Материал: sb000037

3.5. Преобразование матрицы оператора при замене базиса.

Lf = Cf→eLeCe→f ,

где e и f – базисы пространства V , а L : V → V – линейный оператор.

3.6.Ядром линейного оператора L : U → V называется множество всех тех элементов x пространства U, для которых L(x) = 0 (т.е. ядро линейного оператора - это пространство решений уравнения L(x) = 0). Обозначение – Ker L.

3.7.Теорема о структуре общего решения неоднородного линей-

ного уравнения. Пусть L : U → V – линейный оператор, f V , а y – решение уравнения L(y) = f. Тогда множество всех решений этого

уравнения равно y + Ker L = {y + y0 | y0 U, L(y0) = 0}.

представимых в виде y = L(x). Образ обозначается через Im L. Другими словами, Im L = {L(x) | x V }.

3.9.Теорема о размерности ядра и образа. Пусть задан оператор

L : U → V , где U – конечномерно. Тогда dim Ker L + dim Im L = dim U.

3.10.Инвариантное подпространство. Пусть L – линейный опера-

тор на пространстве V . Подпространство U 6 V называется инвариантным относительно L, если L(u) U для любого u U.

4. Собственные числа и вектора.

4.1.Собственное число и вектор. Число λ называется собствен-

ным числом оператора L, если существует ненулевой вектор x такой, что L(x) = λx. При этом вектор x называется собственным вектором оператора L, отвечающим собственному числу λ.

4.2.Собственное подпространство Если λ – собственное число опе-

ратора L, то множество всех решений уравнения L(x) = λx называется собственным подпространством оператора L, отвечающим собственному числу λ. Эквивалентная формулировка: собственное подпространство, отвечающее собственному числу λ – это множество собственных векторов отвечающих λ, дополненное нулем.

4.3.Геометрическая кратность собственного числа – это размер-

ность собственного подпространства.

10

4.4.Характеристический многочлен. Если A – матрица n × n, то выражение χA(λ) = det(A−λE) является многочленом степени n от переменной λ. Он называется характеристическим многочленом матрицы A. Характеристическим многочленом оператора L : V → V называется характеристический многочлен его матрицы в любом базисе пространства V (он не зависит от выбора базиса). Корни характеристического многочлена и только они являются собственными числами оператора.

4.5.Алгебраическая кратность собственного числа – это крат-

ность этого числа в характеристическом многочлене (кратность числа α в многочлене p – это наибольшее целое k такое, что p делится на (x−α)k).

4.6.Теорема о линейной независимости собственных векторов.

Собственные вектора, соответствующие различным собственным числам, линейно независимы.

4.7.След матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен сумме собственных чисел оператора с учетом их алгебраической кратности (след матрицы – это сумма ее элементов на главной диагонали).

4.8.Определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен произведению собственных чисел оператора с учетом их алгебраической кратности.

4.9.Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен размерности образа этого оператора.

4.10.Критерий диагонализуемости оператора. L – диагонализуем тогда и только тогда, когда существует базис из его собственных векторов (оператор называется диагонализуемым, если существует базис пространства V , такой что матрица оператора в этом базисе является диагональной).

4.11.Достаточное условие диагонализуемости оператора. Если

оператор L : V → V имеет n = dim V различных собственных чисел, то оператор диагонализуем. Это условие не является необходимым, т.е. существуют диагонализуемые операторы, у которых не все собственные числа различны.

4.12. Критерий диагонализуемости оператора в терминах алгебраической и геометрической кратности. Оператор L диагонализуем над C тогда и только тогда, когда алгебраическая кратность любого собственного числа равна его геометрической кратности.

11

5. Жорданова форма.

5.1. Корневое подпространство. Пусть характеристический многочлен линейного оператора L раскладывается на множители

χL(λ) = (−1)n(λ − λ1)k1 . . . (λ − λs)ks ,

где все числа λ1, . . . , λs попарно различны. Тогда подпространство

Ki = Ker(L − λiI)ki (i = 1, . . . , s)

называется корневым подпространством оператора L, отвечающим собственному числу λi, а его ненулевые вектора – корневыми векторами.

Собственное подпространство содержится в соответствующем корневом подпространстве: Ker(L − λiI) 6 Ker(L − λiI)ki .

Размерность корневого подпространства равна алгебраической кратности соответствующего собственного числа.

5.2. Теорема о разложении пространства в прямую сумму кор-

невых подпространств. Для любого оператора L, действующего в комплексном пространстве V , это пространство раскладывается в прямую сумму корневых подпространств оператора L:

V = K1 . . . Ks.

Если оператор действует в вещественном пространстве, то утверждение справедливо, если все корни характеристического многочлена оператора L вещественны.

