Материал: sb000037

По определению, собственные вектора – это ненулевые элементы собственного подпространства, поэтому в ответе учитываем, что α 6= 0.

Вычисления для оператора B полностью аналогичны, поэтому мы их опускаем.

Ответ: Собственные числа оператора A: λ1 = 4; λ2 = 7; λ3 = 7. Собственные вектора оператора A: u1 = (1, 1, 2)T α; u2 = (1, 1, 3)T α; u3 = (0, 1, 5)T α; где α R \ {0}.

Собственные числа оператора B: µ1 = 0; µ2 = −2; µ3 = −5. Собственные вектора оператора B: v1 = (2, 5, 6)T α; v2 = (0, 1, 1)T α;

v3 = (1, 1, 1)T α; где α R \ {0}.

Замечание 4. Так как определитель оператора B равен 0, а определитель любого оператора равен произведению собственных чисел (с учетом кратности), то оператор B гарантировано имеет собственное число 0. Поэтому вычисления его собственных чисел заведомо проще, чем для A.

8.Поскольку собственные вектора, принадлежащие попарно различ-

ным собственным значениям, линейно независимы, то наборы векторов u = (u1, u2, u3) и v = (v1, v2, v3) являются базисами в пространстве R3. В

базисе из собственных векторов матрица оператора диагональна, причем по диагонали стоят собственные числа, а их порядок соответствует порядку собственных векторов (В этом легко убедиться воспользовавшись рассуждениями, приведенными в задаче 7, и определением собственного вектора 4.1) .

Задача 10. Квадратное матричное уравнение.

Найти матрицу X с наибольшими собственными числами, удовлетворяющую уравнению

Решение. Обозначим матрицу в правой части уравнения через B. Заметим, что BX = XB (матрица X перестановочна с X2 − 4X). Если бы

30

матрица B была диагональной с различными числами на диагонали, то из условия перестановочности матрица X тоже должна была бы быть диагональной ( (BX)ij = (XB)ij biixij = xijbjj, откуда при i 6= j имеем xij = 0, так как bii 6= bjj). Для диагональных же матриц уравнение легко решается. Следовательно, для решения задачи достаточно найти базис, в котором матрица B диагональна. Такой базис (если он есть) является базисом из собственных векторов. Поэтому сначала мы ищем собственные числа и собственные вектора матрицы B (см. пункты 7 и 8 задачи 9).

00 µ3

соотношение µ2i − 4µi = λi. Находим µ1 = 2, µ2 = 1 или 3, а µ3 = −1 или 5. Очевидно, что µi являются собственными числами матрицы Xu, а значит и матрицы X (собственные числа не зависят от выбора базиса). По условию мы должны выбрать наибольшие возможные µi, то есть µ1 = 2,

µ2 = 3, а µ3 = 5.

Теперь, когда мы нашли матрицу Xu, для нахождения X = Xe надо найти матрицы перехода Ce→u и Cu→e. Как обычно (см. пункт 1 задачи 9), матрица перехода от стандартного базиса к базису u состоит из столбцов базиса u, а Cu→e = Ce−→1u. После нахождения обратной матрицы методом Гаусса получаем:

Осталось воспользоваться формулой, связывающей матрицы в различных базисах (см. пункт 3.5). Получаем

31

Замечание 1. В случае, когда матрица B не диагонализуема, задачу можно решить при помощи жордановой формы матрицы (см. задачи 11 и 12). Если же B имеет кратные собственные числа, но по-прежнему диагонализуема, то квадратное уравнение имеет бесконечно много решений (например, уравнению X2 = E удовлетворяет любая матрица X с собственными числами ±1). Несмотря на это, решение с наибольшими собственными числами по-прежнему единственно, а алгоритм его нахождения аналогичен вышеизложенному.

Задача 11. Жорданова форма матрицы 3 на 3.

