Материал: Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

Рис. 3

Вторая производная есть скорость изменения углового коэффициента касательной. Положительность второй производной на некотором интервале означает, что угол, образованный касательной с осью абсцисс, растет с увеличением x. Геометрически это значит, что график направлен выпуклостью вниз. Если же вторая производная отрицательна на некотором интервале, то на нем график расположен выпуклостью вверх. На рис. 5 интервал задания функции разбит на участки, на каждом из которых вторая производная сохраняет знак (этот знак указан на рисунке). Точки, в которых график меняет направление выпуклости, называются точками перегиба. точки А₁, А₂, А₃на рис. 5). При переходе через точку перегиба вторая производная меняет знак.

Наглядно видно, что если в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая положительна (точки В₁ и В₂ на рис. 5), то в этой точке функция имеет минимум, так как в такой точке касательная к графику горизонтальна и выпуклость направлена вниз. Соответственно если первая производная в точке равна нулю, а вторая отрицательна, то в этой точке имеет место максимум (точки С₁ и С₂ на рис. 5).

Если = 0 и , то функция f(x) достигает в точке х₀ минимума; если же = 0 и f"(x₀)<0, то функция имеет в этой точке максимум. Рассмотрим случай, когда и = 0 и f^//(х₀) = 0,

Предположим, что функция f(x) имеет в точке х =x₀n последовательных производных, причем все они, вплоть до (n-1) в этой точке обращаются в нуль:

 (9)

но . Разложим приращение f{x)-f(x₀) функции f(x) по степеням разности х - х₀ по формуле Тейлора с дополнительным членом в форме Пеано.

Так к все производные порядков меньших, чем n, равны в точке х₀ нулю, то

 (10)

Так как  при , при достаточной близости x к х₀ знак суммы в числителе будет совпадать со знаком f^{n) (x₀) как для х<х₀, так и для x>x₀. Рассмотрим два случая:

) n - нечетное число: n = 2k+1. При переходе от значений x к x₀, меньших, чем х₀, к значениям, большим, чем х₀, выражение (х - х₀)ⁿ изменит знак на обратный, а так как знак первого множителя при этом не меняется, то и знак разнести f(x)-f(x₀) изменится. Таким образом, в точке х₀ функция f(x) не может иметь экстремума, потому что вблизи этой точки принимает значения как меньше, так и большие, чем f(х₀).

) n - четное число: n = 2k. В этом случае разность f(x) - f(x₀) не меняет знака при переходе от х меньших, чем х₀, к большим, так как (х - х₀)ⁿ>0 при всех х. Очевидно, вблизи х₀ как слева, так и справа знак разнести f(x)-f(х₀) совпадает со знаком числа f^{n) (х₀). Значит, если , то f(x)>f(x₀) вблизи точки х₀, и в точке х₀ функция f(x) имеет минимум; если же f^{n)(х₀)<0, то функция имеет максим.

Теорема 3.Пусть функция f(x), заданная на интервале [а, b], имеет производные  и в некоторой точке [а,b] имеет место f'{c)=...

Тогда если f⁽ⁿ⁾{x) > 0 при всех х[а, b], то при четном n функция f(x) имеет минимум при х = с, если же  нечетно, то функция f(x) возрастает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба. Соответственно если f⁽ⁿ⁾(x)<0 при всех х[а, b], то при четном n функция f(x) имеет максимум в точке х = с, а при нечетном функция f(x) убывает на [а, b] и для нее х = с-точка перегиба.

Рис. 4

Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены и f⁽ⁿ⁾ (х) > 0 (рис. 6). Тогда f^{n-1)(x) возрастает в интервале [а, b], так что при х < с будет  (рис. 4) и при х >c: (рис. 5).

Рис. 5

Рис. 6                                  Рис. 7

Таким образом, f^{n-l)(x) отрицательна при х<c и f^(n-1)(x) положительна при x>с. Следовательно, f^{n-2)(x) убывает слева от точки х = с и возрастает справа от точки х = с. Она обращается в нуль при х = с.

Поэтому она принимает положительные значения как слева, так и справа от точки х = с и имеет минимум при х = с (рис. 6). Функция f^{n-3) (х) возрастает слева и справа от точки x= с, так что, обращаясь в нуль при х = с, переходит от отрицательных значений к положительным (рис. 7). Функция f^(n-4) (х) убывает слева отточки х = с и возрастает справа. Следовательно, она имеет минимум и равна нулю при х = с и принимает положительные значения как слева, так и справа от с. Продолжая аналогичные рассуждения, мы получим, что f^{n-1)(x), f^(n-3)(x). f^(n-5) (x)…. возрастают, когда х проходит через точку х = с, af^(n-2)(x), f^{n-4) (x), f^(n-6) (x)…. имеют минимум при х = с. При четном n дойдем до исходной функции f (х) через четное число шагов, делаем вывод, что f (x) имеет минимум при х = с. При нечетном n мы дойдем до f(x) за нечетное число шагов и заключим, что f (x) возрастает слева от точки х = с и продолжает возрастать справа от нее. f" (x) тоже возрастает, проходя через нулевое значение, и, следовательно, f" (х) меняет знак с минуса на плюс, значит, точка с есть точка перегиба для функции f(x).

Случай f^{n) (x) < 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Если функция задана параметрические: и , то производные  вычисляются по формулам:

; ; ,….

Производную второго порядка можно вычислить по формуле:

Локальный экстремум функции

Определение 7. Точка называется точкой локального максимума функции, определенной в некоторой окрестности , если . Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном максимуме.

Определение 8. Точка называется точкой локального минимума функции , определенной в некоторой окрестности , если . Если неравенство строгое для всех , то говорят о строгом локальном минимуме. Если функция имеет в точке локальный минимум или локальный максимум, то говорят о локальном экстремуме функции.

