Материал: sb000037

Часть 1. Определения и формулировки теорем.

1. Линейные пространства.

1.1.Определение линейного пространства. Множество V называ-

ется линейным пространством над полем R, а его элементы векторами, если:

–задана операция сложения, которая любым двум элементам x и y из V сопоставляет элемент x + y из V , называемый их суммой;

–задана операция умножения на число, которая элементу x V и числу α R сопоставляет элемент αx V , называемый произведением x на α;

–для любых элементов x, y, z V и любых чисел α и β выполнены следующие свойства:

(1)(x + y) + z = x + (y + z);

(2)существует элемент 0 V такой, что для каждого x V выполнено x + 0 = x;

(3)для любого x V существует элемент −x V такой, что x + (−x) = 0;

(4)x + y = y + x;

(5)α(β)x = (αβ)x;

(6)α(x + y) = αx + αy;

(7)(α + β)x = αx + βx;

(8)1x = x.

1.2.Определение подпространства. Подмножество U называется подпространством пространства V , если оно само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения на число, заданных в V .

1.3.Критерий подпространства. Подмножество U является подпространством V , если для любых a, b U и α F выполняется:

(1)a + b U

(2)αa U

Обозначение: U 6 V (в отличие от обозначения U V для подмножества).

1.4. Линейная независимость. Набор элементов a(1), . . . , a(n) про-

странства V называется линейно независимым если уравнение

α1a(1) + . . . αna(n) = 0

имеет только нулевое решение.

5

1.5. Линейная оболочка. Линейной оболочкой элементов a(1), . . . , a(n)

пространства V называется совокупность всех линейных комбинаций этих элементов, т.е. множество элементов вида α1a(1) + . . . αna(n), где - αi F .

Эквивалентное определение: Линейная оболочка – это наименьшее линейное подпространство в V , содержащее элементы a(1), . . . , a(n).

Линейная оболочка обозначается через ha(1), . . . , a(n)i.

1.6. Система образующих. Набор элементов a(1), . . . , a(n) называется системой образующих пространства V, если любой вектор из V представ-

ляется как линейная комбинация этих элементов. Эквивалентное определение: ha(1), . . . , a(n)i = V .

1.7. Базис. Упорядоченный набор (e(1), . . . e(n)) называется базисом пространства V, если набор e(1), . . . , e(n) является линейно независимым и системой образующих.

Эквивалентное определение: для любого x V существуют единствен-

ные α1, . . . , αn F такие, что x = α1e(1) + . . . αne(n).

1.8.Координаты вектора. Пусть e = (e(1), . . . e(n)) – базис простран-

ства V , а x = α1e(1) + . . . αne(n) V . Тогда столбец (α1, . . . , αn)T назы-

вается столбцом координат x в базисе e и обозначается через xe.

1.9.Количество векторов в базисе.

Теорема. Любой базис конечномерного пространства состоит из одного и того же количества элементов.

1.10.Размерность линейного пространства. Линейное простран-

ство V называется n-мерным, если в нем существует базис из n векторов. При этом число n называется размерностью пространства V .

1.11.Размерность линейной оболочки столбцов (строк) матрицы равна рангу матрицы.

1.12.Теорема об изоморфизме конечномерных пространств. Лю-

бое конечномерное линейное пространство изоморфно пространству Rn для некоторого n (определение изоморфизма см. в 3.2).

Следствие. Все линейные пространства одной и той же размерности изоморфны между собой.

1.13.Cумма подпространств. Суммой U + W подпространств U и W

называется совокупность всевозможных векторов вида v = u + w, где u U, w W . Сумма подпространств есть подпространство,

1.14. Пересечение подпространств является подпространством.

6

1.15.Прямая сумма подпространств. Пространство V называется прямой суммой подпространств U и W , если каждый элемент v V может быть единственным способом представлен в виде суммы v = u + w, где u U, а w W . Обозначение: V = U W . Эквивалентная формулировка: V = U W , если V = U + W и U ∩ V = . Если V = U W , то объединение базисов подпространств U и W есть базис пространства V .

1.16.Теорема о размерности суммы и пересечения линейных подпространств (формула Грассмана). Если U и V – подпространства линейного пространства W , то

dim U + dim V = dim(U + V ) + dim(U ∩ V ).

1.17. Столбцы матрицы перехода от одного базиса к другому. k-ый столбец матрицы Cf→g равен столбцу координат вектора gk в базисе f. Одной формулой: (Cf→g)k = (gk)f .

1.18. Преобразование координат при замене базиса. xf = Cf→gxg.

В качестве определения матрицы перехода можно взять любую из фор-

мул 1.17 или 1.18.

