Материал: Разработка и исследование цифровой модели теплового потока при течении вязкой жидкости в канале с внешними нагревающимися элементами

4.2.2 Метод сеток

Дифференциальные уравнения вида решаются преобразованием их в алгебраические уравнения, называемые дискретными аналогами. Эти уравнения содержат в качестве неизвестных значения φ в выбранных дискретных местоположениях, которые образуют сетку и называются расчетными точками. Вокруг каждой расчетной точки строится контрольный объем, и дискретные аналоги получаются интегрированием уравнения по таким контрольным объемам.

Основная идея метода контрольного объема легка и понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некоторое число контрольных объемов, грани которых показаны штриховыми линиями. После в геометрический центр каждого контрольного объема помещается узловая точка.

Видно, что некоторая расчетная точка «сообщается» с четырьмя соседними через четыре грани контрольного объема. Одна из граней приграничного контрольного объема совпадает с границей расчетной области, а граничная точка помещена в центр грани контрольного объема.

Удобно представлять контрольный объем нулевой толщины для граничной точки.

Границы контрольных объемов должны располагаться так чтобы, они совпадали с разрывами в свойствах материала, источниковых членах, граничных условиях и др.

Существует большое число геометрических величин, которые имеют отношение не к расчетным точкам, а к граням контрольных объемов. Грань с номером i лежит между точками i-1 и i. Другими словами, грань имеет тот же номер, что и ближайшая к ней точка в положительном направлении оси координат, т.е. в направлении увеличения i или j. Частным следствием такого построения контрольных объемов и используемой нумерации является то, что грань I = 2 и точка I = 1 совпадают с левой границей расчетной области.

Границы контрольных объемов должны располагаться так чтобы, они совпадали с разрывами в свойствах материала, источниковых членах, граничных условиях и др.

В соответствии с местоположение расчетных точек (рисунок 4.2) в направлении осей параметры θ и у определяются индексами I и J. Индекс I увеличивается вдоль оси θ, а индекс J - вдоль оси у. Значение I=1 задает сеточную линию на левой границе, в то время как I=L1 указывает на правую границу. Аналогично J=1 и M1 соответствуют нижней и верхней границам. На самом деле во многих местах в программе левая и нижняя граница области называются границами I1 и J1 соответственно, а правая и верхняя - границами L1 и M1. Логичность такого обозначения очевидна. Для удобства введены некоторые дополнительные переменные, определяемые так:

Таким образом, сеточные линии I=2 и L2 являются первыми внутренними линиями сетки вблизи соответствующих границ, а линии I=3 и L3 - вторыми внутренними линиями. Подобными свойствами обладают линии J=M2 и МЗ. Таким образом, в диапазонах I=2, L2 и J=2, М2 задаются все внутренние расчетные точки. Зависимая переменная, например температура, в расчетной точке [I, J] будет обозначаться как Т[I, J]. Граничные значения Т обозначены как Т[1, J], Т[L1, J], Т[I, 1] и Т[I, M1].

Программа разработана для полярной системы координат θ - продольная координата, y,r - координаты в радиальном направлении. Разница между ними заключается в том, что координата r должна измеряться от полюса, в то время как координата y может быть выбрана произвольно.

Существует большое число геометрических величин, которые имеют отношение не к расчетным точкам, а к граням контрольных объемов. Грань с номером i лежит между точками i-1 и i. Другими словами, грань имеет тот же номер, что и ближайшая к ней точка в положительном направлении оси координат, т.е. в направлении увеличения i или j. Частным следствием такого построения контрольных объемов и используемой нумерации является то, что грань I = 2 и точка I = 1 совпадают с левой границей расчетной области.

Дифференциальные уравнения законов сохранения массы, энергии, количества движения интегрируют по каждому объему. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения в нескольких узловых точках.

Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения для конечного контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объема. Одним из важных свойств метода контрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа [1].

Именно этот метод и будет использован в дальнейшей работе.

4.3 Полярная система координат

Поставленная задача решена с применением полярной системы координат. Все вычисления произведены в полярных координатах без перевода их в декартовые.

Полярная система координат - двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами - полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается φ, равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Одной из важных особенностей полярной системы координат является то, что одна и та же точка может быть представлена бесконечным количеством способов. Это происходит потому, что для определения азимута точки нужно повернуть полярную ось так, чтобы он указывал на точку. Но направление на точку не изменится, если осуществить произвольное число дополнительных полных оборотов.

Углы в полярных координатах задаются либо в градусах, либо в радианах. Выбор, как правило, зависит от области применения. В навигации традиционно используют градусы, в то время как в некоторых разделах физики, и почти во всех разделах математики используют радианы.

4.4 Обобщенное дискретное уравнение

Значения обобщенной зависимой переменной φ сохраняются в расчетных точках. Дискретное уравнение связывает значение φ в одной расчетной точке со значениями ее в четырех соседних точках. Такое уравнение получается при интегрировании уравнения по контрольному объему, содержащему точку (i, j).