Найти жорданову форму и жорданов базис матриц:

Алгоритм. Начинаем решение задачи с нахождения собственных чисел заданной матрицы D и вычисления ранга матрицы D − λE для каждого собственного числа λ. Так как собственное число удовлетворяет условию det(D − λE) = 0 а матрица D имеет размер 3 на 3, то ранг может быть равен 1 или 2 (ранг равен 0 только для нулевой матрицы, в этом случае D = λE, что было бы видно сразу). Ранг матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда все ее строки пропорциональны друг другу. Это также проверяется легко.

Обозначим через u жорданов базис матрицы D так, что Du – ее жорданова форма. Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса, а единичная матрица не меняется при замене базиса. Поэтому rank(D − λE) = rank(Du − λE). В трехмерном пространстве количество различных собственных чисел и ранги матриц D − λE однозначно определяют размеры жордановых клеток.

Существуют всего три различные жордановы формы недиагонализуемой матрицы третьего порядка, с точностью до порядка расположения

32

(если матрица диагонализуема, то задача сводится к нахождению собственных чисел и собственных векторов).

Если матрица третьего порядка имеет три различных собственных числа λ1, λ2, λ3, то она диагонализируема см. 4.11.

Если у матрицы D два различных собственных числа λ1, λ2, то возможны 2 варианта. Если rank(D − λ2E) = 1, то есть геометрическая кратность числа λ2 равна двум (ранг – это размерность образа, а геометрическая кратность – размерность ядра оператора D−λ2E, по теореме 3.9 их сумма равна 3), то матрица диагонализуема по теореме 4.12. Если же rank(D − λ2E) = 2, то жорданова форма имеет вид (1). По формуле для столбцов матрицы оператора (см. 3.4) для векторов u1, u2, u3 жорданова базиса выполнены равенства

(D − λ1E)u1 = 0, (D − λ2E)u2 = 0 и (D − λ2E)u3 = u2

Вектора u1, u2, u3 в этом случае проще всего искать из выписанных выше систем линейных уравнений.

Наконец, пусть матрица имеет одно собственное число λ кратности 3. Если rank(D−λE) = 1, то жорданова форма имеет вид (2), а для векторов жорданова базиса выполнены равенства

провести следующим образом: берем произвольный вектор u3 так, чтобы (D − λE)u3 6= 0 (например, если первый столбец матрицы D − λE не

заметим, что (D − λE)u2 = (D − λE) u3 = 0. В качестве u1 можно взять любой собственный вектор матрицы D не пропорциональный u2.

Осталось рассмотреть ситуацию, когда D имеет единственное собственное число алгебраической кратности 3 и геометрической кратности 1, то есть rank(D − λE) = 2. В этом случае жорданова форма имеет вид (2), а для векторов жорданова базиса выполнены равенства

нахождения векторов u1, u2, u3 состоит в следующем. Выбираем произвольный вектор u3. Вычисляем u2 = (D − λE)u3 и u1 = (D − λE)u2.

33

Заметим, что (D − λE)u1 = (D − λE)3u3 = 0. Таким образом, если u1 6= 0, то задача решена. В противном случае, просто замените u3 на линейно независимый и повторите вычисления векторов u2 и u1. Даже если Вы два раза получите u1 = 0, то в третий раз Вам обязательно повезет: матрица (D − λE)2 ненулевая, поэтому ядро оператора умножения на эту матрицу не совпадает со всем пространством и, следовательно, не может содержать 3 линейно независимых вектора.

Перейдем к решению конкретных задач.

Решение.

1. Матрица A имеет одно собственное число λ = −1. Матрица

u1 = (2, −1, −1) ; u2 = (3, −1, −2) ; u3 = (1, 0, 0) .

2. Матрица B также имеет одно собственное число λ = 1. Все строки

равен 1. Положим u3 = (1, 0, 0)T и вычислим u2 = (B −E)u3 = (1, −3, 4)T . Нетрудно убедиться, что (B − E)u2 = 0, что и обещала нам теория. В качестве u1 можно взять любое решение уравнения (B −E)u1 = 0 непропор-

34