Материал: Строительная механика и сопротивление материалов

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Уравнения равновесия узлов (3) и уравнения совместности деформаций (8) образуют

систему

2 n уравнений относительно проекций усилий

X

i ,

Y

(i 1..n)

в звеньях цепи.

 

i

Покажем, что полученная система уравнений может быть сведена к системе двух нелиней-

ных уравнений относительно неизвестных проекций усилий в первом звене цепи

X

1

,

Y

 

1 .

Действительно, пусть проекции усилия в первом звене цепи реакция в первой упругой связи определяется по формуле

X1

,

Y1

известны. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

R

y

l

 

Y (

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

Y

2

 

 

EA

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнения равновесия 1-го узла примут вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

 

P

x

 

0

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y Y

P

 

y

c

l

Y (

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

) 0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

X

2

 

Y

2

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнений (11) выражаем

 

 

X

2

,

Y

2

через проекции

X

1 ,

Y

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

X

 

P

x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y Y P y

c l Y (

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1

Y1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим 1-е уравнение равновесия 2-го узла

X

 

 

 

X

 

P

x

2

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

X

 

X

 

P

x

. С учетом (12) будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

X

 

P

x

 

P

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реакция во 2-й упругой связи определяется по формуле

0

(10)

(11)

(12)

, откуда получим

(13)

С учетом

R

y

l

 

2

 

1

 

R

y

l

 

Y (

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

X

 

2

Y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(12) выражаем

R

y

через

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y (

 

 

1

 

 

1

)

 

 

 

 

 

 

1

X

2

Y

2

 

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

) l

 

Y

(

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

EA

 

2

 

X

2

Y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

X1 , Y1 примет вид

1

)

EA

 

.

(14)

l

 

Y (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

)

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

EA

 

 

 

 

[ X

 

P

x

]

2

[Y

P

y

c l

Y (

 

 

 

 

)]

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

1

 

 

1

1

2

Y

2

 

EA

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

Из 2-го уравнения равновесия 2-го узла находим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Y Y P x

R y 0 ,

Y Y P y R y Y P y

P y R y .

 

 

2

3

2

 

 

 

2

 

 

3

2

2

 

 

2

 

1

 

1

 

2

 

2

Выражение усилия Y3

через X1 , Y1 примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(15)

(16)

100

В уравнении (17)

R1y

, R

y 2

Y

Y P

y

P

y

R

y

R

y

.

 

 

 

2

3

1

1

2

1

 

 

определяются по формулам (10) и (15) соответственно.

(17)

Таким образом, проекции усилий во всех звеньях цепи

X i

,

Yi

(i 2..n)

выражаются

через проекции усилий в первом звене цепи. В результате уравнения (8) можно рассматривать как систему 2-х нелинейных уравнений относительно неизвестных X1 , Y1 .

Далее необходимо рассмотреть работу нити, в которой поддерживается постоянным

усилие в первом звене цепи за счет регулирования длины

L

выпускаемой в пролет части нити

[2].

 

 

Введем обозначения:

L0

- длина заготовки всей нити,

L

- длина выпускаемой части

нити,

P

 

0

 

q

q

- погонный вес нити, n - число звеньев цепи,

l

 

 

L

- длина звена цепи,

i

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

- вес нити,

q (L

L)

- вес участка нити между блоком и грузом.

0

0

 

Продольная сила в первом звене цепи равна

P

- вес груза,

 

 

N

 

X

2

Y

2

P

q (L

L) .

 

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

0

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

X

2

Y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

P

1

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

1

,

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

- суммарный вес груза и заготовки нити.

где P P q L

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате система искомых уравнений примет вид [ 2]:

(18)

(19)

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

X i (

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

) xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X i2 Yi2

 

 

 

i 1 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

L

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

) y

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1 n

Y (

 

 

2

Y

2

 

 

 

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

X

 

2

Y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

P

1

 

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В уравнениях (20) через параметр

xn

yn

,

,

(20)

обозначена податливость нити. жесткой нити.

При

1

EA

0

(21)

уравнения (20) описывают работу абсолютно

Так как L - длина выпускаемой части нити явно выражается через X1,Y1 , то напря-

женно-деформированное состояние нити полностью определяется из решения системы двух нелинейных уравнений. Численное решение системы (20) выполняется методом Ньютона.

В качестве примера, подтверждающего эффективность предложенного алгоритма, рассмотрим расчет гибкой нити, представляющей ламинарную модель упругого основания (рис. 3).

101

Рис. 3

Нить, представленную на рис. 3, можно рассматривать как модель упругого основания с двумя параметрами (одномерный случай) [3]. Совокупность пружин жесткостью с характеризует жесткость основания на сжатие, а параметр P характеризует жесткость основания на сдвиг. При этом неограниченная в обе стороны нить считается абсолютно жесткой.

В дальнейших расчетах дискретная модель нити представляется шарнирно стержневой цепью, состоящей из 100 звеньев. Нить считается абсолютно жесткой, поэтому параметр

податливости EA1

пролет нити равна L

На центральном жесткостей упругих

в уравнениях (20) полагается равным нулю. Длина выпускаемой в

5l . Длина нити между грузом и блоком равна 0,1 L .

