неизменной деформации напряжения с течением времени уменьшаются), однако она не воспроизводит упругой деформации последействия. То же относится и к вязкоупругой модели Бингама, в которой последовательно объединены тело трения и цилиндр с поршнем.
Среду, свойства которой приближаются к фактическому характеру деформирования горных пород и объединяют свойства тел, описываемых реологиче^ скими моделями Кельвина и Сен-Венана, воспроизводит вязкоупругопластическая модель Лоонепа (см. рис. 42). В этой реологической модели принимается, что в ходе перераспределения напряжений в окружающих горную выработку породах напряжения переходят за предел текучести и образуется зона пласти ческих деформаций, которая с течением времени распространяется до таких пределов, что между зонами упругих и пластических деформаций устанавли вается силовое равновесие. При этом изменяются во времени не только местные деформации, но и возникающие вокруг горной выработки напряжения. Кривая зависимости деформаций от времени, форма которой определяется вязкостью пород и их модулем трения, не имеет горизонтальной асимптоты: замедленная вязкоупругая начальная деформация (модель Кельвина) после преодоления сил трения переходит в линейное течение (модель Сен-Венана). Если в процессе деформирования напряжения в отдельных местах начинают превышать предел текучести, то в этих местах порода вновь начинает деформироваться, как тело Кельвина. При полной разгрузке в модели происходит лишь незначительная деформация восстановления, обусловленная действием упругой энергии, нако пленной в пружине при деформировании до предела текучести. Остаточная деформация соответствует количеству энергии, затраченной в вязкой и упру гой средах.
У с л о в и е т е к у ч е с т и |
вязкоупругопластичной горной породы |
в пределах полуплоскости можно |
выразить, например, в виде |
|
(56) |
где т — действующее в данной точке касательное напряжение; тпред — предель ное касательное напряжение по Кулону;
|т|=с + ст„ tgp, |
(57) |
т] — кинематическая вязкость; dvjdy — градиент скорости пластическоготечения (<с — сцепление). Предельное касательное напряжение возникает в пло скости скольжения, если в соответствии с выражением
(58)
статическое нормальное напряжение ап, возрастая на величину его динамиче ского значения d cjd t, превысит определяемую эмпирически величину а0, при которой в породе возникает пластическое течение. Таким образом, теку честь горных пород, в отличие от текучести жидкостей, определяется не суммой касательных напряжений, а только той их частью, которая превышает предель-
Рис. 43.
Схема вязкопластичиого течения в подрабо танном массиве горных пород:
1 — лсмная поверхность; 2 — очистная выработьч
I
ные напряжения упругого деформирования (т — тпред = Ат). Процесс сдвиже ния в среде должен прекратиться после заполнения выработки, а не после вы равнивания поверхности и восстановления стратиграфического поля напря жений, как это имело место, если бы среда была чисто вязкой или пластической.
Если не принимать во внимание зону хрупкого разрушения, образую
щуюся непосредственно над очистной выработкой, |
то для описания процесса |
||
в я з к о п л а с т и ч н о г о |
д е ф о р м и р о в а н и я массива горных пород |
||
получит систему из трех дифференциальных |
уравнений, выведенных |
||
по условию |
равновесия для вертикальных и горизонтальных составляющих |
||
деформаций |
элементарного |
объема: |
|
|
|
|
|
|
|
|
(59) |
Ох |
|
' |
ду |
|
|
|
|
где X и У — проекции гравитационных сил на оси координат; F — всестороннее |
|||||||
сжатие |
в |
рассматриваемой |
точке; |
у 2 — оператор Лапласа д2/дх2 + д 2/ду2- |
|||
vx и Vy — составляющие скорости |
смещения точки; ц — коэффициент вяз |
||||||
кости; у — плотность пород (рис. 43). На этом |
рисунке конечное положение |
||||||
(Р2 или |
P n+i) точки массива, находившейся |
в |
положении Р0 после выемки |
||||
полосы |
/, |
зависит от того, проводились ли |
очистные работы в направлении |
||||
1 — 2 или |
в |
направлении п |
п + |
1. |
|
|
|
Для поставленной задачи до сих пор с помощью уравнений (59) получено лишь приближенное решение для конечной стадии деформирования поверх ности нагруженной собственным весом полуплоскости с узким вырезом, ими тирующим очистную выработку.
