Рис. 145.
Схема уплотнения сетки конечных элементов в зоне подрабатываемого сооружения:
1 — фундамент; |
2 — слой скольжения с шарнир |
ными опорными |
элементами; 3 — кривизна; О д |
еяла трения; Е — боковое давление грунта
среды методом конечных элементов. Для каждого отдельного элемента при помощи матриц жесткости [уравнения (75) и (76)] и выбранной функции траек торий перемещений точек [уравнение (86)] устанавливается связь между си лами, приложенными в узловых точках, и соответствующими перемещениями этих точек. При этом, пользуясь фактическими размерами и характеристиками слоистого породного массива, можно наиболее простым способом при помощи уравнения (76) описать состояние равновесия сил и перемещений упругой системы. При этом нет необходимости знать величину полного горизонталь ного сдвижения и вводить ее в процесс вычислений, так как точное значение горизонтального сдвижения получится само собой, если выбранные величины конвергенции в очистной выработке согласуются с их действительными зна чениями для данного породного массива. Определенное методом конечных элементов максимальное горизонтальное сдвижение над границей очистной выработки также будет приблизительно равным половине оседания централь ной точки мульды (см. рис. 133).
Метод конечных элементов позволяет сделать еще один шаг вперед в ана лизе процесса сдвижения, включив в вычисления характеристики исследуемого объекта (рис. 145). В рассматриваемом случае для части сетки элементов, непосредственно прилегающей к подрабатываемому сооружению (в границах, оконтуренных точками 1 —12), расчет производится повторно, причем полу ченные при первом расчете перемещения точек 1—12 с учетом элементов фун дамента сооружения используются в качестве граничных условий для повтор ного расчета, в котором искомыми величинами являются деформации и нап ряжения, возникающие в подошве и основании фундамента под действием давле ния грунта и кривизны земной поверхности. Учитывая сложность решения задачи для пространственной модели, условия распределения нагрузок рассма триваются только для плоской задачи, т. е. для нескольких вертикальных сече ний. Даже часто применяемые в крупных сооружениях швы скольжения могут быть представлены в расчетной модели при помощи шарнирных опорных эле ментов или в виде очень тонкого слоя слабых (податливых) элементов. В тех местах модели, где деформации в элементах достигают предела прочности материала или превышают этот предел, можно ожидать возникновения в фун даменте трещин. Тем самым методом конечных элементов оказывается возмож ным решить хотя бы качественно вопрос о том, как воздействуют па сооруже
ние |
сдвижения земной поверхности и |
обусловленные ими силы. |
||
Д л я п л а с т и ч н о й |
с р е д ы , |
с |
учетом приведенных в подразделе |
|
3.3.3 |
трех условий равновесия |
[уравнение |
(59)], используя производную век- |
|
тора перемещений ф [уравнение (231)], получим формулу для расчета горизон тальных сдвижений
где х г = х — И2, х 2 = х + Z/2, I — длина очистной выработки и х — теку щая координата точки земной поверхности, для которой производится расчет (см. рис. 129). Характеристика породного массива со описывается уравнением (232). Таким образом, здесь, подобно тому, как это делалось для упругой среды при помощи уравнения (288), связь между оседаниями и горизонтальными сдвижениями выражена через условие равновесия [47]. Формулу для расчета горизонтальных сдвижений при наклонном залегании пласта (см. рис. 130) можно получить, если в выражении (294) коэффициенты х г и х 2 заменить соот
ветственно отношениями X ^H-L и х 21Н2, гиперболические аргументы
и) заменить выражениями со (х1 — Я2) : Я х и со (х2 — К2) : Я 2, а отно
шение Я/со заменить отношением 1/со, где Х1 = ЯЯХ, Х2 = ХЯ2.
9.6.
Наблюдения за горизонтальными сдвижениями при опытах на моделях породного массива
В связи с упоминавшимися выше трудностями измерений и анализа горизон тальных сдвижений земной поверхности многие исследователи уже давно стали обращаться к экспериментам на моделях породного массива, выполнен ных из пластилина [282], желатина [173, 380], гипса и подобных ему эквива лентных материалов [153, 315], резины и стальных листов [208, 210] или пенопласта [140], в которых очистная выработка имитировалась вырезанной в модели щелью. Большими преимуществами такого метода исследований являются легкость внесения всякого ряда изменений в модель в процессе проведения опыта, а также возможность одновременного наблюдения за боль шим числом точек от очистной выработки до земной поверхности, что дает возможность статистически и экспериментально исследовать характер влияния различных геометрических и механических факторов на процесс развития сдвижений. Следует, однако, заметить, что не всегда оказывается возможным достаточно точно воспроизвести на модели фактический ход процесса, обе спечить условия механического подобия прочностных свойств материала (со противление сжатию, растяжению, сдвигу) и его упругих характеристик (модуль упругости, коэффициент Пуассона), а также гравитационных сил
исил трения и выполнить модель требуемой масштабом величины (например,
вотношении мощности пласта и пород покрывающей толщи).
