Ч Т |
CLA |
/
О 0,Z О1* 0,6 0,6 с=% - 20% +J0%
Рис. 139.
Построение интеграционной сетки для расчета горизонтальных сдвижений:
1 — п о Б ейеру; 2 — по П ерцу; з — функция распределения Кху по Бейеру
выражение функции горизонтальных сдвижений1 для бесконечно малых приращений этой функции:
kx = c cos2 £ tg £ d£ = с cos £ sin £ d£ = c sin 2£, |
(251) |
а также выведенную для плоскости разреза интегральную функцию для раз бивки интегральной сетки на зоны [85, 318], имеющую вид
(252)
Если захотим при помощи построенной таким образом интеграционной сетки определить горизонтальное сдвижение в некотором заданном направле нии, например, в положительном направлении оси х (см. рис. 139), и обозна чим через б угол между этим направлением и направлением главного сечения очистной выработки (для элемента выработки, лежащего в стороне от главного сечения), то получим:
dvx = dvxy cos б d8; |
(253) |
vx = vxy sin 6, |
(254) |
т. е. выражение для составляющих горизонтального сдвижения в заданном направлении, обусловленного влиянием элемента очистной выработки, лежа щего в стороне от ее главного сечения.
Таким образом, зональные кольца для расчета горизонтальных сдвижений в заданном направлении должны быть разбиты по синусоидальной зависимости
1 Если функция горизонтальных сдвижений выводится для одного из двух главных сечений площади полной выработки (х или у), можно вместо vxyy К хуу vxyn писать гя, К х,
vx п или vyy К у, иу п.
на с е к т о р ы |
равного влияния. Для разбивки квадрата |
на два или три |
|||||
сектора вычисляют следующие углы секторов, считая от оси х: |
|
|
|||||
sin б = |
1/2 или sin б = 1/3; 2/3, |
|
|
|
|
||
6 = 30° |
или |
б = |
19° 25'; 41° 45'. |
|
|
|
(255) |
Обычно площадь полной подработки подразделяют на пять кольцевых |
|||||||
зон и восемь секторов, т. е. так же, как и при расчете оседаний. |
|
рис. |
|||||
По сравнению с интеграционной сеткой для расчета оседаний (см. |
|||||||
135) у сетки для расчета горизонтальных сдвижений внутренняя зона |
более |
||||||
широкая, |
а третья (средняя) — более узкая (см. рис. |
139). |
Горизонтальное |
||||
сдвижение достигает наибольшего значения, равного |
ихуП, |
уже |
при выемке |
||||
половины |
площади полной выработки, и дальнейшая отработка |
ее второй |
|||||
половины (—х) не увеличивает, а уменьшает горизонтальное сдвижение |
точки |
||||||
Р земной поверхности. При этом каждой из 20 ячеек в пределах одной |
из по |
||||||
ловин площади полной подработки соответствует коэффициент влияния, |
рав |
||||||
ный 100 : 20 = |
5% |
vxyn. |
|
|
|
|
|
Для расчета вычерченная на кальке интеграционная сетка накладывается на план горных работ так, чтобы ее центр совместился с точкой Р, для которой производится расчет, и поворачивается так, чтобы стрелка, указывающая положительное направление оси я, была ориентирована по наблюдательной линии (трассе дороги или оси подрабатываемого сооружения). Чтобы опре делить сдвижение по этому направлению, нужно подсчитать коэффициенты влияния для каждой половины сетки раздельно, а затем сложить их с учетом знаков. Произведение суммы положительных и отрицательных коэффициентов влияния на полное горизонтальное сдвижение даст искомое сдвижение точки Р
в направлении оси х: |
|
± и х = ± е и хуп. |
(256) |
Так, например, для показанной на рис. 139 заштрихованной площади очистной выработки коэффициент влияния на центральную точку Р земной поверхности
е = + 3 0% - 2 0 % = + 10%.
Если из данных наблюдений полное горизонтальное сдвижение при вы емке пласта мощностью 2 м с обрушением кровли равно 80 см, т. е. около 45% полного оседания, то сдвижение точки в направлении оси х составит
vx = + 0,1 •80 = 8 см.
9 .3 .2 .
Зависимость горизонтальных сдвижений от искривления земной поверхности
Горизонтальное сдвижение земной поверхности может быть определено как функция кривизны верхнего породного слоя, если рассматривать его деформи рование как изгиб стержня [24]. В верхней части показанного на рис. 140
Рис. 140.
