|
u |
|
|
|
u |
dv ; |
(55) |
||||
du |
|
|
|
|
dT |
|
dv cvdT |
|
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
T v |
|
v T |
|
|
|
v T |
|
|
|||||
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|
h |
|
|
|||
dh |
|
|
dT |
|
|
dv c |
|
dT |
|
dp . |
(56) |
||||
|
|
|
|
|
p |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
T p |
|
|
p T |
|
|
|
p T |
|
|
||||
Соотношения (55) и (56) получены, исходя из анализа зависимостей
(19), (48), который показывает, что для изохорного процесса ( v idem) част-
ная производная внутренней энергии по температуре равна истинной изо-
29
хорной теплоемкости
|
u |
, |
(57) |
|
cv |
|
|
||
|
||||
|
T v |
|
||
а для изобарного процесса ( p idem ) частная производная энтальпии по температуре равна истинной изобарной теплоемкости
|
h |
|
|
cp |
|
. |
(58) |
|
|||
|
T p |
|
|
В результате подстановки выражений (55) и (56) в уравнение (48) и
разделения переменных получим:
|
|
u |
|
q c dT |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
v |
|
|
|
||
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
p |
dv c |
|
dT |
dh |
||
|
p |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
v |
dp |
|
|
.
(59)
Данное соотношение (59) называется первым началом термодинамики для простых тел в аналитической форме.
Выражения в квадратных скобках уравнения (59) в литературе часто называют калорическими коэффициентами, которые могут быть определены по формулам, полученным с использованием дифференциальных соотноше-
ний термодинамики,
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
p c D |
, |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
v |
|
|
|
v |
u |
|
|||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dh |
|
v |
|
( v c |
|
D |
|
|||
|
|
|
|
p |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
h |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где Du – коэффициент Джоуля – Гей Люссака,
)
,
(60)
(61)
30
Dh
D |
|
T |
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
|
u |
||
|
|
|
– коэффициент Джоуля-Томсона,
;
(62)
|
T |
|
|
Dh |
. |
(63) |
|
|
|
|
|
|
p |
h |
|
|
|
|
|
Коэффициенты Джоуля – Гей Люссака ( Du ) и Джоуля-Томсона ( Dh )
реальных газов определяются по таблицам термодинамических свойств,
представленным в справочной литературе.
Первое начало термодинамики для идеальных газов. Закон Майера. Энтропия идеального газа
Идеальные газы подчиняются уравнению состояния Клапейрона pv RT и закону Джоуля, согласно которому удельная внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры
u u( T
)
.
(64)
Совместное использование уравнения Клапейрона и закона Джоуля приводит к выводу о том, что удельная энтальпия идеального газа также яв-
ляются функциями только температуры
h u
pv h( T
)
.
(65)
С учетом законов идеальных газов и исходя из соотношений (55), (56),
изменение внутренней энергии 1 кг идеального газа в элементарном и конеч-
ном (1-2) процессах находится по следующим формулам:
du cv dT ; |
u2 u1 cvm T2 T1 , |
(66) |
а изменение энтальпии 1 кг идеального газа в элементарном и конечном (1-2)