Основы начертательной геометрии
Взаимное расположение прямой и плоскости
Прямая и плоскость в пространстве могут быть параллельны и могут пересекаться:
1. Прямая параллельна плоскости - CD Ца;
|
|
Теорема: |
«Прямая |
параллельна |
||
|
плоскости, если она параллельна прямой, |
|||||
|
лежащей в этой плоскости». |
|
||||
|
|
На рисунке 33 прямая CD параллельна |
||||
|
плоскости, |
заданной |
параллельными |
|||
|
прямыми а и Ъ потому, что параллельна |
|||||
|
прямой 7-2, |
лежащей в |
этой |
плоскости. |
||
|
Прямые CD и 7-2 параллельны, так как |
|||||
|
параллельны их одноименные проекции. |
|||||
2. Прямая пересекает плоскость- d |
Па; |
|
|
|
|
|
Если прямая пересекает плоскость, то можно построить точку пересечения |
||||||
прямой и плоскости - |
точку К (рис. 34). |
|
|
|
|
|
Рассмотрим частные случаи пересечения прямой и плоскости: |
|
|||||
1. Прямая - проецирующая, плоскость |
- общего |
|
|
с, |
|
|
положения. |
|
|
|
|
|
|
Сначала находим |
фронтальную |
проекцию |
|
|
|
|
точки {Ki) пересечения прямой и плоскости. |
|
|
|
|
||
Заданная прямая d - фронтально-проецирующая, |
|
|
|
|
||
поэтому ее фронтальная проекция efe |
обладает |
|
|
|
|
|
«собирательным свойством». Это значит, что Aj |
|
|
|
|
||
совпадает с й^. |
|
|
|
|
|
|
Находим горизонтальную проекцию точки |
|
пересечения К (Kj) из условия принадлежности ее |
|
заданной плоскости а (АВ ПВС). Точка К лежит на |
|
вспомогательной прямой 1-А плоскости а. |
|
2. Плоскость - проецирующая, прямая - общего |
|
положения. |
|
Заданная плоскость р (аПЬ) - фронтально- |
|
проецирующая, поэтому ее фронтальная проекция |
|
обладает «собирательным свойством». Значит, К.2 |
|
лежит в точке пересечения фронтальных проекций |
|
прямой (d2) и плоскости (р2= а2=62). |
|
Затем находим по линии проекционной связи |
|
горизонтальную проекцию точки А), как точку, |
|
принадлежащую прямой d. |
Рис. 34 |
|
21
Позиционные задачи
Работа 1
Тема «Позиционные задачи»
Данные для своего варианта взять из таблиц приложения 1 (стр. 84). Пример выполнения приведен на рисунке 35.
Задача 1. Найти недостающую проекцию четырехугольникаABCD. Задача 2. Через точку С провести дополнительную плоскость/?. Задача 3 . Построить линию пересечения I плоскостей a (ABCD) и /?.
Задача 4. Построить точку пересечения К прямой FN с плоскостью а. Определить видимость прямой FN по отношению к плоскости а.
►Примечание: Данные для задач 1, 2, 3 приведены в таблице 1. Данные для задачи 4 приведены в таблице 2.
Методические указания
З а д а ч а 1
► Задачи решаются в системе двух плоскостей проекций, начало координат надо задать самостоятельно.
Точки Л, ВуС четырехугольника строим по координатам.
Вусловии задачи точка D задана: D (х; у; ?) или D (х; ?; г). Недостающую проекцию точки D находим на основании теорем о принадлежности точки плоскости (теорема 1, стр. 17) и о принадлежности прямой плоскости (теорема 2, стр. 17).
Впримере по координатам была построена для четырехугольника ABCD фронтальная проекция точки D, поэтому на фронтальной проекции четырехугольника проводим вспомогательные прямые А 2В2 и C2D2 . Находим точку пересечения этих прямых h , а затем ее горизонтальную проекцию lj. Горизонтальную проекцию точки Dj находим на прямой Cil\.
З а д а ч а 2
Через точку С проводим дополнительную плоскость /?. На примере приведена фронтально-проецирующая плоскость {р J.II2). Она задана проекцией /?2-
Данная плоскость перпендикулярна фронтальной плоскости проекций и проецируется на нее в виде прямой линии. Эта прямая линия обладает «собирательным свойством», т.е. она собирает одноименные проекции всех геометрических образов, принадлежащих этой плоскости.
З а д а ч а 3
Построить линию пересечения плоскостей, значит, найти две ее проекции. Линия пересечения плоскостей принадлежит одновременно плоскости a (ABCD) и /?.
Фронтальную проекцию линии пересечения плоскостей /2 найдем из условия принадлежности плоскости р в силу ее собирательного свойства (/2 совпадает с Р2).
Горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей // найдем из условия принадлежности плоскости a (ABCD). Линия пересечения проходит через точки С и 2, принадлежащие сторонам четырехугольника. Решение аналогичной задачи рассмотрено на рисунке 31 (стр. 20).
22
A(100;30,75}
B(80,115;8)
C(127;85;33)
0(12; ? ;5 5 )
A2
К)
u>
mmmmmmmmmmmrn
.. . |
ш |
|
A(115;35;20}
B(60;80; 70)
C(68;2b;15)
F(125;45;55J
2 ) cc(ABHCD)np=l
3) FNn l= K
alA B II CD)n FN = К
rn.06.P 11800.00 Смирнов ИМ. ИНиП-3
Рис. 35
задачи Позиционные
Позиционные задачи
З а д а ч а 4
Теоретическая основа
Частный случай пересечения прямой и плоскости был рассмотрен ранее (рис. 34). Если прямая и плоскость общего положения, задача решается по следующему
алгоритму (рис. 36 и 38).
1. Через прямую а проводим вспомогательную плоскость /?.
а с р
2.Строим линию пересечения заданной плоскости а со вспомогательной плоскостью /?.
аГ\р = 1
3.Находим точку пересечения К заданной прямой а и построенной линии пересечения /.
аП I =К
►Примечание: Рекомендуется выбирать плоскость р частного положения, чтобы
оможно было использовать «собирательное свойство» плоскости (рис. 37).
А?
1. а с Р; р ± П 2
2. а(ЛАВС) 0 р = 1
3. а 01 =К
24
Позиционные задачи
Видимость прямой по отношению к плоскости определяется при помощи конкурирую щ их т очек, т.е. точек, лежащих на одном проецирующем луче. Этот проецирующий луч означает направление взгляда наблюдателя. Причем одна из точек должна принадлежать заданной прямой, другая - заданной плоскости. Видимой считается та точка, которая расположена ближе к наблюдателю.
Видимость прямой определяется отдельно на каждой плоскости проекций. Для определения видимости на 77; выбираются горизонталъно-конкурирующие точки, а на
П2 - фронталъно-конкурирующие точки (рис. 39).
7 и 2 - горизонталъно-конкурирующие точки |
3 и 4 - фронтально-конкурирующие точки |
Рис. 39 |
|
В задаче на рисунке 40 для определения видимости на плоскости проекций П2 |
|
взяты фронтально-конкурирующие точки |
1 и 3, лежащие на проецирующем луче, |
перпендикулярном П2. Точка 1 принадлежит прямой АВ плоскости а(ААВС), точка 3 |
|
принадлежит прямой а. Ближе к наблюдателю находится точка 3 (рис. 41), |
|
следовательно, участок прямой 02 влево от точки К2 будет видимым. |
|
|
на гг. |
|
|
S2 |
Г' щ |
l |
4, |
|
|
|
|
О х |
о |
|
6 |
|
|
&1^5-1 |
|
Рис. 42
25
fti