^rmQi
lduj/dy)dy
Рис. 45. |
|
|
|
|
|
Схема к выводу структурной функции В (ъ) |
/ |
||||
с помощью |
коэффициента |
пропорциональ |
|||
ности |
/>• из |
условия постоянства |
объемов |
(dux /dx)dx |
|
(равенства |
площадей А г |
и Л 2), |
а также |
|
|
схема |
влияния элементарной выработки, профиль элементарной мульды оседания и гори |
||||
зонтальных сдвижений: |
элементарная мульда оседания; з — очистная выработк ; 4 — элемент объема |
||||
1 — земная поверхность; 2 |
|||||
очистной выработки |
|
|
|
||
Рис. |
46. |
|
|
|
|
К выводу уравнения непрерывности из деформаций элементарного объема очистной выра ботки и определению векторов бесконечно малого перемещения точки массива горных по род Р на расчетном горизонте z = h:
1 — расчетный горизонт; 2 — элемент объема очистной выработки
равной половине глубины разработки ((0,56#), если в формулы площадей
и А 2 подставить у*П1ах = 0,4аМ, иг = 0,5аМ и QR = # c tg 55°. Из условия постоянства объема следует, что величина В (z) должна возрастать не по ли нейному закону, а в соответствии с показательной функцией от z [40], при нимая на земной поверхности (z = Н) максимальное значение
|
в(Н ) = ~ J L — |
и Ф(Я) = _ ^ |
|
|
|
( 68) |
|
|
V 2л tg у |
К |
4л и |
|
|
|
|
по |
Г о р и з о н т а л ь н ы е |
с д в и ж е н и я точек массива |
горных |
пород |
|||
стохастической теории выводятся косвенным путем из у р а в н е н и я |
|||||||
н е п р е р ы в н о с т и , |
согласно которому |
объем |
породной |
частицы |
V = |
||
= |
dx dydz, имеющей форму |
прямоугольного |
параллелепипеда, |
в результате |
|||
деформации возрастает |
на величину dV (рис. |
46), |
если эта частица в верти |
||||
кальном направлении увеличится (уменьшится) на (dw/dz) dz, а в горизонталь
ном направлении, |
наоборот, |
уменьшится |
(увеличится) |
на |
и соответ |
ственно на |
ей/. Если, |
например, |
оседание w в |
области вертикального |
|
растяжения породной частицы возрастет в направлении книзу на (dw/dz) на единицу длины, то высота параллелепипеда dz увеличится на
Следовательно, объем частицы изменится на dxdy |
— произведение пло |
||||
щади основания |
параллелепипеда на изменение его высоты, или, поскольку |
||||
clx dy dz = |
F, на величину V (dw/dz). Поэтому для изменения размеров частицы |
||||
по всем трем |
осям координат получаем уравнение |
непрерывности |
|||
v e ^ + v ^ |
+ v ^ = dv |
(69> |
|||
Для несжимаемого породного массива (dV = 0) это уравнение поело |
|||||
сокращения на V приобретает вид |
|
||||
дих . |
диу . |
dw _ 0 |
(70) |
||
дх |
ду |
"F |
dz |
||
|
|||||
Это означает, что при увеличении или уменьшении размера породных частиц по вертикали неизбежно уменьшаются или увеличиваются их размеры по горизонтали, т. е. изменение величины оседания сопровождается изменением горизонтальных сдвижений, и наоборот.
