что можно написать в виде произведения строчного вектора-строки на век тор-столбец:
|
|
|
|
ui |
|
|
г = |
{ — cos сс — sin ос -f- cos а + |
sin а ] |
w\ |
(80) |
||
U>2 |
||||||
|
||||||
Наклон стержня |
а можно |
вычислить по заданным координатам |
точек: |
|||
tg а = |
(у2 — г/j) (х 2 |
— х х). Следует |
иметь в виду, что вектор-строка |
в урав |
||
нении (80) выражает соотношение смещений и деформаций, зависящее только от наклона стержня, т. е. от структурных особенностей конструкции; в мас
штабе всей |
модели он соответствует структурной матрице |
|
{е}= [Д |
]{6 }. |
(81) |
Внутреннее осевое усилие (растягивающее или сжимающее), возника ющее в деформированном элементе стержня длиной I и площадью поперечного сечения q в результате вынужденного смещения его концевых точек, пропор ционально жесткости элемента Eqll и относительной деформации е и идентично результирующей F внешних сил, приложенных к узловой точке (действие равно противодействию):
(82)
Чтобы иметь возможность определить степень влияния этой известной по величине и направлению результирующей силы на соседние стержни, при мыкающие к стержню в точках 1 и 2, нужно в каждой точке разложить силу F
на ее |
составляющие, |
параллельные осям х и у |
(см. рис. 48): |
||
|
|
и х |
|
— cos cc |
|
|
|
_ |
Eq |
— sin а |
(83) |
|
' ■ |
) = |
1 |
-h cos а |
|
|
и ) |
и О |
|
||
|
|
ЛО.У' |
|
. -i-sin а |
|
Тригонометрический |
фактор представляет собой структурный вектор |
||||
{ / ) } т |
из выражения |
(80), |
транспортированный в |
один столбец. Если в выра |
|
жение (83) вместо вынужденной относительной деформации стержня е подста вить правую часть уравнения (80), то получим обобщенное выражение соот ношения сил и перемещений для стержневого элемента
|
|
— cos а |
|
|
— sin а |
(/I |
Щ - |
(— cos a — sin a -J -c osa + s*n а } {6} |
- f c o s a |
||
|
|
+ sin а |
Рис. 49.
Схема плоского треугольного элемента, на узло
вую точку 3 которого действуют внешние и внут ренние силы
После перемножения |
структурных векторов |
{£ >}={£} |
(85). |
по правилу «строка на столбец» можно привести уравнение (84) при помощи
найденной таким способом м а т р и ц ы ж е с т к о с т и к более |
простому |
|
виду (74), что и требовалось доказать. |
|
|
Приведенные выше рассуждения, относящиеся к |
стержневому |
элементу,, |
в основном остаются справедливыми и для п л о с к о г о |
э л е м е н т а сплош |
|
ной среды с более чем двумя узловыми точками. При этом сначала определяют структурную матрицу [D] из соотношения смещений и деформаций (81), чтобы иметь затем возможность из произведения [D]T [D\ по формуле (85) получить,
матрицу жесткости [S] и ее инверсию [SV1 |
для искомого соотношения сил |
и перемещений [формула (75)]. Структура |
и жесткость плоского элемента, |
проявляются в составляющих силах, которые должны быть приложены ко всем узловым точкам, чтобы очередная узловая точка сместилась в направлении оси х или у на одинаковую единичную величину и чтобы при этом все осталь ные узловые точки не изменили свюего положения.
Из требования единичного деформированного состояния всей площади элемента следует для вывода структурной матрицы [/?], что перемещения узловых точек треугольного элемента 1 , 2 ж3 , которые используются при по строении моделей массивов горных пород, должны быть связаны одним и тем жепараметром ас как с перемещением произвольной точки Р (х, у) в пределах площади данного элемента, так и с деформацией этого элемента (рис. 49)^ Поэтому для точек площади элемента и для узловых точек поле перемещений задается полиномами, причем связанные только в трех узловых точках эле менты в процессе деформирования могут по линиям своего контура или об разовывать зазоры, или же перекрывать друг друга. Вследствие этого фиктив ные линии контуров даже после деформации остаются прямолинейными (усло вие совместимости). Если узловые точки, координаты которых связаны
<с перемещ ениями б (гг, гг;) линейными полиномами:
+Jr cc3y1,
W\ а4 — а&Х! -j- ae!/i |
для |
узловой |
точки 1 , ■ |
(86) |
|||||
и\1 |
"1 |
х4 |
Vi |
0 |
0 |
0" |
|
|
|
гг2 |
1 |
X., |
Уч |
0 |
0 |
0 |
а2 |
|
|
и3 |
1 |
Х3 |
Уз |
0 |
0 |
0 |
сс3 |
(87) |
|
W\ |
0 |
0 |
0 |
1 |
*1 |
У1 |
а4 |
||
|
|||||||||
Wo |
0 |
0 |
0 |
1 |
Хг |
Уч |
«5 |
|
|
Мз. |
0 |
0 |
0 |
1 |
х3 |
Уз- |
осв1 |
|
|
переместятся под действием некоторой еще неизвестной силы, то точка Р внутри плоского элемента также изменит свое положение в соответствии с выраже нием (86) на
u-=a,i + а,х-т-а3у |
1 |
(88) |
|
w — а4 л- аъх + |
аву ) |
||
л в каждой точке |
этого |
элемента возникает деформация |
|
|
|
ди |
Л |
|
|
дх |
|
е = |
|
dw |
(89) |
|
|
||
|
ди |
, |
dw |
|
ду |
|
дх ) |
Теперь можно заменить параметры а,- в выражении (88) вынужденными перемещениями узловых точек б (гг, w), разбив их на две группы по составля ющим перемещений гг и w, а в пределах каждой группы — по коэффициентам щ в соответствии с выражением (86):
1
U = -JJ- [(а, + Ъ4х + сху) и, + (а2 + Ь.гх + сгу) иг + (ая + Ьъх + с3у) м3];
1 |
(90) |
w - — |
[(а1 + Ъхх + сху) wl + (а2 + Ь2х + с2 у) w2 + (а3 + Ъ3х + с3у) w3], |
где А — площадь элементов, которые могут быть вычислены по координатам узловых точек; коэффициенты = х 2 у3 — х3 у 2, 4 = г/2 — г/я, сх = х3 — х 2 с циклической сменой индексов.
