Материал: С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Основы начертательной геометрии

Все эти прямые проецируются в точку на ту плоскость проекций, которой они перпендикулярны (рис. 19, 20, 21).

Взаимное расположение прямых

Прямые могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. На эпюре взаимное расположение прямых определяют по положению проекций:

•если одноименные проекции прямых параллельны, то прямые - параллельны (рис. 22, а);

•если одноименные проекции прямых пересекаются и проекции точки пересечения проекций прямых лежат на одной линии проекционной связи, то прямые -

пересекаются (рис. 22, б);

•если точки пересечения проекций прямых не лежат на одной линии проекционной связи или проекции не имеют общей точки, то прямые - скрещиваются (рис. 22, в).

Рис. 22

Проецирование плоскости

Из школьного курса геометрии известны различные способы задания плоскости: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой (рис. 23); б) прямой и точкой, не лежащей на этой прямой; в) двумя параллельными прямыми; г) двумя пересекающимися прямыми; д) любой плоской фигурой.

В начертательной геометрии плоскость можно задать проекцией (а; на рис. 25).

Рис. 23

16

Основы начертательной геометрии

Все способы задания плоскости равнозначны. При решении задач всегда можно перейти от одного способа задания плоскости к другому.

В техническом черчении обычно применяют задание плоскости какой-либо плоской фигурой, например, треугольником (рис. 24).

Относительно плоскостей проекций плоскость может занимать различное положение.

Плоскость, не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего п о ло ж ен и я . Эпюр такой плоскости приведен на рисунке 24.

Z Z

Рис. 24

Теорема 1: «Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости».

Теорема 2: «Прямая принадлежит плоскости, если она: а) проходит через две точки этой плоскости

или б) проходит через одну точку плоскости и параллельна какой-либо прямой этой плоскости».

Применение этих теорем рассмотрено на рисунке 24.

По данной фронтальной проекции точки D (D2), принадлежащей плоскости а(ААВС), построены горизонтальная и профильная проекции (Dj и D3). Для этого через точку D проведена вспомогательная прямая В-1 (теорема 1), принадлежащая плоскости а(ААВС) (теорема 2 а).

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями част ного п о ло ж ен и я .

17

Основы начертательной геометрии

I. Пр оецирующие плоскости - это плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций и расположенные под углом к другим плоскостям проекций.

Так как плоскость а 1 Пь то она проецируется на /7/ в прямую линию. Эта прямая обладает «собирательным свойством», т.е. горизонтальная проекция плоскости (а/) собирает горизонтальные проекции всех геометрических фигур, лежащих в плоскости а.

2) Фронталъно-проецирующая плоскость Р -LII2 (рис. 26).

Рис. 26 Фронтальная проекция этой плоскости (Р2) обладает «собирательным

свойством».

3) Профильно-проецирующая плоскость у J.II3 (рис. 27).

Профильная проекция этой плоскости (уз) обладает «собирательным свойством».

18

Основы начертательной геометрии

И. Плоскости уровня - это плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций (и следовательно, перпендикулярные двум другим).

1) Горизонтальная плоскость а Ц П 1 (следовательно, a J.II2 и а 1 Пз) (рис. 28).

Фронтальная (а$ и профильная (аз) проекции плоскости обладают «собирательным свойством».

2) Фронтальная плоскостьр //#2 (следовательно, р 1П]И р J .Пз) (рис. 29).

Рис. 29 р1 ирз - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».

3) Профильная плоскость у //Пз (следовательно, у ЛП]му JLП2) (рис. 30).

У1 ИУ2 - проекции плоскости, обладающие «собирательным свойством».

19

Основы начертательной геометрии

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости в пространстве могут быть параллельны и могут пересекаться:

1. Плоскости параллельны - р Ца; Теорема: «Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум

пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны».

Пересекающиеся прямые а и Ь плоскости р соответственно параллельны пересекающимся прямым АВ и АС плоскости а (рис. 31), так как параллельны их одноименные проекции

20