Материал: sb000037

Запишем столбцы координат: L(e1) = (0, 8, 4)T ; L(e2) = (−2, 5, 0)T ;

L(e3) = (−4, 0, −5)T .

Задача 8. Матрица оператора проектирования.

Вычислить матрицу линейного оператора A, проектирующего вектора трехмерного геометрического пространства V на плоскость P : 3x −y = 0

вательно, V раскладывается в прямую сумму: V = P ` (см. определение 1.15). Значит, объединение базисов плоскости и прямой есть базис в V . Находя базис пространства решений однородной системы (см. задачу 2), выберем базис плоскости: f1 = (0, 0, 1)T ; f2 = (1, 3, 0)T и базис прямой: f3 = (1, 1, −1)T . Матрица оператора A может быть легко составлена в

(см. 3.4, а также задачу 7).

Составим матрицу перехода от стандартного базиса e к базису f и найдем обратную к ней:

(подробнее о нахождении матриц перехода см. пункт 1 задачи 9). Для того чтобы найти матрицу оператора проектирования в стандартном базисе

25

осталось воспользоваться формулой 3.5, связывающей матрицы оператора в различных базисах:

Задача 9. Вектора и операторы в R3.

Пусть e – стандартный базис в R3, f1 = (1, 1, −1)T , f2 = (−1, −1, 2)T ,

f3 = (−2, −1, 0)T . Даны линейные операторы A и B, имеющие в базисе e следующие матрицы:

ивектор x c координатами xe = (1, 7, 9)T .

1.Проверьте, что f = (f1, f2, f3) – базис в R3 и найдите матрицы перехода Ce→f , Cf→e.

2.Определите координаты вектора y = A ◦ B(x) в базисе f.

3.Обратимы ли операторы A и B?

4.Найдите матрицы оператора A−1 в базисах e и f.

5.Найдите размерность ядра и образа оператора B.

6.Постройте ортонормированный базис ядра и образа оператора B.

7.Найдите собственные числа и собственные вектора операторов A и B.

8.Выпишите матрицы операторов A и B в базисе из собственных векторов.

тора f1, f2, f3 образуют базис в R3 тогда и только тогда, когда матрица C обратима. Так как нам все равно придется вычислять обратную к C матрицу, то доказывать сейчас, что она существует (например считать определитель C), не обязательно. Для матрицы перехода выполнено соотношение (e1, e2, e3)Ce→f = (f1, f2, f3), то есть составленная нами матрица C и есть Ce→f . Матрица обратного перехода может быть получена исходя из соотношения Cf→e = Ce−→1f . Найдем обратную к C матрицу методом

26

Гаусса:

−2 4 1

откуда Cf→e = −1 2 1 .

−1 1 0

2. Cначала найдем координаты вектора y в базисе e, а затем, с помощью уже известной нам матрицы перехода Cf→e, найдем его координаты в базисе f. Матрица композиции операторов A ◦ B в базисе e равна произведению матриц операторов Ae и Be. Тогда

ye = AeBexe = (15, 15, −75)T = 15(1, 1, −5)T ,

а yf = Ce→f ye = 15(−3, −4, 0)T . Ответ: yf = (−45, −60, 0)T .

Замечание 1. При вычислении произведения AeBexe выгоднее сначала умножить Be на xe, а потом Ae на результат предыдущей операции (посчитайте количество умножений!).

3. Оператор обратим тогда и только тогда, когда его матрица (в любом базисе) обратима, то есть ее определитель не равен 0.

а det Be = 0, так как две последние строки матрицы Be одинаковы.

Ответ: A – обратим, B – нет.

4. В предыдущем пункте мы выяснили, что оператор A обратим. Матрица обратного оператора A−1 в базисе e является обратной к Ae. В данном случае целесообразно разыскивать обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. Получаем

Для того чтобы найти матрицу оператора A−1 в базисе f, воспользуемся формулой, связывающей матрицы оператора в различных базисах

(см. 3.5):

27

Можно, конечно, сначала найти матрицу оператора A в базисе f, а затем искать обратную к ней.

Замечание 2. Мы воспользовались вычислением определителя формулой разложения по столбцу, а при нахождении обратной матрицы алгебраическими дополнениями, потому что матрица Ae неудобна для ручного счета методом Гаусса (нет ни одной единицы, с помощью которой можно было бы легко получить нули). Для матриц 2 на 2 или 3 на 3 количество вычислений при таком подходе ненамного больше, чем при использовании метода Гаусса. Однако, никогда не пользуйтесь такого рода вычислениями для матриц более высокого порядка!

5.Поскольку образ оператора умножения на матрицу есть линейная оболочка столбцов матрицы, то задача отыскания размерности Im B сводится к нахождению ранга матрицы Be. Вычисления показывают, что dim Im B = rank Be = 2. Сумма размерностей ядра и образа линейного оператора равна размерности пространства, в котором он действует. Так как оператор B действует в R3, то dim Ker B = 1.

6.Осуществляя элементарные преобразования над столбцами мат-

рицы Be, также как и в задаче 1 найдем базис образа оператора B:

Ортогонализуя столбцы g1, g2 положим

h1 = g1 и h2 = g2 − (g2, h1) h1 = (−5, 0, 0)T (h1, h1)

(мы намеренно изменили естественный порядок столбцов g1 и g2, чтобы упростить вычисления). Осталось нормировать вектора h1 и h2. По фор-

28

Ядро оператора B совпадает с пространством решений однородной системы Bex = 0. Решим эту систему методом Гаусса. Найдем вектор (2, 5, 6)T , образующий базис ядра (см. задачу 2). Так как он один, то ортогонализовывать нечего. Нормируем его. Окончательно, ортонормированный базис Ker B состоит из одного вектора √165 (2, 5, 6)T .

7. Составим характеристический многочлен оператора A:

составлено так, что характеристический многочлен имеет целые корни, иначе пришлось бы задействовать приближенные вычисления или материал, не входящий в программу). Нетрудно заметить, что отрицательные числа не могут быть корнями многочлена χA. Проверяя по очереди положительные делители числа 224, находим корень λ1 = 4. Разделив χA(λ) на λ−4 получаем χA(λ) = (λ−4)(−λ2 +15λ−56), откуда находим остальные корни: λ2 = 7 и λ3 = 8

Замечание 3. На самом деле подстановку числа в многочлен лучше производить по схеме Горнера, пользуясь тем фактом, что p(α) равно остатку от деления p(t) на (t − α). При таком подходе разложение многочлена на множители получается автоматически, как только найден его корень. Кроме существенного сокращения вычислений, схема Горнера имеет еще одно преимущество – ее очень легко программировать.

Собственные числа – это корни характеристического многочлена. Значит, оператор A имеет три собственных числа: λ1 = 4; λ2 = 7 и λ3 = 7. Собственное подпространство, отвечающее собственному числу λ, представляет собой пространство решений однородной системы (A−λE)x = 0.

29