Дипломная работа: Разработка оптимальной модели ценообразования акций компаний из технологического сектора

Говоря о других предпосылках, можно выделить две ключевые: во-первых, доходности портфелей должны определяться их коэффициентами бета, и, во-вторых, альфы портфелей должны быть вблизи нуля. В первом случае будет построена регрессионная модель для каждого портфеля с истинной доходностью в периоде t в качестве зависимой переменной и предсказанной в периоде t-1 доходностью для периода t - в качестве независимой переменной. Всего будет 58 наблюдений (ввиду особенностей анализа первого и последнего месяцев).

Альфа - это разность между действительной доходностью портфеля и его предсказанной доходностью для данного периода.

Если окажется, что на горизонте в 58 месяцев портфели с малыми бетами будут иметь высокие альфы, то гипотеза о существовании феномена betting against beta (BAB) подтвердится для компаний технологического сектора. Значимость коэффициентов альфа будет определяться через регрессию с использованием панельных данных.

Часть 1.2 Построение портфелей и результаты тестирования

Из 100 акций индекса NASDAQ для портфельного анализа были извлечены 93 акции. Это связано с тем, что 6 компаний начали торговаться на бирже позже 15 февраля 2013 года, а одна компания разделила фирму на две обособленные компании, разделив и акции. Распределение по портфелям следующее: 19, 18, 18, 19, 19 для портфелей с первого по пятый в порядке возрастания беты.

Далее для каждого портфеля были рассчитаны средние значения доходностей и беты. Так акции имеют разные котировки в абсолютном выражении, портфели составлялись таким образом, чтобы доля каждой акции в портфеле была равна одной девятнадцатой или одной восемнадцатой. Это сделано для лучшей диверсификации. Таким образом, доходности и беты можно усреднять, не используя веса или иные коэффициенты. После усреднений по месяцам для каждого портфеля были рассчитаны коэффициенты альфа, доходности, прогнозируемые CAPM и коэффициент детерминации по формуле 3. Замечу, что доходности не переведены в годовое выражение, а остаются месячном исчислении для портфелей.

Результаты представлены в таблице 1.

Таблица 1 Результаты тестирования CAPM

Может возникнуть вопрос, как получилось, что у всех портфелей альфы выше нуля. Ведь по определению все акции рынка в сумме должны расти с той же скоростью, что и сам рынок. Ответ в том, что, во-первых, здесь представлены акции только высокотехнологических компаний, которые обгоняют по росту S&P 500. Во-вторых, здесь акции не взвешены по капитализации компаний. Возможно, на рынке все еще наблюдается эффект опережающего роста компаний малой капитализации, которые, имея тот же вес, что и крупные компании, толкают доходность портфеля вверх. Данная тема требует отдельного анализа за рамками данной работы. Если рассмотреть весть рынок S&P 500, построить 10 портфелей по 50 компаний в каждом и получить среднюю альфу отличную от нуля, то может оказаться, что какая-то категория акций или двигает рынок вверх, или тормозит его сильнее, чем остальные. Возможно, включение новой переменной, отражающей данную категорию в CAPM даст прирост в качестве прогнозирования доходности.

Как и ожидалось в соответствии с гипотезой betting against beta, Портфель с самыми низкими бетами перегнал прогнозируемую для него доходность на 1,15 п.п. Так как рынки NASDAQ и S&P не идентичны, то важнее не абсолютное значение альфы, а ее убывание или возрастание по рангам портфелей. Однако здесь мы видим, что наименее выигрышным по всем параметрам, включая альфу и среднюю доходность оказался портфель со средними бетами. «Высокие беты» показали как самые высокие доходности за анализируемый период, так и умеренно положительные альфы.

