Позиционные задачи
Для определения видимости на плоскости проекций 77; взяты горизонтальноконкурирующие точки 4 и 5, лежащие на проецирующем луче, перпендикулярном П]. Точка 4 принадлежит прямой ВС плоскости а , точка 5 принадлежит прямой а. Ближе к наблюдателю - точка 5, принадлежащая прямой а (рис. 42), следовательно, вправо от точки К\ участок прямой будет видимым.
Методические указания
Взависимости от варианта в работе приведены разные способы задания плоскости.
Впримере (рис. 35) плоскость задана параллельными прямыми AB//CD. Для построения этой плоскости через точку С проводим проекции прямой CD параллельно соответствующим проекциям прямой АВ. Длину проекций прямой CD задаем самостоятельно.
Точку пересечения прямой и плоскости находим по алгоритму, приведенному
выше:
1.Через заданную прямую FN проводим вспомогательную фронтальнопроецирующую плоскость р.
2.Строим линию пересечения заданной плоскости a(ABHCD) со вспомогательной плоскостью р. Фронтальная проекция линии пересечения совпадает с фронтальной проекцией плоскости р (p2=h)- Горизонтальную проекцию h
находим по принадлежности плоскости a(AB//CD), которая проходит через точки / и 2, принадлежащие прямым заданной плоскости.
3.Находим точку пересечения К заданной прямой FN и построенной линии пересечения /. Построение начинаем с горизонтальной проекции Ki.
Видимость прямой на /7) определена при помощи горизонтальноконкурирующих точек 3 и 4. Точка 4 принадлежит плоскости а (прямой АВ), а точка 3 принадлежит прямой FN. Ближе к наблюдателю - точка 3, принадлежащая прямой FN, следовательно, участок прямой FN влево от точки Kj будет видимым, значит на чертеже его обводим сплошной основной линией. Участок KJN J будет невидим, поэтому его проводим штриховой линией.
Видимость прямой на /7^ определена при помощи фронтально-конкурирующих точек 2 и 5. Точка 2 принадлежит плоскости а (прямой CD), а точка 5 принадлежит прямой FN. Ближе к наблюдателю - точка 5, принадлежащая прямой FN, следовательно, участок прямой K2N2 будет видимым, значит на чертеже его обводим сплошной основной линией. Участок F2K2 проводим штриховой линией.
► Примечание: координаты заданных точек и алгоритм решения задачи (символами) обязательно привести на свободном поле чертежа.
Метрические задачи
Работа 2 Тема «М етрические задачи»
Данные для своего варианта взять из таблицы приложения 2 (стр. 86). Пример выполнения приведен на рисунке 55.
Задача 1. Определить истинную величину треугольника АВС:
а) для четных вариантов задачу решить способом плоскопараллельного перемещения; б) для нечетных вариантов - заменой плоскостей проекций.
Задача 2. Определить расстояние отлочшА до прямой ВС:
а) для четных вариантов задачу решить способом замены плоскостей проекций; б) для нечетных вариантов - способом плоскопараллельного перемещения.
►Примечание: Задачи решаются на одном условии.
Теоретическая основа
Способы преобразования проекций
Для решения задач необходимо применить два способа преобразования проекций: плоскопараллельное перемещение и замену плоскостей проекций. Эти способы используются для решения метрических задач.
Метрические задачи - задачи на определение различных величин: длины отрезка, величины угла, размера плоской фигуры, расстояний от точки до прямой, от точки до плоскости и др.
Су щно ст ь способа з ам ен ы (пере ме ны) п л о с к о с т е й п р о е к ц и й
Точка или другой проецируемый образ (геометрический элемент) своего положения в пространстве не меняет. Заменяется одна или обе (последовательно) плоскости проекций. Новая плоскость проекций выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости, т.е. той плоскости, положение которой не изменяется. При такой замене расстояния от точек геометрической фигуры до неизменяемой плоскости проекций (т.е. соответствующие координаты точек) остаются неизменными. Новая плоскость по отношению к заданному геометрическому элементу выбирается так, как это необходимо для решения той или иной задачи.
Рассмотрим механизм введения дополнительной плоскости проекций на примере (рис. 43). Плоскость проекций П2 заменяем на новую плоскость П4. При этом плоскость П4 выбираем перпендикулярно оставшейся плоскости проекций Яу и под произвольным углом к П2 (в данном случае этот угол выбран произвольно). Плоскость П4 пересекает плоскость Я; по оси проекций Х14. Таким образом, получаем две системы плоскостей проекций - старую П2/П1 и новую Я/Яу с общей плоскостью Я;. Из рисунка 43 видно, что положение точки А относительно оставшейся плоскости Яу не изменяется, т.е. координата « z » точки А остается постоянной.
Эти же рассуждения сохраняются и при построении новой проекции точки на эпюре (рис. 43). Через неизменяемую проекцию точки Aj проводим линию проекционной связи, перпендикулярно новой оси проекций Хм. Откладываем от новой оси по линии проекционной связи отрезок, равный координате « z », т.е. расстояние до неизменяемой плоскости проекций Яу.
27
Метрические задачи
При решении задач приходится менять либо одну из заданных плоскостей проекций, либо последовательно обе. Механизм такой двойной замены плоскостей проекций показан на примере построения проекций точки А (рис. 44).