участке длиной l

в узлах цепи расположены упругие связи. Вектор

связей задается в уравнениях (20) в виде списка

С

[0,..,0,C

40

,C

41

,..,C

60

 

 

 

,0,..0]

. Точка касания нити блока и точка закрепления нити рас-

положены на достаточном удалении

(2 l)

от нагруженной части основания.

Опишем этапы построения нитевой модели упругого основания.

1.Задаем приведенную жесткость упругих связей, величину постоянной нагрузки, q - погонный вес нити. Выполняем расчет нити с жестко закрепленными концами

(рис. 4) на постоянную нагрузку

q

пос . Определяем проекции продольной силы в

 

первом звене цепи:

X

1

- горизонтальная составляющая (распор) и

Y

 

1 - верти-

кальная составляющая.

 

Соответствующая форма нити показана на рис. 5 (кривая

1- красный цвет).

 

 

 

 

 

 

Рис. 4

2.Выполняем расчет нити с перекинутым через блок грузом (рис. 5). Длина нити между грузом и блоком равна 0,1 L . Величину груза задаем в долях к распору

P X

(в нашем случае 0,9 ). Расчет нити производим на постоянную

1

временную нагрузки

q

пос

q

вр

. Нагрузки распределены на участке длиной

 

 

 

 

 

Форма нити показана на рис. 5 (кривая 2 - розовый цвет).

и

l .

3. Задаем временную нагрузку интенсивностью qвр на участке 2l . Расчет нити выпол-

няем на нагрузку qпос qвр . Форма нити показана на рис. 5 (кривая 3- синий цвет).

102

Рассмотренная модель нити демонстрирует распределительную способность грунта. Усилие в начале нити поддерживается постоянным за счет изменения длины L выпускаемой в пролет части нити.

Отметим, что нитевую модель упругого основания с двумя параметрами можно строить и для нити конечной жесткости [4]. На первом этапе рассчитывается нить конечной жесткости длиной L с жестко закрепленными концами на постоянную нагрузку (см. рис. 4).

Определяется распор

этапе рассчитывается

Рис. 5

X

. Вычисляется абсолютное удлинение нити

1

нить длиной (L l) на нагрузку q

пос

q

 

 

 

l X1 L . На втором

EA

вр

. Задание длины нити

 

меньше длины пролета позволяет создать в нити предварительное натяжение, равное вели-

чине распора

X1

от постоянной нагрузки.

Нитевую модель упругого основания с тремя параметрами можно построить на основе дискретной модели жесткой нити [5]. Жесткая нить представляется шарнирно стержневой цепью с упругими вставками, моделирующими работу нити на изгиб. На первом этапе рассчитывается жесткая нить длиной L на постоянную нагрузку (см. рис. 4). Определяется рас-

пор

X1

. Вычисляется абсолютное удлинение нити l

X1 L

. На втором этапе рассчиты-

EA

вается жесткая нить длиной (L l) на нагрузку qпос qвр . Задание длины нити меньше длины пролета позволяет создать в нити предварительное натяжение, равное величине распора X1 от постоянной нагрузки. Таким образом, нитевая модель упругого основания харак-

103

теризуется тремя параметрами:

EA - жесткостью на растяжение, EJ - жесткостью на изгиб,

силой предварительного натяжения

X

1

(распором)

от постоянной нагрузки.

 

Библиографический список

1.Аверин А.Н. Уравнения гибкой нити/ А.Н. Аверин // Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: межвуз. сб. науч. тр. / ВИСИ. – Воронеж, 1992. – Вып. 1. – С. 117–121

2.Аверин А.Н. Расчет гибкой нити постоянного тяжения/. А.Н. Аверин, С.В. Ефрюшин // Технология текстильной промышленности. - № 5(371) - 2017. - С. 242-245

3.Перельмутер А.В. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа/ А.В. Перельмутер, В.И. Сливкер. - М.: Изд-во СКАД СОФТ, 2011. - 710 с.

4.Аверин А.Н. Конечный элемент гибкой нити / А.Н. Аверин// Современные методы статического и динамического расчета сооружений и конструкций: межвуз. сб. науч. тр. / ВИСИ. – Воронеж, 2002. - С. 34-38.

5.Аверин А.Н. Вариант уравнений жесткой нити / А.Н. Аверин// Методы и алгоритмы расчета сооружений и конструкций: межвуз. сб. науч. тр. - Воронеж, 1990. - С. 160-166.

References

1.Averin A.N. Flexible thread equation. Modern methods of static and dynamic design of buildings and structures: enter - inst. scientific collection of works. / VISI. – Voronezh, 1992.

– Issue 1. – 117–121p.

2.Averin A.N., Efryushin S.V. Flexible thread of constant tension calculation. Textile industry technology. - № 5(371) - 2017. - 242-245p.

3.Perelmuter A.V., Slivker V.I. Design models of structures and their analysis possibility, В.И. М.: Pub. House SKAD SOFT, 2011. - 710 p.

4.Averin A.N. Finite element of flexible thread. Modern methods of static and dynamic design of buildings and structures: enter - inst. scientific collection of works. VISI. – Voronezh, 2002. - 34-38 p.

5.Averin A.N. Variant of rigid thread equation. Methods and algorithms of structures and constructions design. enter - inst. Scientific collection of works. - Voronezh, 1990. . - Pp. 160166.

104

Смотрите также:

05_Холера
10.4. Исследование регистров
1112
12
1285
1560
1568
1604248853606027
1673
17