Материал: Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения

Аннотация

Данная курсовая работа раскрывает тему «Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложения», содержит в себе введение, обзор литературных источников, примеры, определения, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и основные понятия. При изучении для написания данной работы были использованы различные литературные источники, которые перечислены в настоящем документе. Целью написания данной работы было получение и закрепление практических навыков различными методами. Курсовая работа содержит 14 рисунков текст и описание работы.

Содержание

Введение

. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функции

.1 Понятие непрерывности функции

.2 Понятие производной

.3 Локальный экстремум и теорема Ферма

.4 Теорема Ролля о нулях производных

.5 Формула конечных приращении Лагранжа

.6 Некоторые следствия из теоремы Лагранжа

.7 Обощенная формула конечных приращении (формула Коши)

. Задачи на применение теоремы для дифференцируемых функции

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Данная курсовая работа раскрывает тему «Теорема о среднем значении дифференцируемых функции и их приложение».

Актуальность темы. На сей день это тема является актуальной. Она применяется непосредственно с самого начала изучения курса математического анализа. Из теоремы Ролля вытекает существование нулей производной между любыми двуия нулями дифференцируемой функции. Из нее получается теоремы Лагранжа и Коши. А при помощи теоремы Лагранжа доказывается, что если на отрезке производная 0, то функция постоянна. Откуда следует описание неопределенного интеграла (то есть множества всех первообразных) в виде множества постоянных функций, сдвинутого на любую из первообразных. Из теоремы Коши получаем остаток в форме Лагранжа в формуле Тейлора, а также правило Лопиталя.

Цель работы. Целью данной работы является раскрыть тему о теоремах дифференцируемых функции. Показать на графиках и примерах пути решения задач, связанных с этой темой.

Задача работы. Для достижения поставленной в курсовой работе цели нами решались следующие задачи: для полного раскрытия темы также использовались понятия о непрерывности функции, понятие о производной, теоремы были полностью раскрыты, а также предоставлены примеры.

Научная новизна. бóльшая часть сведений, используемых в работе, появилась в научных публикациях лишь во второй половине ХХ-го века, «время появления новых областей приложения математики»; при изложении материала основное внимание уделено процессу получения математических утверждений и алгоритмов как ответов на чётко поставленные вопросы (а не широко распространённому в преподавании математики абстрактно-дедуктивному стилю изложения), «сознательный отказ от ответов на не поставленные вопросы».

Объектом исследования курсовой работы являются основные теоремы дифференцируемых функции.

Предметом исследования являются свойства теорем дифференцируемых функции с доказательствами и их применимость.

Практическая значимость. В настоящее время практическая значимость этой работы не теряется, эти теоремы используются в школьной программе, но дальнейшее глубокое рассмотрение происходит на курсе изучения математического анализа. Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении. Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719). Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось  в двух точках ,  или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между  и  касательная к кривой параллельна оси . Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813). Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка  существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при  теорема переходит в теорему Ролля. Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа. На основании теоремы Коши о среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов, называемый правилом Лопиталя (1661-1704).

1. Теоремы о среднем значении дифференцируемых функции

.1 Понятие непрерывности функции

Определение 1

Функция определенная в некоторой окрестности точки , включая саму точку, называется непрерывной в этой точке, если

(1)

Замечание 1. Таким образом, согласно определению 20.1. предел функции и ее значение в точке равны.

Определение 2

Функция f(x) непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда для любой последовательности  из некоторой окрестности точки , сходящейся к , соответствующая последовательность  сходится к .

Определение 3

 непрерывна в точке  тогда и только тогда, когда:

.

Рис. 1

Пусть .

Тогда величина  называется приращением аргумента.

 называется приращением функции.

Преобразуем формулу (1):

. (2)

Определение 4.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Замечание 2. Определения 1-4 эквивалентны.

