Материал: Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

Получаем, что:

Покажем, что корни квадратные из двух последовательных натуральных чисел, превышающих 25, отличаются между собой менее чем на .

Возьмём натуральное число  и запишем для него полученное равенство:

Из того что , получим:

Рассмотрим неравенство:

Получаем, что если , то выполняется неравенство:

Задача 5. Показать, что разность между синусами синусами двух углов не превышает по абсолютной величине разности между этими углами, взятыми в радиальной мере.

Рассмотрим функцию

Проверим выполнение условий теоремы Лагранжа на отрезке

1)       непрерывна на отрезке

2)       дифференцируема на отрезке

Выполняются условия теоремы Лагранжа, следовательно, существует такая точка

Найдём производную функции:  Подставим

Получаем, что:

Так как  может принимать значения только от -1 до 1, то получаем, что:

Задача 6.Найти условный экстремум функции  при условии

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При  поэтому функция  в точке  имеет условный минимум, а приследовательно, функция  имеет в точке условный максимум.

Задача 7.Найти условные экстремумы функции  при наличии ограничения

Решение: Построим функцию Лагранжа

Стационарные точки определим из системы

Умножим первое уравнение на , а второе - на . После вычитания получим

Если , то из первых двух уравнений системы . Но такие значения переменных  и  не удовлетворяют уравнению связи. Значит  и так как  то из (27) имеем . Подставляя это в уравнение связи, получаем:  откуда . Таким образом, из (1.27) .

Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа

Далее,

Тогда для при

Получаем

Из уравнения связи при  находим соотношение для дифференциалов  и , .

Подставляя  в (1.28), получаем равенство

Поэтому, при  в точке  функция имеет условный максимум, а при  - условный минимум. Экстремальное значение равно .

Заключение

Настоящая работа даёт учащимся новый подход к многим преобразованиям в математике, которые стандартным путём трудно разрешимы или разрешимы, но громоздкими способами. Рассмотренные подходы нестандартного характера для учащихся покажутся новыми и необыкновенными, что расширит их кругозор и повысит интерес к производной.

Итак, геометрический смысл производной: производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

В результате написания курсовой работы мною были изучены теоремы о среднем значении дифференцируемых функции. Для достижения поставленной цели я решила следующие задачи: 1. Дала понятие производных и экстремумов и исследовала общие сведения о нем. 2. Рассмотрела теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа. 3. Изучила методы решений задач с доказательствами на данную тему.

Подводя итоги курсовой работы, можно сделать следующие выводы.

Теорема Ролля

Пусть функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b], и имеет конечную или бесконечную производную внутри этого сегмента. Пусть, кроме того, f(a) = f(b). Тогда внутри сегмента [a, b] найдется точка ξ такая, что f'(ξ) = 0.

Теорема Лагранжа

Если функция f: [a, b] → R непрерывна на сегменте [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную во внутренних точках этого сегмента, то  такое, что f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a).

Теорема Коши

Если каждая из функций f и g непрерывна на [a, b] и имеет конечную или бесконечную производную на ]a, b[ и если, кроме того, производная g'(x) ≠ 0 на ]a, b[, то  такое, что справедлива формула

Если дополнительно потребовать, чтобы g(a) ≠ g(b), то условие g'(x) ≠ 0 можно заменить менее жестким:

Список использованной литературы

1       Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа; учебное пособие - М., 1969. - 440с.

         Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по математическому анализу: учебное пособие - М., 1973. - 256 с.

         Зайцев И.А. Высшая математика. ДРОФА, 2005. - 400 с.

         Краснов М. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. - 328 с.

         Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математика Интегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник - 3-е изд. ЛКИ, 2007.

         Мироненко Е.С. Высшая математика. М: Высшая школа, 2002. - 109 с.

         Юнусов А.А. Курс лекции по высшей математике: учебное пособие - Шымкент, 2003. - 129 с.

         Юнусов А.А. Конспект лекции по математическому анализу: учебное пособие - Шымкент, 2012. - 113 с.