В полярных координатах уравнение непрерывности имеет вид
1 |
д |
/ |
ч . |
dw |
п |
(71> |
-------- (и* |
г) -\—— |
= 0, |
||||
г |
Or |
v |
7 1 |
dz |
|
|
откуда радиальное перемещение и = / (г) точки Р масспва горных пород на горизонте z может быть определено относительно начала координат или относительно вынутого элементарного объема, если для величины dwldz воспользоваться основным стохастическим уравнением (65) и выполнить интегрирование [36]:
u(r) = - f i ( z ) i £ £ i . |
(72> |
Бесконечно малое перемещение и точки массива горных пород над эле ментом очистной выработки будет поэтому пропорционально бесконечно ма лому наклону. Значение dwldr может быть получено дифференцированием уравнения элементарной мульды (66) по г, так что ф у н к ц и я э л е м е н т а р н ы х с д в и ж е н и й для горизонта z = h будет иметь вид
u (r ) = аМВ8лф2 (Л)(Л) гехр |
( |
4 Ф (« )• |
(73) |
|
3.3.5.
Массив горных пород как среда, состоящая из конечных элементов
В основе нового «метода конечных элементов» лежит представление о сплош ной или дискретной упругой среде, состоящей из множества элементов, соеди няющихся друг с другом только в узловых точках, в которых и происходит взаимодействие элементов через возникающие в них напряжения и перемеще ния, так что от отдельных элементов можно перейти к напряженно-деформиро-
Рис. 48.
Стержневой элемент с узловыми точками! и 2, перемещающимися в положение!' и 2' под действием внешних сил
Рис. 47.
Разрез массива горных пород, разбитый на треугольные элементы:
I — земная поверхность; II — зона, прилегающая к земной поверхности; III — средняя зона; IV — основ ная кровля; V — пласт, закладка; VI — почва; VII — очистная выработка; VIII — зона опорного давле ния
ванному состоянию всего массива. Этим методом можно довольно просто рас считать нанряжеппо-деформированное состояние тел неправильной формы
инеоднородной структуры. Так, например, структура слоистого породного массива может быть представлена в виде напоминающей фахверковую кон струкцию системы плоских треугольников или пространственных тетраэдров (рис. 47), в которой узловыми точками являются точки пересечения линий раздела между элементами. Искомыми величинами являются перемещения и
иw узловых точек. Каждой зоне или слою массива приписывается некоторое определенное значение модуля упругости Е. Конечный характер такой системы позволяет рассчитать напряженно-деформированное состояние подработан ного породного массива с помощью линейных уравнений теории матриц, если для вычислений имеются вычислительные машины большой мощности с про
граммным |
управлением. |
' |
|
Для расчетов, связанных с процессом сдвижения горных пород, метод |
|||
конечных |
элементов может быть |
применен |
двумя путями [217]. |
1. |
В плоской структурной модели |
слоистого породного массива 1 (см. |
|
рис. 47) задаются вертикальные и горизонтальные составляющие сдвижений Wi и и£ в узловых точках непосредственной кровли, почвы и угольного пласта. Решение начинается с отыскания, в качестве промежуточного результата, усилий fi, возникающих в узловых точках вследствие вынужденных пере мещений этих точек 6 (и, w), после чего эти усилия объединяются в вектор
1 Пространственное решение для крупных объектов не представляется возможным даже при использовании современных ЭВМ большой мощности.
столбец {/}. В данном случае создается |
так |
называемая м о д е л ь |
с д в и - |
ж е и и й при заданном оседании элементов |
одного горизонта, для |
которой |
|
составляется матрица жесткости системы |
\S], т. е. состоящая из строк и столб |
||
цов вычислительная схема, обозначаемая условно в виде |
|
||
!/] = [£] {6}. |
|
|
(74) |
По вычисленным усилиям в узловых точках системы могут быть определены перемещения во всех остальных узловых точках при помощи обращенной матрицы жесткости
(б) = |
[S]"1{/)• |
(75) |
2. |
Заданный собственный вес |
отдельных элементов, действующий как |
вертикальная внешняя сила F, приложенная к верхней или нижней вершине элемента, складывается в модели с давлением от веса пород покрывающей толщи. Под действием нагрузки от собственного веса над вырезом модели, соответствующим очистной выработке, происходят смещения и деформации элементов, значения которых и являются искомыми в данной задаче. На го ризонте очистной выработки оседанию узловых точек противодействует реак ция закладки, возрастающая вместе с увеличением прогиба слоя пород непо средственной кровли. Для такой модели, так называемой м о д е л и н а г р у з о к , составляется матрица отпорной системы Н, при помощи которой по из вестным усилиям в узловых точках {/} могут быть получены искомые значения
перемещений {6 } |
во всех узловых точках: |
{6} -= [//]{/> - |
(76) |
Следовательно, Н является матрицей, обратной матрице S. Обе эти мат |
|
рицы описывают |
взаимосвязь между перемещениями и силами. |
О том, в какой степени математическая модель процесса сдвижений и при нятые при ее построении значения упругих характеристик соответствуют дей ствительности, для модели сдвижений можно судить по данным наблюдений за оседанием земной поверхности, а для модели нагрузок, кроме того, еще и по определенной ориентировочно линии прогиба непосредственной кровли путем сравнения с вычисленными величинами оседаний самого верхнего и са мого нижнего рядов элементов. Неупругая реакция закладки в модели сдви жений ые отражается.