ТТ2 л .
JTi 1 Л ,;
х12 —> Хн ;
z = const
щ |
J h |
2
л5 1 Л4;
XU XiS '
у 4= const
Сначала плоскость проекций П2 заменяем на плоскость проекций П4, а далее плоскость проекций Я; заменяем на плоскость 77j. Следовательно последовательно переходим от системы плоскостей проекций П2/П1 к системе Я /Я /, а затем к системе
П /П 5.
На эпюре построение проекции точки А на плоскость проекций П4 были рассмотрены выше (первая замена). При второй замене плоскость проекций П4 остается неизменной, а новую плоскость Я5 выбираем перпендикулярно ей. Следовательно, на эпюре проводим новую ось проекций Х45. Для построения проекции точки А$ проводим
28
Метрические задачи
линию проекционной связи, перпендикулярно оси проекций Х45. Откладываем от новой оси по линии проекционной связи отрезок, равный координате « у 4 », т.е. расстояние до неизменной плоскости проекций П4.
Следует отметить, что при введении новой плоскости проекций новая ось проекций проводится на произвольном расстоянии от геометрического объекта.
Примеры решения задач способом замены плоскостей проекций
Задача 1. Определить расстояние от точки до прямой.
Заданы прямая общего положения EF и точка М (рис. 45).
При решении задачи следует руководствоваться тем, что расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую. Следовательно, для решения задачи необходимы два последовательных преобразования эпюра:
1.Прямая общего положения в результате первой замены должна стать прямой уровня. Для этого новую плоскость проекций надо взять параллельно прямой.
2.Прямая в результате второй замены должна стать проецирующей. Для этого новую плоскость проекций необходимо выбрать перпендикулярно прямой.
Первая замена. Переведем прямую общего положения в прямую уровня. Для этого заменим плоскость проекций П2 на новую плоскость П4, которая будет параллельна прямой и перпендикулярна оставшейся плоскости П На П4 прямая спроецируется в истинную величину (и.в.) и станет фронталъю в новой системе
плоскостей Щ/П4.
Необходимы следующие построения на эпюре (рис. 45):
1)Проводим ось Xu параллельно горизонтальной проекции прямой EF.
2)Через точки £), Fj и Mi проводим перпендикулярно оси Х и линии проекционной связи.
Л1 |
П1 |
' |
|
JTi II EF |
|
Хи II EjF1; |
|
X'12 |
Х ц ; |
||
z = const |
|
|
|
2. л |
л* |
,* |
|
|
5 |
|
|
л $ 1Е Е |
|
|
|
Х ц —> Х ^ 5; |
X^J- E^F^ |
||
у 4= const
Рис. 45
29
Метрические задачи_____________ _________________________________________________________
Для построения проекций £*, F4, М4 на линиях проекционной связи от новой оси Хи откладываем расстояния, равные координатам « z » точек £, £ и М, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций 77/
►Примечания: 1. Проекция E4F4 - истинная величина прямой EF.
2. Угол между E4F4 и осью Xu - угол наклона прямой к плоскости проекций 77/ (вариант решения задачи на определение угла наклона прямой общего положения к 77/).
Вторая замена. Переведем прямую EF в проецирующую прямую. Для этого заменим старую плоскость проекций 77/ на новую плоскость П5, которая будет перпендикулярна прямой и перпендикулярна оставшейся плоскости П4. На П5 прямая спроецируется в точку и станет горизонталъно-проецирующей прямой в новой системе плоскостей П4/П5.
Выполним следующие построения на эпюре (рис. 45):
1)Проводим ось Х45 перпендикулярно E4F4.
2)Через точки Е4, F4 и М4 проводим перпендикулярно новой оси Х45 линии проекционной связи.
3)Для построения проекций £ 5, £5 и М5 на линиях проекционной связи от новой оси Х45 откладываем расстояния, равные координатам « у 4» точек £, £ и М, т.е. расстояния от точек до неизменяемой плоскости проекций П4.
Врезультате этих преобразований прямая спроецируется в точку. Кратчайшее расстояние между двумя точками будет истинной величиной расстояния от точки до прямой.
►Примечание: Задача на определение расстояния между параллельными прямыми решается аналогично.
Задача 2, Определить истинную величину плоской фигуры.
Задан треугольник ЬАВС - плоскость общего положения.
При решении задачи следует руководствоваться тем, что фигура спроецируется в истинную величину, когда она параллельна какой-либо плоскости проекций. Следовательно, для решения задачи необходимы два последовательных преобразования эпюра (рис. 48):
1. Плоскость общего положения в результате первой замены должна стать проецирующей плоскостью. Для этого новую плоскость проекций надо взять перпендикулярно плоскости фигуры.
а±л? => h±n? |
Это преобразование |
основано на |
||
следующей |
закономерности: если |
|||
плоскость перпендикулярна какой-либо |
||||
плоскости |
проекций (т.е. является |
|||
проецирующей), тогда одна из линий |
||||
уровня |
этой плоскости |
(горизонталь |
||
или |
фронталь) |
тоже |
становится |
|
перпендикулярной к той же плоскости
А
проекций (рис. 46).
Рис. 46
30