241
горизонтальное сдвижение вычисляют из наклона, измеренного в определенном направлении, пользуясь зависимостью
vx = kv'z. |
(275) |
Коэффициент пропорциональности к, зависящий от радиуса площади полной
подработки и для Рурской |
области ФРГ имеющий величину |
Л = 0,033Д[т]1 |
(276) |
преобразует величину наклона земной поверхности (мм/м) в соответствующее значение горизонтального сдвижения (см) для данного горнопромышленного
района. Таким |
образом, |
например, при 7? = 500 м и глубине |
разработки |
700 м наклону |
в 1 мм/м |
будет соответствовать горизонтальное |
сдвижение |
точки, равное 16,6 см. Наклон в данном месте мульды сдвижения может быть определен или по оседанию двух соседних точек земной поверхности при по мощи уравнения (124) и рис. 137, или же, не прибегая к измерению оседаний, непосредственно при помощи интеграционной сетки для определения накло нов. Такие сетки v'z разработаны для функций распределения, описываемых уравнениями (157) и (159). Так, например, путем дифференцирования урав нения (157) получается выражение (263), описывающее распределение соста вляющих наклонов, из которого, аналогично выражению (269), получаем
объемы |
половины |
тела |
влияния, характеризующие |
наклоны, |
|
|
R |
|
|
К г = |
= - 8 |
j |
г2 (7?2 - г2) dr = У (5i3 - 3i5) |
(277) |
|
|
О |
|
|
для разбивки на зоны с радиусами, равными 0,457?, 0,597?, 0,707? 0,817? и 1,007?. Разбивка на секторы осуществляется в соответствии с функцией синуса.
В отличие от этого, из уравнения (159) выводится тело влияния для на клонов с половиной объема
я /2 |
г/ |
°° |
„ 2 П- 1 |
K z=’ j |
^ r2e- 0-5r* cos Ф dtpdr — 2r\ ^ ( —1)»-1 |
(278) |
|
- J t / 2 |
0 |
n _ 1 |
2“-1 (2и+1) (п -1 ) ! ’ |
|
|||
с зональными радиусами 0,ЗЗД, 0,45Д, 0,577?, 0,717? и 17?, которое таким образом, имеет меныпие внутренние зоны, чем построенное по уравнению
(277). Однако, если сравнить сетку наклонов, построенную по уравнению
(278), с сеткой горизонтальных сдвижений, построенной по уравнению (270), то оказывается, что они почти полностью совпадают (см. табл. 12). Вычислен
ные с помощью сетки наклонов частные значения коэффициентов влияния е достаточно умножить па величину полного оседания аМ и па коэффициент преобразования к [уравнение (275)1, чтобы получить горизонтальное сдви жение в рассматриваемой точке Р земной поверхности.
В применяемой на предприятиях акционерного общества «Рурколе» про грамме вычислений, разработанной для горизонтального залегания пластаг наклоны вычисляются для обоих направлений dvz!dx и dvjdy и горизонтальные сдвижения принимаются пропорциональными наклонам [253]. Дифференци рование функции оседания кг в сочетании с уравнением (170) дает составля ющую наклона
- g . = с [* exp ( - |
tfe] exp ( - ■£■) dy. |
(279) |
С другой стороны, в соответствии с уравнением (181), наклон земной по верхности в точке JP, обусловленный выемкой трапециевидного участка очи стной выработки, по формуле Симпсона составит
|
Уж |
Уг г |
* |
(280) |
'z тр |
= ^ x t dy = ^ |
J z e x p ( |
||
|
Ух |
Ух L0 |
|
|
После решения интеграла в квадратных скобках для наклона в направле |
||||
нии оси |
х получится |
выражение |
|
|
|
|
( i _ ехр ( - т - |
) ) ехр ( - w |
) ] ^ - |
<281> |
|
Ух |
|
|
|
|
|
|
Таким же образом, как при выводе уравнения (183), получается выраже |
||||||
ние для определения |
наклона в |
направлении |
оси у |
|
||
Ух |
Г х |
|
|
|
|
|
^ тр = j |
j |
ехр ( - |
dx) ] |
у exp ( — |
dy |
|
Ух |
Lo |
♦ ( f f r ) ( - ш)У>- |
|
|||
- 1[4^ |
(282) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Значения наклонов должны быть получены для всех трапециевидных уча стков площади очистной выработки, а затем их суммарное значение при по мощи коэффициента преобразования 0,033Я по уравнению (276) преобразуется в величину горизонтального сдвижения. При помощи найденных этим способом составляющих горизонтального сдвижения их и vy можно определить горизон тальные сдвижения по любому направлению.