Теория вязкоупругопластичных сред, с большой близостью к действитель ности описывающая процесс сдвижения породного массива и дающая воз можность учитывать как фактор времени, так и скорость и направление подвигания очистных работ, может в будущем найти широкое практическое при менение, как только на ее основе будут получены необходимые расчетные формулы.
3.3.4.
Массив горных пород как стохастическая среда
Многократно подрабатываемый горный массив, разбитый многочисленными трещинами, в предельном случае можно рассматривать как множество пород ных блоков, в большей или меньшей степени не связанных друг с другом. Породные блоки такого «макрообломочного» массива, приведенного в дви жение, имеют так много степеней свободы, что для расчета сдвижений этих отдельных элементов рационально применить статистические методы. Законо мерности, которым подчиняется движение не связанных между собой пород ных частиц, лишь в малой степени зависят от свойств этих частиц; в этом дви жении преобладают стохастические процессы, управляемые вероятностными закономерностями.
Р а з в и т и е п р о ц е с с а с д в и ж е н и й в стохастической среде можно пояснить на примере ромбической упаковки шаров, показанной на рис. 44. Если удалить шар из поля С, то освободившееся пространство может быть занято только одним из соседних вышележащих шаров из поля А или В. Вероят ность того, что свободное поле с координатами центра х, z + а займет шар А
с |
координатами |
центра х — a, |
z или шар В |
с |
координатами |
центра х |
а, |
|||||||
z, |
выражается |
уравнением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
-^-Р(х — а, |
z) |
\ Р (х + a, |
z) = |
P (x , z+ a ). |
|
|
|
|
|
(60) |
|||
|
Если вычесть из обеих частей этого равенства величину Р (#, |
z) |
и вынести |
|||||||||||
за скобки а2 и а, |
то мы получим |
разностное |
уравнение |
|
|
|
|
|||||||
|
а2 |
Г р ( х — а, z) — 2 P ( x y z)-L P ( x - ~ a 4 z) П |
Р (s, |
z A - a ) — Р (хч z) |
|
|
|
/Р/|Ч |
||||||
|
~2сГ L |
|
|
a2 |
|
J |
|
|
а |
• |
|
|
<Ь1' |
|
|
Отсюда, перейдя к пределам а |
0 и а |
|
0, |
причем аг1а -* |
1, |
получим |
|||||||
параболическое |
дифференциальное |
уравнение |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
д*р (X, |
z) |
_ |
дР (х, z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(62) |
|
2 |
дха |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
•описывающее |
стохастический процесс как процесс диффузии |
[243]. |
|
|||||||||||
Процесс смены шаров будет повторяться и на вышележащих горизонтах: так, например, переход шара с поля А па поле С вызовет переход шара с поля D или Е на поле А , или с поля Е или F на поле В , если окажется свободным не поле А , а поле В. Вероятности такой смены мест на третьем горизонте будут, таким образом, равны 1/4, 2/4 и 1/4. Распределение вероятностей смены мест, вызванный удалением шара из нижнего горизонта, т. е. выемкой элементар ного объема очистной выработки, показано на рис. 44. На верхних горизон тах нанесенные графически значения вероятностей, т. е. частоты смен мест
Рис. 44.
Схема процесса сдвижения в стохастической среде, состоящей из частиц сферической формы, и вероятность w перемещения этих частиц
шаров или бесконечно малых оседаний w, приближаются к известной колоколообразной кривой Гаусса.
Такую же колоколообразную кривую получим для профиля элементарной мульды над элементом объема очистной выработки, если примем, что бесконечно малое влияние элементарной выработки распределяется поровну между двумя вышележащими элементами (1/2, 1/2), затем аналогичным образом на элементы породного массива, залегающие еще немного выше, в пропорции 1/4, 2/4, 1/4 и т. д.