Осталось проверить значимость данных коэффициентов. Был проведен регрессионный анализ с использованием панельных данных по пяти группам за 58 месяцев. Зависимая переменная - альфа, независимая - бета. Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 2 Результат анализа панельных данных

В первую очередь стоит обратить внимание на результаты between-регрессии. Предполагается, что зависимая переменная - это среднее значение коэффициентов альфа по месяцам. Аналогично - со значениями независимых переменных. Потому формулу предполагаемой зависимости можно представить следующим образом:

(5)

где A - это матрица коэффициентов регрессии, которая в данном случае является вектором, так как регрессор один, а выведено за пределы произведения.

Коэффициент детерминации для between-регрессии рассчитывается по формуле 5.

(6)

где - это оценка среднего значения коэффициента альфа i-го портфеля, которая была получена на основе МНК-регрессии.

Оказалось, что, усреднив доходности и беты по месяцам, номер портфеля, определяемый зависимостью от рынка, может объяснить альфы на 21,6%. Не особенно высокий результат, и от нуля он значимо не отличается (P-значение = 0,4304). Тем не менее, усредненные значения предсказывают альфу лучше, чем данные, объединенные в единый пул без разбиения на пять подгрупп (0,0018). Ввиду того, что R-квадрат по within регрессии практически равен нулю, можно заключить, что идиосинкратические различия между портфелями проявляются более значимо и в куда более высокой степени, чем динамические.

Но самое интересное, что есть в первой таблице - это коэффициенты детерминации, так как они крайне высокие для трех средних портфелей. Напомню, что доходности для следующего месяца инвестор прогнозирует только по информации на коне текущего месяца. Это означает осуществимость данной модели на бирже, ради чего и пишется данная работа.

Рисунок 5. Сравнение прогнозируемой и реализуемой доходности для второго портфеля

Данный результат уже достаточно неплохой в плане прогнозирования доходностей акций с умеренными бетами. Но видно, что прогнозируемые доходности не лучшим образом стыкуются во время крупных подъемов и падений. В решении этой проблемы нам и должен помочь анализ на основе Tail risk методологии, который оперирует экстремальными значениями.

Также замечу, что если построить регрессию по второму портфелю с независимой переменной - реализованной доходностью и зависимой - доходностью, прогнозируемой CAPM, то мы получим значимую на 0,1%-ом уровне константу, равную 0,786 и множитель, равный 1,277, с t-статистикой, равной 15,89. Коэффициент детерминации для данного портфеля поднимается до 0,818. Если удастся в ходе применения других методологий поднять его на 7-10 п.п., можно будет говорить о крайне успешном анализе рынка NASDAQ.

Часть 1.3. Выводы к первой главе

В конце данной главы можно заключить, что лучше всего объясняются рынком портфели с умеренно низкими, средними и умеренно высокими бетами. Портфель с низкими бетами показывает доходность, существенно превышающую предсказанную, но плохо предсказывается. Портфель с высокими бетами показывает высокую доходность, но тоже плохо объясняется рынком. Потому при дальнейшем анализе я сфокусируюсь на трех портфелях, так как у них уже есть база. Если результат будет неудовлетворительным, перейду к другим портфелям.

Глава 2. Tail risk анализ

Часть 2.1. Описание модели и методология

В основе tail risk анализа лежит предположение, что какие-то категории акций по разным причинам могут быть чувствительны к экстремально низким доходностям на всем рынке. Есть несколько концепций, где применяется данная парадигма, одна из которых основана на анализе рынка в промежутках по месяцам. Так как это достаточно большой промежуток времени, то становится неочевидно, насколько хорошо рынок или какие-то определенные акции успеют отреагировать на изменение в уровне отрицательных доходностей. В моем случае сначала будут браться доходности 100 акций за месяц (21 торговый день) и ранжироваться от самых низких до самых высоких. Потом будет сформирована под-выборка из 10% самых низких доходностей (210 штук). Пример представлен на рисунке 6, где 10% самых низких доходностей окрашены красным цветом. Здесь берутся данные за 15 января - 15 февраля 2018, когда на рынке происходила корректировка цен на бумаги, поменяв тренд, начавшийся в 2016 году, что можно увидеть на рисунке 4, где доходность по казначейским облигациям росла достаточно быстро, что говорило о недооценке рынком отсутствие риска. Потому с 26 января по 5 февраля NASDAQ100 просел не 7,5%. Отсечение происходит на доходности примерно равной -3,17%. Назовем это число буквой U. Это число будет своим для каждого месяца. Оно также поможет далее в расчете условной величины риска. Использование числа, отсекающего экстремальные доходности предложил использовать М. Холс. Это так же было вызвано необходимостью избавиться от необходимости знать функцию распределения доходностей. Как будет отмечено в третьей главе, хоть нормальное распределение и близко к распределению доходностей, у второго хвосты тяжелее. Потому инвестор может недооценить риски и прибыли на основе статистических метрик, использующих нормальное распределение в качестве предпосылки. Гипотеза данного метода отражена в уравнении 4.

