трудностями, а поэтому в последние годы стали придавать большое значение исследованию горизонтальных составляющих сдвижения путем экспериментов на моделях породного массива.
9.2.
Метод центров тяжести
Из рис. 83 можно видеть, что между вертикальной и горизонтальной соста вляющими сдвижения существует соотношение
V xy = Vz tg |Я. |
(237) |
Показанная на рис. 134 точка 3 земной поверхности, находящаяся под влиянием заключенной внутри оконтуренного граничным углом конуса площади разрабатываемого пласта, притягивается к центру тяжести выемочного уча стка Z 8 [170]. Таким образом, если бы было известно положение соответству ющего данной точке земной поверхности Р, (х , у) центра тяжести Z*, то можно было бы по его координатам, глубине разработки Н и вычисленному любым способом оседанию иг определить при помощи уравнения (237) результирующее горизонтальное смещение vxy, связанное с составляющими горизонтального смещения vx и vy (см. рис. 83) соотношениями
vx = vxy cos v и Vy = vxy sin v. |
(238) |
При решении задач о сдвижении горных пород систему координат обычно располагают так, чтобы ось х совпадала с направлением простирания пород ных слоев и с направлением подвигания очистных работ, а ось у — с напра влением падения слоев. Если при этом, кроме того, поместить начало коор динат над центром тяжести очистной выработки, чтобы пересечение осей ко ординат совместилось в плане с точкой пересечения диаметральных сечений очистной выработки, то значения vxy, для всех точек профиля мульды, а также значения vy для точек оси х и vx для точек оси у будут равны нулю (см. рис. 98 и 106).
Практически расчет горизонтальных сдвижений на основе теории центра тяжести происходит таким образом, что одновременно с определением оседа ний находится положение центров тяжести очистной выработки для всех коль цевых секторов, примененной при расчете интеграционной сетки [389]. Гори зонтальные сдвижения по направлениям координатных осей системы, центр которой совпадает с центром сетки, будут пропорциональны координатам х и у соответствующего центра тяжести ячейки интеграционной сетки (рис. 135), т. е.
vy :v x = y : x, |
(230) |
Если горизонтальное расстояние центра тяжести Z от точки земной по верхности Р обозначить через Z, то будут иметь место соотношения
(2Щ
!\Х
Рис. 135.
Схема к расчету горизонтальных сдвижений методом центра тяжести очистных работ
Рис. 136.
К примеру расчета горизонтального сдвижения точки Р, выполненного методом центра тяжести
Если в уравнение |
(237) подставить tg р, = IIН и vz = |
0,01еаМ = ек (к = |
|
= 0,01аЛ/), то из уравнения (240) получим |
|
||
vy = V ^ |
и z>, = x - J |
(241) |
|
Поскольку уравнение (241) должно быть справедливым для всех ячеек |
|||
интеграционной сетки, то путем суммирования получим |
|
||
vxy = 4 |
/ 2 Й Ч |
2 К . |
(242) |
т. е. результирующую горизонтального сдвижения [231]. Вычисления по этому методу могут быть удобно выполнены при помощи специально разработанных формуляров [290].
В настоящее время высказываются сомнения в том, что можно разбивать площадь очистной выработки на произвольные части, определяющиеся инте грационной сеткой для расчета оседаний, и получить результирующую гори зонтального сдвижения суммированием отдельных сдвижений, вычисленных для этих частей [318], так как направление и величина горизонтальных сдви жений зависят именно от всей влияющей площади и от ее развития во времени. Если при произвольной разбивке площади очистной выработки суммирование сдвижений для точки, относительно которой отдельные участки расположены симметрично, и дает такое же значение сдвижения, как при расчете по всей площади (точка Р г на рис. 136), то при одностороннем расположении участков
а
Рис. 137.
Схема для определения коорди нат центра тяжести для кольце вого сектора (а) и вывода вели чин горизонтальных деформа ций (б)
относительно расчетной точки это уже не получается (точка Р на рис. 136). Пусть, для примера, горизонтальные сдвижения для точек Р на рис. 136, вычисленные по величинам оседаний, вызванных выемкой участков / , I I и I I I , будут равны соответственно 5,7,5 и 6,5 см. Расчет горизонтального сдвижения в точке Р , вызванного выемкой всей площади очистной выработки (для центра
тяжести II), даст величину vx = 100 см = 30 см. При расчете путем
суммирования сдвижений, вызванных выемкой отдельных участков, получится vx = 5,0 -f- 7,5 -f- 6,5 = 19 см.