Масштаб модели может быть определен на основе теории подобия или основных уравнений теории упругости для условий строго статического или более строгого подобия модели (М ) и натуры (Я) [83]. Это означает, например,
что при строгом соблюдении статического подобия для породного слоя (балки) длиной I, прогнувшегося на величину W , при W v = lv будет иметь место соот ношение
|
ov = Ev, |
(295) |
где |
v = MIH представляет собой соотношение размеров |
модели и натуры. |
|
При одноосном подобии для линий прогиба в модели должно удовлетво |
|
ряться условие |
|
|
|
W 0 = FvlUZlEZ1, |
(296) |
где |
Jv — момент инерции площади. |
|
|^ч< |
Во многих случаях бывает достаточно, не учитывая прочностных свойств |
|
материала, обойтись для масштабирования размеров и деформаций модели
упрощенным |
соотношением |
|
|
|
|
|
|
М = pv/EvJ |
|
|
|
|
|
(297) |
|
т. е. отношением |
плотности |
(например, для |
материала |
мольтопрен |
р м = |
||
0,03 г/см3, а |
для |
горных пород р„ |
= 2,5 г/см3) к модулю упругости |
(Ем = |
|||
= 8,77 Н/см2, ЕП= 900 000 Н/см2). |
модели из |
пенопласта |
составляет прибли |
||||
Масштабное |
соотношение |
для |
|||||
зительно 1 |
1200. |
|
|
|
|
|
|
При опытах на моделях подрабатываемого породного массива, выполнен ных из желатина, соотношение оседаний и горизонтальных сдвижений было получено из определенных экспериментально изолиний равных пространствен ных перемещений v, которые могут быть представлены в виде семейства пара бол, исходящих из точки, соответствующей границе очистной выработки (173]. Как показано на рис. 146, линейный отрезок As на земной поверхности (между точками 1 ж 2) после оседания принимает наклонное положение 1— 2' него длина (между параболическими изолиниями) возрастает на величину Ъ.
Из подобия |
двух заштрихованных треугольников на рис. 146 следует, что |
|||
///2 |
^ |
Ai;z |
(298) |
|
У |
= |
Ь • |
||
Av'z /As и деформации es = Ъ: As это соотношение |
||||
При |
наклоне v’z = |
|||
может быть |
переписано |
в виде |
||
|
|
|
(299) |
|
Если в это выражение вместо наклона vf подставить зпачениo'dvjdy, выведен ное из полученной экспериментально кривой оседания, а затем это выраже ние проинтегрировать по половине длины мульды сдвижения, то получим формулы для расчета горизонтальных сдвижений:
v x y п = 0,346аМ tg б; |
|
(300) |
vx = аМ tg 6 [о,346 - ( ” th 2,1 |
lnch2tt ^"j |
(301) |
2 |
4 |
|
болической траектории перемещения [173]
Рис. 147.
Направления векторов сдвижения, полученные при экспериментах на модели из пенопласта, п типовые кривые оседаний и горизонтальных сдвижений для случая, еслп площадь полной подработки отрабатывается полосами [415]
где п = и 6 = 90° — у, с началом координат в точке перегиба кривой
оседаний (у = 0). Входящие в выражение (301) гиперболические функции (если б = 45°) образуются из отрезков у : HI2 над касательными к параболам, характеризующими направление сдвижения точек земной поверхности и пере секающимися в точке 3 над границей очистной выработки.
Недостаток данных натурных наблюдений в известной мере восполняет
результат исследований на модели длиной 2 м и площадью |
сечения около |
50 X 50 см, выполненной из большого числа слоев пенопласта |
(мольтопрена), |
в которой проведение очистной выработки имитировалось удалением заложен ных в модель стержней толщиной 2,8 мм [140]. Выполненные при помощи теодолита наблюдения за сдвижениями точек на передней стороне модели, представляющей собой продольный разрез породного массива по простиранию, проходящий через очистную выработку, показали, что в конечной стадии проДесса эти сдвижения направлены в сторону очистной выработки, причем у края модели векторы сдвижений почти горизонтальны, над границей очист ной выработки наклонены под углом около 45°, а над серединой очистной выработки идут отвесно (рис. 147).
В первом приближении направление векторов сдвижений хорошо опи сывается круговой функцией
(302)
где [х — угол, составленный вектором с вертикалью, и i = rlR — координата точки, выраженная отношением расстояния г к радиусу площади полной под работки.
Если известно оседание
(303)
то, используя уравнение (237), можно получить выражение для горизонталь ного сдвижения точки земной поверхности
(304)
в зависимости от положения очистного забоя i при aM = 1 [415]. Если в вы ражении (303) принять несколько большее значение показателя степени, то кри вая оседаний может быть согласована с часто наблюдающейся в последнее время в различных горнопромышленных районах воронкообразной формой мульды сдвижения. Так, например, при показателе, равном 3, оседание над границей очистной выработки составит только 0,35аМ вместо обычного значе ния 0,50 аМ [417]. Такая кривая горизонтальных сдвижений (так называемая типовая кривая сдвижений), получающаяся при выемке площади полной подработки полосами при длине фронта очистных работ не менее 27?, симме трична относительно оси я /2. Что касается отношения vxyu vz п, то исследо вания на модели показали, что его значения могут изменяться в широких пределах (от 0,1 до 0,37) в зависимости от глубины разработки и трения по меж слоевым контактам. При практическом применении полученного при опытах на моделях уравнения (304) используются табличные значения кх для прямо угольного фронта очистных работ [415]. Таким образом, эксперименты на мо делях показали, что угол р,, характеризующий направление векторов сдвиже ния, может, в соответствии с уравнением (302), принимать любые значения (от 0 до 90°), в то время как при расчете горизонтальных сдвижений по методу центров тяжести этот угол у края мульды равен граничному углу у (см. рис. 147).
Другие исследования, проводившиеся на пластине из пенопласта площадью около 1 м2, моделировавшей не разрез породного массива, а мульду сдвижения, образующуюся в верхних породных слоях, имели целью получение новых данных о максимальных горизонтальных сдвижениях [439]. Разработанный для этих исследований стенд представлял собой в основном систему регулируе мых по высоте опорных элементов, позволяющих произвольно изменять форму мульды оседания, покрытую слоем резины, имитировавшим поверхность пород карбона, на котором укладывались слои пенопласта, моделировавшие верхние слои породного массива. Сдвижения точек поверхности модели, происходившие