1.3 Локальный экстремум и теорема Ферма

Пусть существует число δ>0 такое, что функция f(x) определена в δ- окрестности точки x₀, т.е. на множестве, и пусть для всех x Є выполняется неравенство

(11)

Тогда говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ локальный минимум.

Аналогично, если существует число δ>0 такое, что для всех x Є выполняется неравнство.

(12)

то говорят, что функция f(x) имеет в точке х₀ локальный максимум. Локальный минимум и локальный максимум объединяются общим термином локальный экстремум. Функция у= f(x), график который изображен на рис. 12.1 имеет локальные экстремумы в точках х₁=1, х₂=3, х₃=4, а именно минимум при х=1 и х=4 и максимум при х=3.

Теорема 3 (Ферма). Если функция f(x) имеет локальный экстремум в точке х₀ и дифференцируема в этой точке, то

f^/(x₀)=0. (13)

Пусть, например, функция f(x) имеет локальный минимум в точке х₀. Тогда в силу (11) для всех x Є  =(x₀-δ, x₀+δ), выполняется неравенство

(14)

Если x Є , то х-х₀<0 и из условия (14) следует, что

(15)

а если x Є , то выполняется неравенство

(16)

Так как функция fдифференцируема в точке х₀, то существует предел при  в левой части неравенства (15), равный f^/_-(x₀)= f^/(x₀). По свойствам пределов из (15) следует, что

f^/(x₀)≤0. (17)

Аналогично, переходя к пределу в неравенстве (16), получаем

f^/(x₀)≥0. (18)

Из неравенств (17) и (18) слдует, что f^/(x₀)=0.

Замечание 4. Теорема Ферма имеет простой геометрический смысл: касательная к графику функции у=f(x) в точке локального экстремума (х₀, f(x)) параллельна оси абсцисс (рис. 8)

Теорема 4 (Роля). Если функция f(x) непрерывна на отрезка [a, b], принимает в концах этого отрезка равные значения, т.е.

f(а)= f(b), (19)

и дифференцируема на интеграле (a, b), то существует точка ξ Є (a, b) такая, что

f^/(ξ)=0. (20)

Обозначим М= f (x), m= f(x). По теореме Вейерштрасса на отрезка [a, b], существуют такие точки с₁ и с₂, что f(c₂)=M. f(c₁)= m

Если m=M, то f (x)=const, и в качестве ξ можно взять любую точку интервала (a, b).

Если mM, то m<M, и поэтому f (c₁)<f (c₂). В силу условия (19), по крайней мере одна из точек c₁, c₂ является внутренней точкой отрезка [a, b]. Пусть, например, c₁ Є (a, b).

Тогда существует число δ>0 такое, что U_δ (с₁)(a, b). Так как для всех х ЄU_δ (с₁) выполняется условие f (х)≥ f (с₁)=m, то по теореме Ферма f^/ (с₁)=0, т.е. условие (20) выполняется при ξ=с₁. Аналогично рассматривается случай, когда с₂ Є Є(a, b).

Теорему Роля можно кратка сформулировать так: между двумя точками, в которых дифференцируемая функция принимает равные значения, найдется хотя бы один нуль производной этой функции. Для случая f (a)= f (b)=0 теорема формулируется еще короче: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит хотя бы один нуль ее производной.

Замечание 4. Геометрический смысл теоремы Роля: при условиях теоремы 4 существует значение ξ Є (a, b) такое, что касательная к графику функции y=f(x) в точке (ξ; f (ξ)) параллельна оси Ох (рис. 9)

Замечание 5. Все условия теоремы Роля существенны. На рис.10, 11 и 12 изображены графики функций, каждая из которых удовлетворяет всем условиям теоремы Роля, кроме одного. Для всех этих функций не существует точки на интервале (-2, 2), в которой производная была бы равна нулю.

1.5 Формула конечных приращений Лагранжа

производный локальный экстремум теорема

Теорема 5 (Лагранж). Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то в этом интервале найдется хотя бы одна точка ξ такая, что

f (b)-f (a)=f^/ (ξ) (b-a). (21)

Рассмотрим функцию

где число λ выберем таким, чтобы выполнялось условие  те

Отсюда находим

(22)

Так как функция φ(х) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и принимает равные значения в концах этого интервала, то по теореме Роля существует точка ξ Є (a, b) такая что  Отсюда в силу условия (12.12) получаем равенство

(23)

равносильное равенству. (21)

Замечание 4 Первая часть формулы (23) равна угловому коэффициенту секущей, которая проходит через точки А (a, f (a)) B (b, f (b)) графика функции y=f (x), а левая часть этой формулы равна угловому коэффициенту касательной к графику в точке (ξ, f (ξ)). Поэтому теорема Лагранжа имеет следующую геометрическую интерпретацию: существует значение ξ Є (a, b) такое, что касательная к графику функции y=f (x) в точке (ξ, f (ξ)) параллельна секущей (рис. 8), соединяющие точки A (a, f( a)) и B (b,f(b)).

Замечание 5 Пусть функция f удовлетворяет условиям теоремы 12.3. если х₀ Є [a, b], приращение ∆х≠0 и таково, что точка х₀+∆х также принадлежит отрезку [a, b], то, применив теорему Лагранжа к функции f(x) на отрезка l с концами х₀ и х₀+∆х (∆х может быть и отрицательными), получим

(24)

где ξ- некоторая внутренняя точка отрезка l.

Пусть ∆х>0, тогда 0<ξ-x₀<∆x, и поэтому

Полагая  получаем

где  (25)

Аналогично, если ∆х<0. то 0<x0-ξ<, и поэтому  полагая  снова получаем равенство (25), где 0<Ө<1.