Материал: sb000037

v = ve = Ce→uvu или, в координатах,

(

x = √529 x0 − √229 y0 y = √229 x0 + √529 y0

Подставляя это в исходное уравнение имеем

(Ce→uvu)T B(Ce→uvu) + aCe→uvu = p vuT Buvu + aCe→uvu = p,

Теперь избавимся от линейных слагаемых с помощью сдвига начала координат. Для этого выделим полные квадраты:

и F2(−8/3, 1/3).

Замечание 1. Приведенный алгоритм решения может быть использован также для приведения к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка.

40

Замечание 2. Для квадратичной формы в евклидовом пространстве всегда существует ортонормированный базис, в котором ее матрица диагональна. Если все собственные числа матрицы квадратичной формы различны, то собственные вектора, отвечающие различным собственным числам, будут попарно ортогональны и Вам останется только нормировать базисные вектора. В противном случае, нужно применить процесс ортогонализации только к базисным векторам, взятым из одного и того же собственного подпространства, поскольку собственные подпространства симметричной матрицы попарно ортогональны.

Задача 14. Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду.

Определить тип поверхности второго порядка

2x2 − 4y2 − 4z2 − 10xy − 2xz − 12yz + 2x − 6y − 2z = 1

и найти координаты вершины поверхности в исходной системе координат.

Решение. Запишем уравнение поверхности в виде: Q(v) + L(v) = p, где v = ve = (x, y, z)T , Q(v) = 2x2 − 4y2 − 4z2 − 10xy − 2xz − 12yz – квад-

ратичная форма, L(v) = 2x − 6y − 2z – линейный функционал. Сначала, уничтожим с помощью подходящей замены базиса, слагаемые, содержащие произведения переменных. Для этого приведем квадратичную форму Q к диагональному виду методом выделения полных квадратов. Согласно теореме 6.10, всякая квадратичная форма при помощи невырожденного линейного преобразования может быть приведена к диагональному виду. Заметим, что в данном случае, перед нами не стоит задача нахождения прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имело бы канонический вид, а следовательно, используемое линейное преобразование не обязано быть ортогональным. Выделим в квадратичной форме все слагаемые, содержащие переменную x и преобразуем выделенную сумму так, чтобы все члены с x вошли в квадрат линейного выражения:

Q(v) = (2x2 − 10xy − 2xz) − 4y2 − 4z2 − 12yz =

41

Далее, группируем слагаемые, содержащие только переменную y, и выделяем в этой группе полный квадрат:

записать уравнение поверхности в новой системе координат, нам нужны формулы обратного линейного преобразования. Выразим старые коорди-

Уравнение поверхности в новой системе координат примет вид

2x02 − 332 y02 − 334 z02 + 2x0 − y0 − 1633z0 = 1.

Теперь избавимся от линейных слагаемых с помощью переноса начала координат. Для этого выделим полные квадраты по всем переменным:

42

Таким образом, уравнение преобразуется к виду

2x002 − 332 y002 − 334 z002 = 1 + 12 − 661 − 1633

или

2x002 − 332 y002 − 334 z002 = 1.

Значит, поверхность представляет собой двуполостный гиперболоид. Найдем формулы результирующего линейного преобразования:

Легко видеть, что вершина O нашей поверхности, является началом координат в новой системе координат. Поэтому в исходной системе она имеет координаты O(1, 1, −2).

Ответ: Двуполостный гиперболоид: 2x002 − 332 y002 − 334 z002 = 1. Вершина поверхности: O(1, 1, −2).

Замечание 1. Уравнение поверхности может не содержать членов с квадратом переменной, например: xy = z. С целью получить квадрат какой-

Замечание 2. Если поверхность имеет единственный центр симметрии (эллипсоид, конус, гиперболоиды) или прямую центров (эллиптический и гиперболический цилиндры) то прежде, чем приводить квадратичную форму Q(v) к диагональному виду методом выделения полных квадратов, можно сначала уничтожить линейные члены уравнения с помощью переноса начала координат в точку, являющуюся центром симметрии. Если уравнение поверхности задать в матричной форме

vT Qv + 2av = p,

то координаты центра симметрии определяются из уравнения

Qv = −aT ,

где Q – матрица квадратичной формы Q(v), a – матрица линейного функционала L(v) в исходном базисе. В случае же поверхностей, центра не имеющих (параболоиды), система окажется несовместной и следует сразу воспользоваться методом выделения полных квадратов.

43

1.Линейные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.Пространства со скалярным произведением. . . . . . . . . . . 7

3.Линейные операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.Собственные числа и вектора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.Жорданова форма. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

6.Самосопряженные операторы и квадратичные формы. . . . . 13

1.Базис линейной оболочки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.Базис пространства решений однородной системы. . . . . . . 17

3.Базис суммы и пересечения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.Ортогонализация двух векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.Ортогонализация и псевдорешение. . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6.Дополнение до ортогонального базиса. . . . . . . . . . . . . . . 23

7.Выбор базиса и нахождение матрицы оператора. . . . . . . . 24

8.Матрица оператора проектирования. . . . . . . . . . . . . . . . 25

9.Вектора и операторы в R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

10.Квадратное матричное уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . 30

11.Жорданова форма матрицы 3 на 3. . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12.Жорданова форма нильпотентной матрицы 5 на 5 . . . . . . 35

13.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

14.Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

44