Вычисление производится в четыре основных этапа.
1. В продольном или поперечном разрезе, проходящем через середину очистной выработки, структура плоского слоистого массива горных пород условно изображается в виде системы треугольных элементов. Поскольку напряжения и перемещения в пределах каждого элемента принимаются при мерно постоянными, сетка элементов в области высоких градиентов деформа ций, а именно в слоях пород основной кровли, должна быть достаточно гу стой, т. е. состоящей из элементов достаточно малых размеров.
2. Кинетические свойства элементов оцениваются при помощи матрицы жесткости. В программе для вычислений на ЭВМ матрицы жесткости и нагру-
зон элементов образуются численным описанием структуры (координаты, упругие характеристики, плотность); объединением элементарных матриц жесткости образуется матрица жесткости всей системы в целом.
3.Методом последовательных приближений (итераций) вычисляются переме щения узловых точек (сдвижения точек породного массива) с помощью вводимых по отдельности нагрузок, инверсией матрицы жесткости системы по формуле
(75)с последующей интерполяцией для точек, лежащих вне плоскости раз реза. При этом должны одновременно удовлетворяться три условия:
равновесие внутренних и внешних сил в узловых точках; совместность деформаций элементов на их контуре;
соблюдение зависимости внутренних сил и деформаций каждого элемента от его формы и характеристик материала.
4.Кроме того, для геомеханических исследований могут быть определены составляющие напряжений о для каждого элемента, которые находятся по по лученным перемещениям а в узловых точках при помощи матрицы преобразо
вания напряжений |
1М1 |
{0 }= [М ]{6 }. |
(77> |
При помощи этой матрицы может быть определено распределение горного давления на горизонте очистной выработки.
М а т е м а т и ч е с к и е о с н о в ы метода можно пояснить на простом примере модели фахверковой конструкции, стержни которой являются эле ментами 1. Концевые точки 1 ж2 отдельного стержня фахверка (узловые точки) под действием внешней силы JF, величина которой сначала остается неизвест ной, должны переместиться в положение V и 2 ' (модель сдвижения, рис. 48). При этом конечные составляющие сдвижения параллельно осям координат составят соответственно u i ж для точки 1 ж и2 ж w2 для точки 2. Причем они могут быть записаны в виде вектора-столбца с использованием фигурных скобок
(Щ
w2)
Из вынужденных смещёний концевых точек стержня получаем, что стер жень будет иметь относительную деформацию (удлинение или укорочение)
е = (и2 — их) cos а + (w2 — wx) sin а, |
(79) |
1 Разрез слоистого массива горных пород может быть представлен в виде фахверковой конструкции, состоящей из треугольников, только для материалов (т. е. горных пород) с коэффициентом бокового расширения, равным 0,33. Для других коэффициентов бокового расширения, если требуется равенство деформаций фахверка в горизонтальном и верти кальном направлениях, должны строиться сложные конструкции, состоящие из стержней неодинаковой толщины [274].