2. Пространства со скалярным произведением.

2.1. Скалярное произведение. Скалярным произведением в вещественном линейном пространстве V называется (любая) функция ν, сопоставляющая паре векторов число и удовлетворяющая следующим условиям. Для любых a, b, c V и α, β R:

(1)Линейность: ν(αa + βb, c) = αν(a, c) + βν(b, c)

(2)Симметричность: ν(a, b) = ν(b, a).

(3)Положительная определенность: ν(a, a) > 0, при a 6= 0.

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Нормой элемента a V называется

p

число ν(a, a). Она обозначается через kakν. Обычно пишут (a, b) вместо ν(a, b) и kak вместо kakν, если скалярное произведение зафиксировано или не важно, о каком скалярном произведении идет речь.

2.2. Неравенство Коши-Буняковского. (x, y)2 6 (x, x)(y, y).

Геометрический смысл: |(x,y)| = | cos x y| 6 1.

kxk·kyk c

2.3.Неравенство треугольника. kx + yk 6 kxk + kyk.

2.4.Проекция одного вектора на другой. prb a = ((a,bb,b)) b (имеется вви-

ду вектор проекции, а не его длина).

7

2.5. Ортогонализация Грама–Шмидта. Пусть (f1, . . . , fn) – базис ев-

клидова пространства V . Тогда элементы

e1 = f1

e2 = f2 − (f2, e1)e1 (e1, e1)

· · · · · · · · ·

n−1

en = fn − X (fn, ek)ek (ek, ek)

k=1

являются ортогональным базисом V . Более того, если f1, . . . , fn – система образующих V , то ненулевые элементы набора e1, . . . , en образуют базис пространства V .

Пифагора. Точнее, квадрат длины вектора равен сумме квадратов длин его проекций на вектора ортогонального базиса.

2.8. Неравенство Бесселя. Пусть f1, . . . , fn – ортогональный набор

Геометрический смысл: длина вектора не меньше длины его ортого-

нальной проекции на подпространство (проекция v на hf1, . . . , fni равна

n

P (v,fk) fk, поэтому в правой части неравенства Бесселя стоит ее длина).

k=1

(fk,fk)

2.9. Ортогональное дополнение подпространства. Ортогональным дополнением подпространства U 6 V называется множество всех векторов, ортогональных каждому вектору из U. Оно обозначается через U .

Ортогональное дополнение является подпространством. Кроме того, V = U U , то есть любой вектор v V однозначно представляется

8

в виде суммы v = v + w, где v U, а w U . Элемент v называется ортогональной проекцией элемента v на подпространство U.

2.10. Расстояние от вектора до подпространства. Пусть v – ор-

тогональная проекция элемента v на подпространство U 6 V . Тогда для любого элемента u U, отличного от v выполнено неравенство

kv − v k < kv − uk.

Как обычно, расстоянием от элемента v до подпространства U называется минимальное из расстояний от v до u по всем u U. Таким образом, геометрический смысл неравенства состоит в том, что расстояние от вектора до подпространства измеряется по перпендикуляру.

2.11. Матрицей Грама скалярного произведения ν в базисе f1, . . . , fn называется такая матрица νf , что ν(a, b) = aTf νf bf для любых a, b V . Нетрудно доказать, что такая матрица существует, а ее элемент в позиции (i, j) равен ν(fi, fj). Скалярное произведение является, в частности, билинейной формой (см. определение 6.5). С этой точки зрения матрица Грама является просто матрицей билинейной формы (см. 6.6).

3. Линейные операторы.

3.1.Линейным оператором называется функция из U в V , удовлетворяющая следующим условиям. Для любых a, b V и α F :

(1)L(a + b) = L(a) + L(b).

(2)L(αa) = αL(a).

3.2.Изоморфизмом линейных пространств называется биективный линейный оператор. Два линейных пространства U и V называются изоморфными, если существует изоморфизм из U в V .

3.3.Матрица линейного оператора. Пусть U и V – конечномерные пространства, L : U → V – линейный оператор, f – базис U, а g – базис V .

Матрицей оператора L в базисах f, g называется такая матрица Lf,g, что для любого x U выполнена формула L(x)g = Lf,gxf (нетрудно доказать, что такая матрица существует и единственна).

В наиболее важном случае, когда U = V и f = g матрица оператора обозначается через Lf , а формула приобретает вид L(x)f = Lf xf

3.4.Столбцы матрицы линейного оператора. (Lf )k = L(fk)f . Эту формулу можно выразить словами: k-ый столбец матрицы оператора L в базисе f равен столбцу координат элемента L(fk) в базисе f.

9