Пользуясь неизменным значением коэффициента к в уравнении (276), нельзя добиться одинаково хороших результатов пересчета наклонов в гори зонтальные сдвижения во всех частях мульды оседания. Опыт показывает, что в краевой зоне мульды векторы сдвижения точек земной поверхности напра влены почти горизонтально, так что наклоны здесь весьма малы и вычисленные значения горизонтальных сдвижений получаются заниженными.
То, что между наклонами и горизонтальными сдвижениями нет непо средственной механической взаимосвязи, можно было видеть еще из уравнения
Рис. 144.
Зависимость горизонтального укорочения vx от резка I с наклоном на угол а от разности оседа ний Д Uz
(72) и рис. 144 (см. подраздел 3.34). Несмотря на то, что горизонтальные деформации отрезка длиной I должны быть тем больше, чем больше его наклон (рис. 144), его укорочение
vх |
(283) |
при разности оседаний концов отрезка длиной 1 м, равной Ду2 = 1 мм, со ставит всего только 1/2000 мм. Таким образом, геометрическими зависимо стями, возникающими при наклоне прямолинейного отрезка, нельзя объяснить ни величину, ни направление горизонтального сдвижения. В действительности пропорциональная зависимость между горизонтальными сдвижениями и на клонами объясняется лишь сходством характера изменения этих параметров, связанным с тем, что точка перемены знака кривизны и местоположение мак симума кривой наклонов (над границей очистной выработки) совпадают (см. рис. 84) и, следовательно, в направлении от края мульды к границе выра ботки (в области кривизны выпуклости) горизонтальные сдвижения возра стают, а дальше (в области кривизны вогнутости) уменьшаются, падая в центре мульды до нуля.
9.5.
Методы расчета горизонтальных сдвижений, основанные на теоретических моделях горного массива (упругая и пластичная модели)
Так же как и оседания, горизонтальные составляющие сдвижения точки зем ной поверхности могут быть выведены, исходя из допущения, что породный массив деформируется подобно стохастической, упругой или пластической среде.
Если справедливое для с т о х а с т и ч е с к о й с р е д ы уравнение (73), описывающее перемещение точки и (г) в пределах элементарной мульды, ввести в основное уравнение горизонтальных сдвижений (269), то для поло вины объема тела влияния горизонтальных сдвижений получится выражение
К х:, = 2 f ru (r)dr= |
f r2 ехР ( - |jr) dr• |
О |
О |
Чтобы по этому выражению вычислить зональные радиусы интеграцион ной сетки, необходимо преобразовать интегральное выражение следующим образом:
в |
2 |
_ Q |
|
§ |
г2exp ( — 7 ф ) ^ = -4ф/ф J ехр( — q2)dq - |
|
|
О |
|
О |
|
— Q exp( — <?2) = 4ф1/(р |
■»])(<?), |
(285) |
|
так что окажется возможным использовать для решения табулированные значения интегралов вероятностной функции Гаусса
Q
J exp (— g2)dq,
О
При этом исходное выражение (284) примет вид
* " = ^ |
7 Г ' , ’ № ) |
( 2 8 6 ) |
Значения функции ф для аргумента Q, изменяющегося от 0 до 2, имеются |
||
в таблицах |
[36]. При помощи структурных |
функций В и ср по уравнениям |
(68) находятся окончательно для граничного угла, равного 45°, следующие
значения зональных |
радиусов: r d = |
0,4Д, г2 = |
0,55Д, r3 = 0,68i?, г4 = |
|
= 0,85Д |
и г5 = 1,0(Ш (см. рис. 107). |
в у п р у г о й с р е д е , |
||
Для |
радиальных |
горизонтальных |
сдвижений |
|
