п и т
t>ПТ
ЖРадномермое оседаниеv
I M L -
Рис. 39.
Схема равномерной нагрузки F и осадки на участке полуплоскости и аналогия с нагрузкой и осадкой непосредственной кровли:
1 — непосредственная кровля; 2 — очистная выработка
Рис. 40.
Зависимость оседания в упругом горном массиве над серединой очистной выработки от вы соты h (в радиусах) точки:
1 и 2 — кривые* построенные в соответствии с формулами (50) и (51)
и при равномерном обжатии на величину 2к/п [441] — из выражения
без учета уплотнения от собственного веса. Этими формулами механики грунтов можно пользоваться для решения задач сдвижения горных пород, если пред ставить себе изображенное на рис. 39 полупространство перевернутым и рас сматривать оказавшуюся при этом вниЗу поверхность, ограничивающую полу пространство, как непосредственную кровлю некоторой очистной выработки, на которую в пределах круговой площадки диаметром 2а действуют направлен ные вниз равные силы, или же в которой под действием сил образуется цилин дрическая воронка высотой 2А7л. После интегрирования выражений (48) и (49) получим, что оседания точки породного массива над серединой очистной выработки при г = 0 и I (гх) = 1 (функция Бесселя) при равномерном давле нии на закладку
|
|
а2 |
|
(50) |
|
|
УЖТТ2 |
|
|
|
|
|
|
|
или при равномерном опускании непосредственной кровли |
|
|||
V.* |
2к |
/ . a , |
ah \ |
(51) |
— |
( агс,е т + 1?тж ) |
|||
Рис. 41.
Схема влияния в упругом полупространство сосредоточенной вертикальной силы, заменя ющей влияние элементарной выработки, и про филь элементарной мульды оседания для для z = 0:
1 — земная поверхность; 2 — элементарная выра ботка А
уменьшаются от значения Fa!2G или соответственно 2/с/я на горизонте очистной выработки до нуля в бесконечном удалении по высоте. Наибольшее растяжение в вертикальном направлении упругие породы получают над серединой очистной выработки до высоты а (рис. 40). Так же, как и при расчете с помощью интегра ционных сеток, в выражениях (50) и (51) принимается, что глубина разработки
не оказывает влияния |
на величину |
оседания |
точек массива горных |
пород. |
(элементарная |
выработка) |
из массива, находящегося |
Выемка частицы А |
под действием гравитационных сил, дает возможность сжатому материалу, окружающему вынутый объем, расшириться, и в результате этой деформации высвобождаются вертикальные (crz = yh) и горизонтальные lah = aj(m — 1)] силы, обусловленные собственным весом пород [35]*. Результирующая сила F этой системы сил должна, вследствие симметрии, лежать на вертикальной линии, проходящей через элементарный объем А , и быть приложенной в центре тяжести S породных масс, находящихся под воздействием очистных работ. Если ось z провести через точку S приложения силы F па расстоянии с от гори
зонта |
земной поверхности (рис. 41), то обе горизонтальные |
переменные |
||||
х и у |
могут быть приведены к радиальной переменной г2 = х2 + у2. |
оседа |
||||
В такой системе координат |
можно |
вычислить бесконечно |
малые |
|||
ния |
ш. и горизонтальные смещения |
и любой |
точки i (г, z), |
обусловлен |
||
ные |
действием вертикальной |
результирующей |
внутренней |
силы |
F (су |
|
*В последнее время высказываются сомнения относительно правомерности допущения
овзаимно уравновешивающихся сосредоточенных силах, действующих на элементарные объемы выработанного пространства. При приложении сосредоточенных сил величина
сдвижений должна изменяться пропорционально 1/Л; с другой стороны, при свободной суперпозиции и при соблюдении зависимости от глубины разработки в пределах области влияния (принцип граничного угла) ноле сдвижений должно находиться в соответствии с гипотезой Вальса об изменении сдвижений пропорционально 1/7?2 [285 или 286].