К выводу формул для расчета деформаций п переме щений точек изогпутой балки с помощью теоремы Бернулли
I I
мульдообразно деформированного стержня имеют место сжимающие напряже ния, а в нижней — растягивающие. Между этими зонами сжатия и растяжения находится нейтральное волокно, в котором напряжения и деформации отсут ствуют. Если в точках а и Ънейтрального волокна построить нормали к нему,
пересекающиеся в точке О, то отрезки аО и ЪО будут представлять собой ра диус кривизны р2. До искривления стержня эти нормали были параллельны друг другу и проходили через точки 1 ж2 поверхности. Принимая в соответ ствии с т е о р е м о й Б е р н у л л и , что сечения стержня, бывшие до де формации вертикальными, после изгиба стержня остаются плоскими и пер пендикулярными к нейтральной линии, можно непосредственно из рис. 140 видеть, что в результате деформации расстояние между точками 1 ж2 умень шилось, став равным Г —2\ причем укорочение можно считать приблизительно равным сумме отрезков V —3 ж2' —4. Это означает, что горизонтальное смеще ние точек 1 ж2 в положение 1' ж2’ равно
(257)
как это следует из соотношения сторон в подобных секторах ОтЪ ж Ъ2'4. При постоянной кривизне, равной v"z = 1/р, деформация сжатия поверхности составит
— е, = vx/l = dv |
(258) |
При переменной кривизне vz упругой поверхностной зоны горизонталь ное сдвижение точки Р ± в мульде сдвижения (рис. 141) может быть определено непрерывным суммированием бесконечно малых деформаций es от края мульды (х = 0) до точки P i (х), т. е.952
V |
(259) |
Горизонтальное сдвижение по оси х , выведенное из кривизны элементарных мульд и мощ ности изгибающего слоя у точки Р в центре мульды сдвижения:
1 — элементарные мульды оседания; 2 — нейтральная линия; з — цилиндрическое сечение
если известно соответствующее расстояние d земной поверхности от нейтраль ной линии, которое у края мульды равно нулю, а в ее середине достигав^ мак
симального |
значения. |
^ ____ j |
Чтобы |
иметь возможность этим способом определить |
горизонтальное |
сдвижение точки Р земной поверхности при помощи интеграционной;сетки непосредственно, не прибегая к построению типовых кривых профиля мульды сдвижения, нужно сначала определить дифференциальные составляющие
действующих на точку Р i элементов площади очистной |
выработки, создающие |
||||
искривление |
поверхности |
в точке |
Произведение |
этого |
дифференциала |
кривизны dv2 |
на местную |
мощность |
изгибающего слоя d у |
точки Pi дает |
|
составляющую горизонтального сдвижения в исследуемом направлении х , создаваемой влиянием элемента очистной выработки в точке Р*,
кх = dv'zd. |
(260) |
Составляющие горизонтального сдвижения кх можно проинтегрировать по влияющей площади очистной выработки, так же как это делалось при рас чете оседаний. При этом необходимо иметь в виду, что составляющие резуль тирующей горизонтального сдвижения кху, обусловленные влиянием боковых элементов очистной выработки, участвуют в смещении по оси х только про порционально косинусу угла б и в обеих половинах очистной выработки имеют противоположные знаки.
При очень малой кривизне ее величина, как известно, может быть вы
числена по второй производной оседания |
|
|
Vz |
dx2 |
(261) |
|
|
|
Однако следует иметь в виду, что функция распределения, описываемая урав
нением |
(157) |
|
|
к = |
du2 |
^ ( Я * - 2 P V -+ /’*), |
(262) |
dx |
уже является первой производной оседания uz, т. е. дифференциалом оседания d vjd x1, или с математической точки зрения представляет собой величину наклона v'z, так что, дифференцируя выражение (262), получим дифференциал наклона
^ = - ! г ( - 4 Д 2г + 4г>Н |
г2), |
(263) |
содержащий составляющую кривизны dv'z, |
обусловленную |
влиянием лежа |
щего на оси х элемента площади очистной выработки и относящуюся к централь ной точке Р земной поверхности.
Выраженная уравнением (262) зависимость между наклоном и функцией распределения может быть получена также из рассмотрения рис. 103: при мыкающий к dA i второй элемент площади очистной выработки вызывает изме нения оседания (наклон) у центральной точки Р земной поверхности, величина которого определяется значением функции распределения йу2над новым эле ментом очистной выработки, что выражается в образовании соответствующей второй элементарной мульды оседания, расположенной эксцентренно по от ношению к точке Р на расстоянии от нее, равном dx. Поэтому площадь сечения колоколообразного тела влияния над прямолинейным фронтом очистных работ, показанная на рис. 114, может быть приравнена к величине наклона vz у точки Р земной поверхности при соответствующем положении очистного забоя [290].
1 См. уравнение (149), в котором dA =» d:г*1 и vz п = 1.