вызванных действием создаваемой элементом очистной выработки сосредото ченной вертикальной силы F (см. рис. 41), направленные от центра к пери ферии горизонтальные сдвижения точек породного массива на горизонте точки приложения силы (z = с) могут быть получены с помощью уравнения Миндлина (53) в соответствии с рис. 23. Следовательно, сила F вытесняет окру жающие пространственные элементы вниз и в стороны. На поверхности полу
пространства, |
где |
z = 0 и i?! = R 2 = R = ]/rz + с2, уравнение (53) упро |
|
щается, |
принимая |
вид |
|
_ |
Fr |
сг |
(287) |
и ° ~ |
|
|
|
|
|
|
|
причем радиальные сдвижения направлены внутрь, т. е. так же, как и в мульде сдвижения (см. рис. 41). Поскольку эти противоположные направления сдви жений на горизонтах z = с и z = 0 сильно затрудняют вывод искомой функ ции распределения при помощи уравнения (267), в качестве исходного урав нения и в качестве теоретического соотношения между оседаниями и горизон тальными сдвижениями принимается уравнение равновесия для осесимметрич ной задачи теории упругости
Для поверхности, на которой не действуют внешние силы, т = 0 и, следо вательно, условие равновесия принимает вид
dw |
ди |
дг |
дъ |
Из этого уравнения следует, что для того, чтобы поверхность упругой среды на ходилась в равновесии, необходимо, чтобы от любой точки поверхности оседания возрастали в радиальном направлении в такой же степени, в какой происходит уменьшение горизонтальных сдвижений с глубиной, считая от этой же точки.
Используя уравнение (228) при А2 = |
20 и |
принимая # = |/а2г2 + Я 2, по |
|||
лучим |
|
|
|
|
|
ди) |
. ( |
№г |
За2гН2 \ |
|
/о п т |
I T = |
const v ~ |
I P ----------w ~ ) |
|
(290> |
|
После ряда вычислительных операций приходим к выражению функции |
|||||
распределения для |
горизонтальных сдвижений |
||||
и = — const |
20Hr |
|
|
(291) |
|
|
|
|
|||
|
/2 0 г 2 + Я23 |
|
|
||
В сочетании с уравнением (269) |
после |
интегрирования получим |
|||
vxy- |
20# j |
(1/ 20ЙГртг*)» dr’ |
|
(292> |
|
откуда способом последовательных приближений |
для |
граничного угла, рав |
||
ного |
54°, получим следующие зональные радиусы интеграционной сетки: |
|||
г* = |
0,33#, |
г2 = 0,49#, г3 = 0,63#, г4 = 0,8# |
и |
г5 = 1#. |
|
Из табл. |
10 можно видеть, что интеграционная сетка для расчета горизон |
||
тальных сдвижений, построенная на основе законов деформирования упругой среды, хорошо согласуется с сеткой, полученной из выражений для кривизны земной поверхности по методу Бейера. При таком моделировании упругой средой заслуживает особого внимания то обстоятельство, что из объемов тел влияния для оседаний и горизонтальных сдвижений по уравнениям (229)
и(284) может быть вычислено отношение
vxyJ v 2п = 0,44 |
(293) |
для граничного угла, равного 55°, которое хорошо согласуется с наблюда ющимися в Рурской области ФРГ составляющими сдвижения, а для гранич ного угла, равного 45°, это соотношение лишь незначительно меньше, соста вляя 0,4.
Если учесть, какой большой объем вычислений способом последователь ных приближений нужно выполнить, чтобы при описанном моделировании породного массива упругой средой получить данные, необходимые для построе ния интеграционной сетки для расчета горизонтальных сдвижений, то станет ясно, насколько более прогрессивным является расчет деформаций упругой