Если уравнение (62) переписать в виде |
|
|
fir% |
rtz ' |
(63) |
|
||
то оно выразит взаимосвязь между бескбнечно малыми изменениями верти кальных деформаций dwldz (расширение, сжатие) и кривизной в горизонталь ном направлении w" = d2 wldx2 в случае плоской задачи. При этом обе эти величины связаны коэффициентом пропорциональности В (z). Эта зависи мость остается справедливой и для тех теорий, в которых распространение сдвижений горных пород от очистной выработки до земной поверхности упо добляется процессам диффузии газов или теплопроводности [5, 39]. Таким образом, о с н о в н о е с т о х а с т и ч е с к о е у р а в н е н и е для бес конечно малого оседания w точки пространства с координатами х, у, z, вы званного выемкой элементарного объема очистной выработки, для горизон тального залегания пород будет иметь вид (в прямоугольных координатах)
Ош
(JZ
или с учетом круговой симметрии деформации (в полярных координатах г,
Z, 6)
dw _ |
В (z) |
д |
/ |
дw \ |
(65) |
|
dz j |
г |
dr |
\ |
dz ) * |
||
|
Коэффициент В (z) является зависящей от z величиной, имеющей размер ность линейных единиц (м) и характеризующей деформационные свойства породного слоя, залегающего на горизонте z. Он определяется из выражения (63) или (64), если измеренное в каком-либо месте этого горизонтального пород
ного слоя растяжение или сжатие |
ь вертикальном направлении разделить |
|||||||
на сумму кривизны в направлении осей х и у. |
|
уравнения (65) |
||||||
Для некоторого определенного |
горизонта z = h решение |
|||||||
( э л е м е н т а р н а я |
|
м у л ь д а |
о с е д а н и я ) |
имеет вид |
|
|||
/ \ |
аМ |
( |
г* |
\ |
’ |
|
|
(60) |
“, (г) = а |
д ехР V |
4ф (h) |
) |
|
|
|||
где а — коэффициент |
оседания; |
М — вынимаемая |
мощность |
пласта; |
||||
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (h) = |
(z) dz. |
|
|
|
|
|
|
(67) |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, бесконечно малые оседания w над элементом очистной выработки, в соответствии с выражением (66), уменьшаются с увеличением
глубины h и радиального |
расстояния г (рис. 45). |
В настоящее время нет |
еще данных наблюдений о показателе В , по кото |
рым можно было бы установить величину интеграла ф (h) в квадратных метрах для всех породных слоев между эксплуатационным горизонтом (z = 0) и гори зонтом, для которого производится расчет (z = h). В однородном массиве показатель В с увеличением z возрастает приблизительно линейно до значе
ния В (Н) на земной поверхности, т. е. |
В (z) — kz = z!HB (Н)*. |
п о р о д |
|
Теоретически с т р у к т у р н а я |
х а р а к т е р и с т и к а |
||
н о г о м а с с и в а |
В (Н) может быть |
получена из условия несжимаемости |
|
для части породного |
массива QBP над |
зоной опорного давления |
(рис. 45). |
Этот породный блок не будет изменять своего объема под действием влияния очистных работ, если сумма всех оседаний вдоль участка PR будет равна сумме всех горизонтальных сдвижений вдоль вертикального отрезка Р Т , т. е. если заштрихованные на рисунке площади A t жА 2 равновелики. Вдоль линии РТ максимум горизонтальных сдвижений над контуром очистной вы работки должен линейно уменьшаться от величины vXmax на земной поверх ности до нуля в еще неизвестной точке Т в глубине горного массива. Эта точка при выемке площади полной подработки лежит на глубине, приблизительно
* Величина В на горизонте очистной выработки будет равна нулю, если принять, что равномерно опустившийся слой непосредственной кровли (кривизна равна нулю) находится под давлением, равным весу пород покрывающей толщи (вертикальная относительная де формация растяжения равна нулю).