Описанный метод центров тяжести применяется в Рурской области ФРГ для расчета горизонтальных сдвижений при помощи ЭВМ в случаях наклон ного и крутого залегания пластов [168]. Несмотря на приведенные выше со ображения против разбивки площади очистной выработки на участки, одина ково влияющие на оседание, следует иметь в виду, что при расчете горизон тальных сдвижений для условий крутого падения пласта без метода центров тяжести получаются еще большие ошибки и результаты будут еще менее на дежными, поскольку фактические максимальные значения сдвижений и их направление известны с недостаточной точностью. В программе вычислений используются центры тяжести, определенные для отдельных круговых секто ров с учетом их весов, вычисленных по соответствующим значениям оседаний, которые затем при помощи уравнения (242) приводятся к общему центру тяжести.
Центр тяжести кругового сектора (точка 1 на рис. 137) должен лежать на биссектрисе центрального угла этого сектора на расстоянии от центра сетки
2 |
sin Дф/2 |
(243) |
||
Г1~ Т Г |
Дср/2 |
• |
||
|
||||
Из рис. 137 можно видеть, что координаты центра тяжести могут быть |
||||
определены |
тригонометрически |
по формулам: |
||
xi — ri sin (ср + |
Лср/2); j |
|
||
У1 — Г1 cos (ср + Аф/2). I |
“ |
|||
Поскольку определение участков влияния производится относительно центра эллипса Z, а горизонтальные сдвижения определяются для расчетной точки Р, перед определением общего взвешенного центра тяжести G для всей площади очистной выработки в значения абсцисс центров тяжести отдельных участков должны быть введены поправки, равные аг (см. рис. 137). По уравне нию (237) окончательно получаются значения составляющих горизонтального сдвижения:
vx = vz-Н ±XGtg GC*
(245)
Ус
Н ± x Q tg а
Если вычислить горизонтальные сдвижения в четырех вспомогательных точках Р 2, Р 3 и Р4 (см. рис. 137), удаленных от точки Р на расстояние I, то можно определить относительные деформации растяжения и сжатия в точке Р. Если требуется найти сдвижения и деформации в каком-либо определенном направлении ср', система вспомогательных точек должна быть повернута на этот угол.
9.3.
Метод расчета горизонтальных сдвижений при помощи интеграционной сетки
Горизонтальные сдвижения земной поверхности могут быть вычислены при помощи функций распределения и интеграционных сеток, так же как это де лается при расчете оседаний. При этом воздействующая на точку Р земной поверхности площадь очистной выработки разбивается не на произвольные пасти, а на участки равного влияния, создающие одинаковые сдвижения. Таким образом, для площади полной подработки получается интеграционная сетка для расчета горизонтальных сдвижений, разбитая на кольцевые зоны и секторы. Если очистная выработка не достигает площади полной подработки, производится подсчет только тех ячеек сетки, которые покрывают отработан ные участки пласта, чтобы иметь возможность определить составляющие го ризонтального сдвижения в заданном направлении.
9.3.1.
Вывод параметров интеграционной сетки из формулы метода центров тяжести
Рассмотрим показанный на рис. |
138 узкий сектор Р ГВС, относящийся к точке |
Р площади полной подработки, |
который нужно разбить на кольцевые зоны, |
в равной степени влияющие на |
горизонтальное сдвижение точки Р. В этом |
секторе, вся площадь которого участвует в создании полного оседания проП0РЦионально величине ср/2я, на долю заштрихованного участка кольцевой зоны площадью
dA = сргdr |
(246) |
Р
Рис. 138.
Зоны равного влияния для ра счета горизонтальных сдвижений
[319]
приходится, в соответствии с уравнением (149), оседание [318]
dvz=r yaMrkz (г) dr. |
(247) |
При достаточно малом центральном угле <р можно принять, что центр |
|
тяжести I площади dA |
находится на оси х на расстоянии от Р г |
r = H tgjx, |
(248) |
так что обусловленная влиянием зональной площади dA часть горизонталь ного сдвижения точки Р составит, в соответствии с уравнением (237),
dvx = dvztg [x = - 5 ^ r2kz (r) dr. |
(249) |
Поскольку каждый заданный сектор dA (г) также участвует |
в создании |
полного оседания пропорционально ф/2я, можно вычислить долю общего горизонтального сдвижения точки Р , обусловленную влиянием сектора Р ГВС, интегрированием от х = 0 до х — Л, т. е.
(250)
0
Если подставить в это выражение вместо кг (г) функцию распределения, описываемую одним из уравнений (156)—(159), и построить интегральную кривую Кх (рис. 139), то из этого графика можно получить приведенные в табл. 10 радиусы для разбивки площади полной подработки на зоны равного влия ния подобно тому, как это делалось при построении интегральных сеток для расчета оседаний. Причем вследствие круговой симметрии и взаимной перпендикулярности главных сечений очистной выработки можно получить, использовав совместно уравнения (156) и (249) и подставив [i = £, следующее