5.3. Высота корневого вектора. Пусть K – корневое подпространство

оператора L, отвечающее собственному числу λ. Высотой вектора x K называется число h, такое, что (L − λI)h(x) = 0, но (L − λI)h−1(x) 6= 0.

Собственные вектора имееют высоту 1.

5.4. Жорданова форма. Матрица вида

называется жордановой матрицей или жордановой формой матрицы оператора.

Теорема. Для любого оператора, действующего в комплексном линейном пространстве, существует базис, в котором его матрица жорданова. Такой базис называется жордановым базисом оператора.

12

Естественно, любая из клеток может иметь размер 1 × 1. Если все жордановы клетки имеют такой размер, то жорданова форма – это просто диагональная форма матрицы оператора.

5.5. Жордановой цепочкой, соответствующей собственному числу λ называется набор векторов e0, . . . , ek, удовлетворяющих равенствам

(L − λI)(e0) = 0 и (L − λI)(e`) = eelli −1 при ` > 1.

При этом ei называют i-ым вектором, присоединенным к e0. Очевидно, i-ый присоединенный вектор является корневым вектором высоты i + 1.

Пусть вектора e01, . . . , ek11 , . . . , e0m, . . . , ekmm образуют жорданов базис оператора L так, что набор e0i , . . . , eki i соответствует i-ому жорданову бло-

ку. Тогда, по определению жорданова блока, выполняются равенства (L − λiI)(e0i ) = 0 и (L − λiI)(e`i ) = e`i−1 при ` > 1. Таким образом, жорданов базис состоит из жордановых цепочек.

6. Самосопряженные операторы и квадратичные формы.

6.1. Самосопряженный оператор. Оператор L в унитарном (евклидовом) пространстве V называется самосопряженным, если

L(x), y = x, L(y) для всех x, y V .

Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе евклидова пространства является симметричной. Обратно, оператор умножения на симметричную матрицу в Rn (со стандартным скалярным произведением) является самосопряженным. Поэтому все утверждения про собственные числа и вектора самосопряженного оператора верны и для собственных чисел и векторов симметричной матрицы.

6.2.Теорема о собственных векторах самосопряженного опера-

тора. Собственные вектора самосопряженного оператора, соответствующие различным собственным числам, попарно ортогональны.

6.3.Теорема о собственных числах самосопряженного операто-

ра. Собственные числа самосопряженного оператора вещественны.

6.4.Теорема о диагонализуемости самосопряженного оператора.

Существует ортонормированный базис, в котором матрица данного самосопряженного оператора диагональна.

6.5.Билинейной формой называется функция B : V × V → F , удовлетворяющее свойствам B(αu + βv, w) = αB(u, w) + βB(v, w) и B(w, αu + βv) = αB(w, u) + βB(w, v). Билинейная форма B называется

симметричной, если B(u, v) = B(v, u) для любых u, v V .

13

6.6. Матрицей билинейной формы B в базисе f = (f1, . . . , fn) назы-

вается такая матрица Bf , что B(u, v) = uTf Qf vf для любых u, v V . (Нетрудно доказать, что такая матрица существует, а ее элемент в позиции (i, j) равен B(fi, fj).)

6.7. Квадратичная форма. Пусть B – симметричная билинейная форма на V . Функция Q : V → F , заданная формулой Q(v) = B(v, v) называется квадратичной формой, ассоциированной с B.

Для несимметричной билинейной формы A можно взять ее симметри-

зацию

B(u, v) = 12 A(u, v) + A(v, u)

так, чтобы A(v, v) = B(v, v).

По форме Q можно восстановить форму B с помощью поляризации:

B(u, v) = 12 Q(u + v) − Q(u) − Q(v) .

6.8. Матрицей квадратичной формы Q в базисе f = (f1, . . . , fn) на-

зывается такая матрица Qf , что Q(v) = vfT Qf vf для любого v V . (Нетрудно доказать, что такая матрица существует, а ее элемент в позиции (i, j) равен B(fi, fj), где B – ассоциированная с Q симметричная билинейная форма.) Другими словами, матрица квадратичной формы – это матрица ассоциированной с ней симметричной билинейной формы.

Если Q(x) = P aijxixj – квадратичная форма в Rn, то элементы мат-

16i6j6n

рицы формы Q в стандартном базисе равны: (Qe)ii = aii, а (Qe)ij = 12 aij при i 6= j.

6.9. Преобразование матрицы квадратичной формы при замене

Q : V → F – квадратичная форма.

6.10.Приведение квадратичной формы к диагональному виду.

Пусть Q квадратичная форма на линейном пространстве V (над произвольным полем, в котором 1 + 1 6= 0). Существует базис, в котором матрица квадратичной формы Q диагональна.

6.11.Приведении квадратичной формы к диагональному виду ортогональным преобразованием. Пусть Q квадратичная форма на евклидовом пространстве V . Существует ортонормированный базис, в котором матрица квадратичной формы Q диагональна.

14