в упругом |
полупространстве с |
постоянным объемом из выражений: |
|
|||||||
F |
/ J |
- |
+ |
J - 4 - |
(г — с)12 |
' |
z2+ с2 |
C)cz(z-f- с)2 \ |
(52) |
|
W- 8л6' |
[ /?i |
^ |
Fо |
/VI |
R\ 1 |
HZ |
) ’ |
|
||
1-г |
|
|
|
z— с i 0cz (z ft ) \ |
|
|
(53) |
|||
U ~~ £>л6’ |
( « |
: |
|
+ К |
|
"• |
) ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7?i = V V + |
(z- с ) 2; |
l / > |
+ |
(z + c)2. |
|
|
|
|||
Для проблем сдвижения горных пород представляют интерес в первую очередь элементарные мульды оседания на рассматриваемом горизонте z = h на уровне приложения сил z = с и на земной поверхности 2 = 0 (см. рис. 41)’ Заменяющая вынутый элемент массива результирующая сила F оказывает давление, направленное вниз, также и на почву очистной выработки, где в соответствии с граничным условием w — 0 при z = h, нарушение поля сило вых линий в выработанном пространстве не должно вызывать никаких смещений. Для удовлетворения этого граничного условия опускание почвы должно быть связано с оседаниями других точек покрывающей толщи полупространства соотношениями: w'c = we - wh и wo = w0 - wh. Полученная таким способом элементарная мульда т на поверхности полупространства хорошо согласуется с мульдой оседания над площадью неполной подработки. Поэтому формулы
(52)и (53) для сосредоточенной внутренней силы можно считать приемлемыми
идля равномерно распределенной нагрузки в тех местах полупространства, которые достаточно удалены от точки приложения сил
Второе граничное условие (w = 0 при z = 0 и г = h ctg у), которое дол жно выполняться у границы области влияния на земной поверхности, в упру гом полупространстве может быть выполнено путем надлежащего выбора вы
соты точки приложения сил; например, с = |
0,5Л при у = 45 , если разностная |
функция шо = w0 - wh для точки г = |
ctg у приблизительно равна нулю. |
Бесконечное малое оседание w выше сосредоточенной силы F может быть получено из выражения (48) при действйи силы на нижнюю поверхность неве сомого полупространства при z — h (внутренняя точка) и г == 0, или из выра
жения (52) при действии внутренней силы при с = |
h, z = 0 (точка на поверх- |
||
ности) и |
г = |
0 по формуле |
|
ю — |
F |
1 |
(54) |
2лG |
h |
|
|
Следовательно, величина оседания w центральной точки обратно пропор циональна ее расстоянию h по вертикали от точки приложения силы. Равным образом, интегрирование выражения (52) для нагрузки, действующей на
1 Принцип Сен-Венана: на достаточном удалении от области действия некоторой си стемы сил их влияние зависит не столько от их местного распределения, сколько от стати ческих результирующих этой системы сил — сосредоточенной силы и момента.
круглую площадку внутри полупространства, приводит к полученному из выра жения (50) оседанию иг центральной точки (г = 0) при действии нагрузки на рас стоянии /г, как это можно видеть, если подставить в выражение (52) с = h и г — 0 и сравнить его с выражением (48). Для определения сдвижений внецентренных точек массива над площадями действия нагрузок и площадями оседа ния неправильной формы, имеющими место при горных работах, необходимо выполнить многократное интегрирование выражений (48), (49), (52) или (53), но в условиях маркшейдерской практики их находят приближенными мето дами — при помощи таблиц «показателей влияния» или интеграционных сеток [35, 287]. Расчет пространственных сдвижений пород в трансверсально-изо тропном массиве производится с помощью гармонических функций, для реше ния которых разработаны специальные диаграммы [23].
3.3.3.