С помощью этого выражения правая часть выражения (89) после диффе ренцирования приобретает окончательный вид
~Ьг 0 0 Cl
-Cl bi
ъ. |
0 |
ь3 |
О- |
0 |
м< |
О |
с3 (б)в=[/>] {б)„ |
Со |
Ь., |
с.л |
V |
(91)
дающий в развернутой форме структурную матрицу [D], которую нужно найти для решения уравнений (85) и (75). Эта структурная матрица может быть также определена из обращенной матрицы координат (87) в следующем виде [159]:
ГОЮООСГ
000001 [ К \ - К
.001010
Из обобщенного выражения для взаимосвязи напряжений и деформаций в изотропной среде, переписанного (без учета угла скольжения у т. е. без учета деформаций сдвига) в виде
... |
,, |
°У |
и |
и gjr _L °У |
(92) |
: Е |
" |
Е |
|
|
|
можно, кроме того, используя матрицу упругости [С\, рассчитать плоское
напряженное состояние |
в |
элементе |
|
||
о = |
Е |
1 |
I1 |
{е}=-[С]{е}. |
(93) |
|
1—р2 |
J1 |
1 |
|
|
Взаимосвязь между напряжениями и перемещениями узловых точек |
|||||
[формула |
(77)] дает матрицу |
преобразования |
\М] = [С) Ш], получаемую |
||
из выражений (93) и (91).
Задача о Взаимодействии сил и перемещений (матрица жесткости) для плоского элемента в настоящее время еще не решена, но ее решение может быть найдено подобно тому, как это сделано для стержня, исходя из внутрен них реактивных сил при деформировании, уравновешивающихся приложен ными в узловых точках внешними силами (нагрузка от собственного веса, изгибающие напряжения) и представляющих собой накопленную работу, кото рая может высвободиться при деформации восстановления в области упругих деформаций. Приложенные в узловых точках силы, действующие в направле нии оси х, моГУт возрастать от нуля до F, а соответствующие линейные дефор мации — от нУля до значения Д/ = 6. Тогда уравнение работы деформации
будет иметь вид |
|
в |
|
IГ = | Fx&е. |
(91) |
О |
|
Поскольку в области упругих деформаций сила и вызванное ею пере мещение пропорциональны друг другу, величина внешней работы деформиро вания при Fх — Fxfб для силы, приложенной в точке с абсциссой х , полу чится из выражения
б |
(95) |
Wa= - ^ ^ x d x = \ F b . |
|
0 |
|
Если в это выражение подставить отнесенные к единице длины значения FI1*1 = а и 6*6/1 = е, то для удельной работы деформации в рассматривае мой точке элемента можно получить выражение
ое, |
(96) |
-а для общей внутренней работы деформации элемента при одноосном растя жении или сжатии в направлении оси х , приходящейся на единицу площади, — выражение
1У( = -i- J ае dA |
--^-Ааг. |
|
|
(97) |
Приравнивая выражения |
(95) и (97), |
можно получить |
уравнение |
|
F8 = Ага, |
|
|
|
(98) |
а затем, применив |
принцип |
возможных |
перемещений 1 и |
использовав воз |
можное перемещение 6 узловой точки при одновременной деформации элемента г в направлении оси х или у на величину, равную единице,
F(6} = A M T { 8 } , |
(99) |
можно с помощью выражений (91) и (93) получить выражение для соотношения
‘Сил и |
перемещений |
|
F {6} = А {6}т [Я р [С] [D] {6}. |
(100) |
|
Из этого выражения, совпадающего с уравнением (84) для стержня, если |
||
вместо |
{6} и {6} подставить единичную матрицу [/?], можно получить матрицу |
|
жесткости |*S|6_6 для треугольного элемента |
|
|
\S\ |
A [D]т [С] [D]. |
|
Суммированием матриц жесткости отдельных элементов образуется м а т - |
||
р и ц а |
ж е с т к о с т и с и с т е м ы для всей модели, |
числовые элементы |
которой представляют собой приложенные к узловым точкам внутренние силы,
1 Сумма работ всех внутренних и внешних сил в системе тел, находящейся в равно весии, при допущении о бесконечной малости перемещений точек приложения атнх сил равна нулю.