Рисунок 6. Отсечение 10% самых низких доходностей

Формулируется гипотеза так: вероятность того, что доходность акции в исходном распределении, где содержится 2100 наблюдений, в периоде t+1 (инвестор в периоде t принимает решение для периода t+1) будет меньше некоторого значения r (ось абсцисс на рисунке 6), определяется функцией с постоянной эластичностью, где - число, характерное для всего рынка. - это доступная на данный момент информация. Данное число - лямбда - является эластичностью функции. Данная метрика показала свою пригодность для анализа с использованием данных по финансовым рынкам в исследовании П. Кеарнса и А. Пэйгана. Чем она ниже по модулю, тем меньше падений акций на рынке: малое количество сильно отрицательных доходностей означает тонкий хвост кривой функции с постоянной эластичностью. В англоязычной литературе такое распределение называют Power law (с дополнением Long или Heavy tail). Пример такой функции представлен на рисунке 7.

Рисунок 7. Функция с постоянной эластичностью для данных из 15 января - 15 февраля 2018. Р - это значение накопленной вероятности из исходного распределения с 2100 значениями доходностей

Начальная точка находится на уровне (1;10), так как накопленная вероятность, как писал выше, в моем анализе начинается с 10%. А первое значение , потому получается единица. Минимальная доходность была примерно равна , потому частное с числом U получилось равным . Вычисление данного коэффициента эластичности производится по адаптированной формуле Б. Хилла:

На рисунке 7 видно, что немногим меньше одного процента доходностей были ниже , или двойного порога отсечения. Это говорит о крупном падении рынка. В первую очередь, это связано с январским падением высокорисковых ценных бумаг (в значительной степени - акций) на американском рынке. Для сравнения можно снова взглянуть на рисунок 2, где за уходит крайне мало доходностей и уж точно меньше 10%. Потому форма данной функции говорит о величине пертурбаций.

Возникает основной вопрос: как применять данный коэффициент после его расчета? Так как тема достаточно новая и не особенно актуальная в финансовой литературе, то точного ответа не будет. В работе Б. Келли и Х. Янга для портфелей акций искалась чувствительность аналогично модели CAPM. Коэффициенты детерминации у них получились очень низкими: 6,1% на расчетной выборке и 4,5% на тестовой выборке. Тем не менее, провести анализ на рынке NASDAQ необходимо, так как закономерности могут быть другими. К тому же выявление отсутствия предопределенности доходности портфеля отрицательными доходностями рынка - это тоже статистический результат.

Часть 2.2 Tail risk анализ по дневным доходностям

На основе методологии, описанной выше, был получен ряд из 60 наблюдений. Описательные характеристики коэффициентов эластичности представлены в таблице 3.

На рисунке 7 представлен график значений коэффициентов эластичности по месяцам за последние 5 лет. Видно, что в отличии от анализа всего американского рынка акций, здесь не наблюдается высокой автокорреляции. Более того, распределение эластичностей можно назвать нормальным с 15% уровне значимости, что подтверждается тестом Колмоговора-Смирнова. Также нормальность можно проследить по рисунку 8.

Таблица 3 Описательные статистики распределения эластичностей