Массив горных пород как неупругая среда
Принятое допущение о том, что массив горных пород ведет себя как упругая среда, т. е. что возникающие в нем спонтанно деформации, пропорциональные нагрузке, после снятия последней сразу же полностью исчезают, не вполне соответствует действительной картине развития процесса сдвижений в неодно родном слоистом массиве, разбитом трещинами и поверхностями скольжения на большое число блоков [273]. В таком породном массиве под действием по вышенного горного давления наряду с упругими деформациями имеют месте и необратимые пластические скольжения по поверхностям трещин, причем процесс сдвижения развивается реологически, т. е. в зависимости от времени — скорость изменения нагрузки Ао : At влияет как на ход во времени зависимо сти деформаций от нагрузок о : е (£), так и на величину и продолжительность деформаций последействия х, так как структура пород и горного массива лишь постепенно приспосабливается к новому внешнему силовому полю, и лишь после того, как уже закончилось перераспределение нагрузок.
Из этих неупругих свойств горных пород — замедления деформаций,, деформаций последействия, влияния скорости изменения нагрузки и пластич ности — замедление деформаций и деформации последействия в зависимости от времени могут быть наглядно представлены реологической моделью Кель вина 2 (см. рис. 34), а остаточные деформации и деформации текучести при скольжении по какому-либо основанию некоторого тела (рис. 42), которое после преодоления сопротивления трения (предела текучести) продолжает8*
1 В литературе конечные обратимые деформации последействия часто называют упру гой ползучестью, а бесконечное необратимое пластическое течение — пластической пол зучестью. В вязком элементе Ньютона передаваемое усилие пропорционально скорости перемещения поршня, а изменение деформации во времени зависит от длительности возра стания нагрузки.
8 Названия реологических моделей, примененные автором, отличаются от принятых в Советском Союзе. Так, модель Кельвина в Советском Союзе называют моделью Фойгта, моделью Бингама в Советском Союзе принято считать параллельное соединение тела трения п цилиндра с поршнем, а модели Лоонена в Советском Союзе соответствует модель Шведова
(п р и м е ч . ото. р е д . ) .
Рис. 42.
Реологические модели и соответствующие им диаграммы деформаций:
■а — модель вязкоупругого тела Максвелла; б — модель пластичного тела Сен-Венана; в —модель вязко упругопластичного тола Лоонена; 1 — линейное течение; 2 — остаточная деформация; з — предел текучести
ипредельная нагрузка; 4 — нагрузка на поршень; 5 — сила сжатия пружины; 6 — предел текучести тела трения
стечением времени неограниченно и непрерывно перемещаться под действием уже более не возрастающей растягивающей или сжимающей силы, — реологи ческой моделью Сен-Венана (тело трения). Нелинейные, зависящие от времени
иостаточные составляющие деформаций горных пород, таким образом, могут
быть вызваны их вязкоупругостью и пластичностью.
Вязкоупругая деформация, после некоторого замедления достигающая значения конечной стадии деформирования упругого тела екон = о/Е, может быть вычислена при помощи простых зависимостей вида5
е = р.к |
3 ^ |
(55) |
TReJG0 = у/т — модуль сдвига в момент нагружения; G — модуль сдвига для позднее возникающей деформации (G < G0); ц — коэффициент вязкости.
Полученная на основе теории упругости деформация екон может быть при менена только после умножения на функцию времени. Недостатком реологиче ской модели вязкоупругого тела Кельвина является постепенное уменьшение до нуля деформации разгрузки (см. рис. 34); в разгруженном массиве горных пород, как известно, часть пластических деформаций остается.
Что касается вязкоупругой модели Максвелла, представляющей собой последовательно соединенные пружину и поршень с отверстием (см. рис. 42), то хотя она хорошо согласуется с поведением горных пород при разгрузке (бесконечное течение при длительно действующей нагрузке особенно соответст вует характеру деформирования каменной соли и глубинных пород — при