Дифференцируемость функции в точке, связь с непрерывностью

Определение 5. Функция  называется дифференцируемой в точке , если её приращение  в этой точке можно представить в виде

 (3)

где А - некоторое число, не зависящее от , а  - функция аргумента  являющаяся бесконечно малой при .

Установим связь между дифференцируемостью функции в точке и существованием производной в этой же точке.

Теорема 1. Для того чтобы функция  была дифференцируема в необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Таким образом, для функции одной переменной дифференцируемость и существование производной - понятия равносильные. Поэтому операцию нахождения производной часто называют дифференцированием.

Установим связь между понятием дифференцируемости и непрерывности.

Теорема 2. Если функция  дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Замечание 3. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не быть дифференцируемой, т.е. не иметь производной в этой точке.

Например, функция  непрерывна в точке , но производной в этой точке не имеет. Действительно,

.

Если функция  имеет производную в каждой точке некоторого промежутка, то будем говорить, что функция дифференцируема на данном промежутке.

1.2 Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

(4)

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение D x и определяем соответствующее приращение функции D y = f(x+D x) -f(x); 2) составляем отношение

 (5)

) считая x постоянным, а D x¦0, находим

, (6)

который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение 6.Производной y ' =f ' (x)данной функции y=f(x)при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

, или  (7)

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение

 (8)

при D x¦0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x₀

рис. 2

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ∆АВС: АС = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Так как АС || Ox, то ÐALO = ÐBAC = β (как соответственные при параллельных). Но ÐALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgβ = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ∆х, т.е. ∆х→ 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ∆х→ 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ∆х → 0 в равенстве tgβ =∆y/∆x, то получим или tga =f '(x₀), так как a-угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tga = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tga = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x₀.

Физический смысл производной

Рассмотрим движение точки по прямой. Пусть задана координата точки в любой момент времени x(t). Известно (из курса физики), что средняя скорость за промежуток времени [t₀; t₀+ ∆t] равна отношению расстояния, пройденного за этот промежуток времени, на время, т.е. Vср = ∆x/∆t. Перейдем к пределу в последнем равенстве при ∆t → 0. limVср (t) = n(t₀) - мгновенная скорость в момент времени t₀, ∆t → 0. а lim = ∆x/∆t = x'(t₀) (по определению производной). Итак, n(t) =x'(t).

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x₀ - это скорость изменения функции f (х) в точке x₀

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени. u(t) = x'(t) - скорость, a(f) = n'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t). Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении: φ = φ(t) - изменение угла от времени, ω = φ'(t) - угловая скорость, ε = φ'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня: m = m(х) - масса, xÎ [0; l], l - длина стержня, р = m'(х) - линейная плотность. С помощью производной решаются задачи из теории упругости и гармонических колебаний. Так, по закону Гука F = -kx, x - переменная координата, k- коэффициент упругости пружины. Положив ω² =k/m, получим дифференциальное уравнение пружинного маятника х"(t) + ω²x(t) = 0, где ω = √k/√m частота колебаний (l/c), k - жесткость пружины (H/m). Уравнение вида у" + ω²y = 0 называется уравнением гармонических колебаний (механических, электрических, электромагнитных). Решением таких уравнений является функция у = Asin(ωt + φ₀) или у = Acos(ωt + φ₀), где А - амплитуда колебаний, ω - циклическая частота, φ₀ - начальная фаза.

Производные высших порядков

Наряду с производной функции f(x) часто возникает потребность в рассмотрении производной  функции . Она называется второй производной функции f(x). Производная есть скорость изменения функции. Поэтому вторая производная есть скорость изменения скорости изменения функции или, вторая производная есть ускорение изменения функции.

Производная от второй производной называется третьей производной или производной третьего порядка; производная от третьей производной - производной четвертого порядка и т.д. Производная порядка п от функции f (х) обозначается f⁽ⁿ⁾ (х).

Первая производная  функции f(x) имеет ясный геометрический смысл. Она есть угловой коэффициент касательной, т.е. равна тангенсу угла наклона касательной коси абсцисс (рис. 3).