Типичный контрольный объем показан на рисунок 4.5. Проинтегрировав по нему уравнение (2.2), получим

В формуле (4.1) верхний индекс «0» обозначает известное значение φ в начале шага по времени Δt; J - плотность диффузионного потока через грань контрольного объема;  - осредненный по контрольному объему источниковый член; A, ΔV - площадь грани и контрольный объем.

Диффузионные потоки па гранях контрольного объема e и w могут быть рассчитаны следующим образом:

где De - проводимость между точками P и E, которая вычисляется по значениям Г в этих точках. Зная размеры δxе- и δxе+, можно рассчитать De, по формуле

Аналогичным образом определяются значения D на других гранях. Проводимость  зависит от площади грани контрольного объёма .

Так как источниковый член S может зависеть от φ, желательно учесть эту зависимость в линеаризованной форме. С этой целью S записывается в виде

где SP - коэффициент при φP; Sc - постоянная часть, которая от φР явно не зависит.

Когда нет необходимости в линеаризации, следует положить Sp равным пулю, а Sc приравнять к . В любом случае Sp никогда не должно иметь положительного значения.

Подстановка вышеприведенных выражений для J и S в (4.1) приводит к окончательной форме дискретного аналога. Он записывается в виде

где

Здесь проводимости De, Dw, Dn и Ds определяются в виде (4.3).

.5 Представление граничных условий

Для каждой приграничной расчетной точки соответствующая граничная точка является соседней. Поэтому для граничной точки должно быть задано или значение зависимой переменной, или уравнение для его отыскания. Так как для всех четырех границ расчетной области граничные условия реализуются одинаковым образом, рассмотрим только левую границу. Представим два типа реализации граничных условий.

.5.1 Первый порядок аппроксимации

На рисунке 4.6 показана окрестность граничной точки (i,j). Грань контрольного объема при i = 2, совпадающая с левой границей области, может рассматриваться лежащей между точками с φ1 и φ2, если вокруг точки с φ1 представить контрольный объем бесконечно малой толщины. Тогда плотность потока J2 на левой границе задается формулой (4.2). Удобно переписать ее в виде

На рисунке 4.6 видно, что описанный выше способ вычисления плотности потока J2 на границе соответствует односторонней схеме, так как грань лежит не посередине между точками с переменными φ1 и φ2, что дает не очень точные результаты. Так как представление граничных условий сильно влияет на все решение и значения плотностей потоков на границе часто являются важным результатом расчетов, то желательно получить более точную формулу для их определения.

.5.2 Второй порядок аппроксимации

Формула более высокого порядка аппроксимации может быть получена, если считать, что плотность диффузионного потока меняется линейно между гранями контрольного объема. Предполагаемое распределение J между точками 1 и 2 описывается формулой

где

Проинтегрируем выражение (4.14) по х для получения профиля φ. Интегрирование производится только по области, лежащей между точками 1 и 2, где Г имеет постоянное значение. Возникающая при интегрировании константа находится из условия

φ = φ1 при х - х1 = 0

φ = φ 2 при х - х1, = δ.

Использование этого условия после некоторых алгебраических преобразований приводит к выражению

Обобщенная форма этого выражения (4.18) имеет вид

Если множитель β = 4/3, получаем выражение (4.18). При β = 1 это выражение приводит к аппроксимации первого порядка точности, заданной формулами.

Выражение для J3 с учетом (4.2) может быть записано в виде

где D3 - соответствующая проводимость между точками с переменными φ 2 и φ3.

Дискретный аналог для приграничного контрольного объема с индексами узловой точки (2,J) должен быть основан на выражении (4.19) для плотности потока J2 через его левую грань, а не на (4.19). В результате коэффициенты aW(2) и aE(2) записываются в виде:

Исходя из (3.12), выражение для плотности диффузионного потока J2 может быть записано в виде

где

Итак, выражения (4.23) - (4.25) могут быть использованы для обоих вариантов аппроксимации граничных условий при соответствующем выборе значении β:

второй порядок аппроксимации при β = 4/3;

первый порядок аппроксимации при β =1.

Индикатор граничных условий.

Тип граничных условий на левой, правой, нижней и верхней границах расчетной области определяется индикаторами KBC. В случае КВС=1 на границе известно значение φ.

Когда известно значение зависимой переменной φв на границе, то необходимо приравнять ее к постоянному члену b дискретного уравнения. Таким образом, если KBC=1, то необходимые изменения заключаются в следующем:

5. Компьютерные методы решения

.1 Выбор и обоснование программного инструмента

В настоящее время программирование бурно развивается, как с точки зрения расширения круга решаемых им задач, так и с точки зрения существенного усложнения используемых в программировании технологий. Причем особо необходимо отметить немалые размеры разрабатываемых программных продуктов. Все это требует максимального упрощения и ускорения процесса разработки приложений и использования ранее реализованных программных фрагментов.

Такие требования к современному программированию привели к созданию многочисленных RAD-систем (от англ. RAD - Rapid Application Development - быстрая разработка приложений), представляющих собой интегрированные среды разработчика, включающие в себя: