Материал: Разработка и исследование цифровой модели теплового потока при течении вязкой жидкости в канале с внешними нагревающимися элементами

Критерий подобия числа Рейнольдса позволяет судить о режиме течения жидкости в трубе. При малых значениях числа Рейнольдса () наблюдается ламинарное течение, переход от ламинарного течения к турбулентному происходит в области , а при  (для гладких труб) течение - турбулентное. Если число Рейнольдса одинаково для разных жидкостей, то и режим течения таких жидкостей в трубах разных сечений одинаков.

Формула, по которой определяется число Рейнольдса в канале любой геометрии [16],

где - скорость,  - гидравлический диаметр, Π - смоченный периметр,

 - кинематическая вязкость,  - динамическая вязкость.

Гидравлический диметр при конфигурации канала, когда сечение представляет собой кольцо [15]:

где Π - смоченный периметр, D и d - внешний и внутренний диаметр трубы.

.4 Теплообмен

Теплообмен - это самопроизвольный необратимый перенос теплоты (точнее, энергии в форме теплоты) между телами или участками внутри тела с различной температурой. В соответствии со вторым началом термодинамики теплота переносится в направлении меньшего значения температуры. Теплообмен существен во многих процессах нагревания, охлаждения, конденсации, кипения и оказывает значительное влияние на массообменные процессы [19].

Движущиеся среды, участвующие в теплообмене и интенсифицирующие его, называются теплоносителями (обычно капельные жидкости, газы и пары). Известны два основных способа проведения тепловых процессов: путем теплоотдачи и теплопередачей.

Теплоотдача - теплообмен между поверхностью раздела фаз (чаще твердой поверхностью) и теплоносителем.

Теплопередача - теплообмен между двумя теплоносителями или иными средами через разделяющую их твердую стенку либо.

Различают три разных механизма распространения теплоты: теплопроводность, конвективный и лучистый перенос.

Теплопроводность - перенос энергии от более нагретых участков тела к менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия микрочастиц (атомов, молекул, ионов и др.). В чистом виде теплопроводность может встречаться в твердых телах, не имеющих внутренних пор, и в неподвижных слоях жидкостей, газов или паров. Количество переносимой теплопроводностью энергии, определяемое как плотностью теплового потока qT [Вт/(м2• К)], пропорционально градиенту температуры (закон Фурье):

где λ - коэффициент теплопроводности, характеризующий его способность проводить теплоту, Вт/(м•К); знак минус указывает направление переноса теплоты в сторону снижения температуры.

Численная характеристика теплопроводности материала равна количеству теплоты, проходящей через материал площадью 1 кв.м за единицу времени (секунду) при единичном температурном градиенте.

С повышением температуры теплопроводность жидкостей, за исключением воды, уменьшается, а для всех других тел увеличивается.

Конвективный перенос теплоты - перенос физической теплоты перемещающихся нагретых жидкостей, газов, паров. В наиболее распространенном случае, когда существен лишь перенос внутренней энергии, а переносом механических и потенциальных видов энергии можно пренебречь, плотность теплового потока за счет конвективного переноса составляет:

где w - вектор скорости текучей среды; ρ, С, Т - плотность, теплоемкость и температура среды.

Плотностью жидкости или газа называется количество массы, заключающейся в единице объема. Для определения плотности вещества нужно массу тела m разделить на его объем. Размерность плотности - кг/м3 (система единиц СИ).

Теплоёмкость - физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты δQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры δT.

Единицей СИ для удельной теплоёмкости является джоуль на килограмм-цельсий. Следовательно, удельную теплоёмкость можно рассматривать как теплоёмкость единицы массы вещества. На значение удельной теплоёмкости влияет температура вещества.

В большинстве случаев значения w, ρ, С и Т потоков теплоносителей таковы, что в направлении движения конвективный перенос преобладает над теплопроводностью. Однако при малых скоростях течения высокотеплопроводных жидкостей (расплавов металлов) может наблюдаться обратное соотношение.

По мере приближения к твердой поверхности, где скорость вязких жидкостей стремится к нулю, qт и qk также становятся сравнимы по величинам. При ламинарном режиме течения в направлении, поперечном движению, конвективный перенос отсутствует.

3. Математическая постановка задачи

.1 Обобщенная математическая постановка задачи

Применение первого закона термодинамики к бесконечно малому контрольному объему в твердом теле или в неподвижной среде приводит к известному уравнению теплопроводности [1].

Обозначив три пространственные переменные через декартовы координаты х, у, z и время через t, можем записать уравнение теплопроводности в виде

где ρ - плотность, с - удельная теплоемкость.

В этом уравнении величины ρ, с, k могут зависеть от х, у, z, t и быть функциями температуры Т.

Уравнение теплопроводности является прямым следствием закона сохранения, представленного первым законом термодинамики, и пропорциональности плотности потока градиенту температуры. Существует множество других физических процессов, при которых соответствующая плотность потока некоторой величины пропорциональна градиенту этой величины и для которых существует закон сохранения. Отсюда следует, что эти процессы будут описываться дифференциальными уравнениями, аналогичными (3.1).

К подобным процессам можно отнести диффузию химических компонент, движение заряженных частиц в электромагнитном поле, течение в пористых материалах, потенциальные течения, перенос тепла и влаги в почве, а также полностью развитые течение и теплообмен в каналах. Построив вычислительную процедуру для решения уравнения (3.1), мы сможем применить ее и для любого аналогичного процесса, просто придавая новый смысл величинам Т, k и др. Например, можно интерпретировать Т как концентрацию, k как коэффициент диффузии и т.п. Удобнее работать с таким обобщенным дифференциальным уравнением, так как уравнение теплопроводности и другие аналогичные уравнения станут его частными случаями. В дальнейшем будем основываться на подобном обобщенном дифференциальном уравнении [2].

3.2 Дифференциальное уравнение для обобщенной переменной

Обозначим через φ зависимую переменную в обобщенном дифференциальном уравнении. Градиент φ приводит к соответствующему диффузионному потоку. Таким образом, плотность диффузионного потока Jx в направлении х задается в виде:

где Г - обобщенный коэффициент диффузии.

Обобщенное дифференциальное уравнение, представляющее закон сохранения для φ, может быть записано в виде

где λ - величина, подобная объемной теплоемкости.

Сравнивая уравнение теплопроводности (2.1) с обобщенным дифференциальным уравнением (2.3), заключаем, что для того чтобы обобщенное уравнение описывало процесс теплопроводности, нужно сделать следующую замену: φ = Т, λ = ρс, Г = k,

В общем случае для значения φ существуют соответствующие значения величин λ, Г. В простой задаче эти величины могут быть постоянными, но в общем случае нет ничего необычного в том, что они зависят от пространственных координат и времени, а также от самой переменной φ.

Обобщенное дифференциальное уравнение (2.3) записано в декартовой системе координат. Более компактно оно может быть записано:

где применено соглашение о суммировании по повторяющемуся индексу. Например, для трехмерного случая можно записать

здесь х1, х2 и х3 - декартовы координаты (х, у и z) по трем направлениям. Будем называть три члена уравнения (2.5) нестационарным, диффузионным и источниковым членом соответственно.

В более общем виде выражение для плотности диффузионного потока (2.2) может быть записано следующим образом [3]:

где Ji - плотность диффузионного потока в направлении координаты хi.

Диффузионный член в (2.5) удобно представить в виде:

Для двумерной задачи, сформулированной в полярных системах координат, выражение для  будет иметь вид:

Плотности потоков  соотносятся с градиентом φ следующим образом:

Уравнение для стационарного медленного течения в канале записывается в виде

где ср - удельная теплоемкость при постоянном давлении; k - теплопроводность жидкости. Левая часть (2.10) соответствует конвективному переносу в канале, а члены правой части описывают теплопроводность в жидкости. Так как обычно перенос тепла вдоль оси z очень мал по сравнению с переносом в поперечном его сечении, то последним членом в уравнении (2.10) можно пренебречь.

При простом полностью развитом течении в канале поперечные скорости и и v равны нулю, поэтому (2.10) упрощается и принимает вид

Уравнение (2.11) соответствует стационарной форме обобщенного дифференциального уравнения при следующей замене:

4. Методы решения

.1 Выбор метода решения

Известны [16] несколько основных типов численных методов, применяемых для решения уравнений теплопроводности:

–     Метод конечных разностей;

–    Метод контрольного объема;

–    Метод конечных элементов.

Получить аналитическое решение уравнений описывающих явления гидродинамики, как правило, не представляется возможным. В связи с этим используются численные методы. Все методы включают два этапа.

– На первом этапе все дифференциальные уравнения сводятся к алгебраическим уравнениям относительно значений искомых переменных (скорости, давления, температуры и т.п.) в конечном числе точек в пределах области решения. Этот этап называют дискретизацией уравнений

– На втором этапе производится решение алгебраических выражений с помощью соответствующего численного метода.

Различные типы численных методов вычислительной гидродинамики используют свои способы дискретизации основных уравнений.

Каждый из упоминавшихся выше численных методов имеет свои преимущества и недостатки. Преимуществами метода контрольных объемов являются:

·    Простота применения к расчетным областям произвольной формы

·    Наличие отработанных алгоритмов

·    Ошибка дискретизации падает с ростом числа вершин

·    Основное внимание уделяется балансу потоков через контрольные объемы

·    Автоматическое выполнение законов сохранения

Граничные условия

Для численного моделирования требуется задание значений зависимых переменных или их нормальных градиентов на границах расчетной области. Граничные условия для нашей задачи были определены при постановке задачи.

Решение дискретных аналогов уравнений не может быть получено, если граничные условия не заданы. Граничные условия делятся на два типа - с известными значения на границе (задача Дирихле) и известными нормальными градиентами на границе (задача Неймана).

Начальные условия

Для нестационарных задач перед началом расчета необходимо задать значения всех искомых переменных во всей области потока в начальный момент времени.

Источники ошибок

В общем случае существует три основных первопричины ошибок:

·    Допущения, принимаемые при построении математической модели

·    Аппроксимации при дискретизации уравнений

·    Отсутствие сходимости в процессе решения

О принимаемых допущениях говорилось ранее - они связаны с неточным описанием реальных физических явлений используемыми уравнениями. К этой же категории можно отнести аппроксимацию геометрии и граничных и начальных условий.

Ошибки дискретизации являются результатом применения аппроксимирующих соотношений для расчетов потоков через грани ячеек и источниковых членов в пределах ячеек.

Под отсутствием сходимости в данном случае подразумевается невозможность получения решения дискретных алгебраических уравнений с желаемой точностью. (Стремление численного решения к точному при последовательном измельчении сетки также часто называется сходимостью).

жидкость математический температура цифровой

4.2 Методы решения дифференциальных уравнений

Для решения задач математической физики, не поддающихся аналитическим решениям, используют численные методы, позволяющие аппроксимировать исходные дифференциальные уравнения. Развитие ЭВМ привело к появлению различных численных методов решения уравнений математической физики. Кроме того, за время развития вычислительных методов наметилась их специализация по отраслям приложения. Так, например, при моделировании глобальных атмосферных процессов и при решении акустических задач отдается предпочтение спектральным методам; методы конечных элементов применяются сейчас, в основном, для решения задач механики сплошной среды. Для решения проблем теплообмена и механики жидкости и газа используются как метод конечных разностей, так и метод контрольных объемов [12].

4.2.1 Метод конечных разностей

На рисунке 4.1 изображено разбиение одномерной расчетной области на узловые точки.

Конечно-разностный метод основан на замене производных дифференциального уравнения физического процесса в точке на конечные разности. Производные аппроксимируются разложением в ряды Тейлора. Для аппроксимации производной в точке 2 разложим исследуемую переменную Φ в ряд Тейлора в точках 1 и 3

Пренебрегая остаточным членом Rn(x) обоих рядов, вычитая и складывая уравнения, получим:

Заменяя производные в исходном дифференциальном уравнении в соответствии с (2.6), получаем разностный аналог, записываемый в виде системы алгебраических уравнений.

Данный метод не учитывает физической картины процесса, а наличие остаточного члена в ряде Тейлора и предположение о полиномиальном характере изменения зависимой переменной, приводит к нежелательным последствиям, например, для случая экспоненциального изменения переменной. Этим методом решается значительное количество практических задач газовой динамики и диффузии (теплообмена), однако в ряде случаев конечно-разностный метод не подходит для решения уравнений математической физики. Так, для решения дифференциальных уравнений с разрывными коэффициентами в конечно-разностном методе применяют схему с искусственной вязкостью, метод характеристик и дивергентные схемы. Указанные разновидности конечно-разностного метода применяются для задач гидро- и газодинамики [2].