20. Распределение амплитуд
Рассмотрим теперь распределение амплитуд волн при тензорной магнитной проницаемости барьеров для различных частот. Ограничимся волнами прямого направления, так как проведенное предварительное исследование показало, что волны обратного направления ведут себя подобным же образом, как это имеет место для диэлектриков [2]. Будем рассматривать сильное различие параметров барьеров и промежутков, чтобы яснее выявить характерные особенности. Ограничимся рассмотрением только случаев слабого и сильного затухания, так как в них отражены уже наиболее характерные особенности распределения волн, а случай среднего затухания является промежуточным.
Обратимся к рис.9, где показано распределение амплитуд волн прямого направления в слоях структуры при тензорной магнитной проницаемости барьеров для различных частот.
Рис.9а,б,в (левый столбец) соответствует случаю слабого затухания (), рис.9г,д,е - сильного (). Частоты возбуждения выбраны следующим образом. Для рис.9а и 9г частота располагается несколько ниже частоты , соответствующей началу зоны запрещения, для рис.9в и 9е частота располагается несколько выше значения , соответствующего окончанию зоны запрещения. То есть эти частоты, находясь в пределах зоны разрешения, охватывают зону запрещения в непосредственной близости с обеих сторон. Частота , соответствующая рис.9б, приходится на середину участка, разрешенного при слабом затухании, то есть между и . Напомним, что в этом случае адмиттанс является отрицательным. Частота , соответствующая рис.9д, приходится на середину участка, запрещенного при слабом затухании, но разрешенного при сильном, то есть между и . Таким образом, можно полагать, что здесь охвачены все возможные случаи частот, соответствующих различным условиям распространения волн.
Из рисунка видно, что при всех рассмотренных случаях наблюдаются все те же распределения амплитуд, что и в случае диэлектрической среды [2]. Так рис.9б,в,г,д соответствуют синусоидальному распределению, рис.9а - полусинусоидальному, рис.9д - экспоненциальному.
Из сравнения пар рисунков в горизонтальных рядах, то есть 9а с 9г, 9б с 9д и 9в с 9д можно видеть, что при увеличении параметра затухания амплитуды во всех слоях в общем уменьшаются.
Однако из рисунков, соответствующих синусоидальным распределениям (9б,в,г,д), можно видеть, что при удалении от начала структуры, то есть при возрастании номеров слоев, общий размах амплитуд в соседствующих или последовательных близко расположенных слоях не уменьшается ни при слабом, ни при сильном затухании. Особенно хорошо это видно из рис.9в, где размах амплитуд между слоями №3 и №4 в точности равен размаху амплитуд между слоями №11 и №12 или размах между более удаленными слоями №3 и №6 также равняется размаху между слоями №11 и №14. Аналогичные закономерности легко прослеживаются также из рис.9г, например при сравнении слоев №7 с №8 или №13 с №14.
Рис.9. Распределение амплитуд волн прямого направления при тензорной магнитной проницаемости барьеров для различных частот и параметров магнитного затухания. ; . ; - определяется формулой (107) с учетом (108)-(109).
Параметр затухания: а,б,в - ; г,д,е - . Частоты: а,г - ; б - ; д - ; в,е - . Остальные параметры - те же что на предыдущих рисунках.
Таким образом, можно сделать вывод, что магнитное затухание не приводит к абсолютному затуханию волны по координате, а действует как реактивный параметр, определяя амплитуду лишь в каждом отдельном слое по всей его длине, не меняя амплитуды в соседних слоях. То есть затухание определяет лишь размах и максимальную амплитуду колебаний в соответствующих слоях, а поток энергии, входящий в слой и выходящий из него, остается постоянным.
ЗАМЕЧАНИЕ. Отмеченное здесь отсутствие затухания гиромагнитной волны по координате, несмотря на наличие магнитного затухания в каждом слое, на первый взгляд кажется парадоксальным, однако оно обусловлено неучетом уменьшения амплитуды волны при распространении в среде с потерями. Действительно, здесь магнитные колебания в каждом отдельном слое предполагаются однородными, то есть их амплитуда на обоих границах слоя остается одной и той же. Такое рассмотрение правомерно только в случае достаточно тонких слоев, когда падение амплитуды по толщине слоя незначительно. Критерий такой правомерности должен определяться отдельно для каждой конкретной задачи. В более корректном варианте следует учитывать затухание волны при распространении внутри каждого данного слоя подобно тому, как это сделано в работе [19-22].
21. Баланс потоков энергии
Несколько неожиданным выглядит заметное увеличение амплитуды колебаний на рис.9б, где частота выбрана в интервале, где адмиттанс является отрицательным. Вообще говоря, из аналогии с электротехникой, импеданс представляет собой как бы сопротивление волноведущей среды, тогда как адмиттанс - проводимость. При этом отрицательное сопротивление означает приток энергии в систему в противоположность ее оттоку при сопротивлении положительном. Следуя подобной логике можно полагать, что отрицательный адмиттанс также соответствует притоку энергии, что нарушает закон ее сохранения.
Амплитуда волн обратного направления в условиях рис.9б также велика, так для волн прямого направления размах амплитуды в соседствующих слоях составляет от до , а для волн обратного направления - от до То есть энергия как бы притекает к волнам как того, так и другого направления.
Для разрешения этого парадокса рассмотрим потоки энергии в структуре по отдельности. Прежде всего отметим, что поток энергии волн прямого направления ориентирован в положительном направлении оси (то есть по рисунку слева направо), тогда как поток энергии волн обратного направления ориентирован в отрицательном направлении той же оси (по рисунку справа налево).
При этом в структуру в слое №1 входит один поток - падающий, а выходит два - отраженный в том же слое №1 и проходящий в слое №16. То есть в структуре в целом должен выполняться баланс потоков энергии следующего вида:
, (117)
где - поток энергии падающей волны (прямого направления) в слое №1, - поток энергии отраженной волны (обратного направления) в слое №1, - поток энергии проходящей волны (прямого направления) в слое №16.
Следуя приведенным в работе [2] правилам перехода от одномерной волны к электромагнитной, а также учитывая определение потока энергии для одномерной волны [19-22], получаем потоки энергии распространяющихся волн в виде:
поток энергии, входящий в структуру за счет падающей волны, равен:
; (118)
поток энергии, выходящий из структуры за счет отраженной волны:
; (119)
поток энергии, выходящий из структуры за счет проходящей волны:
. (120)
Рассмотрим теперь численные соотношения потоков энергии в случае положительного и отрицательного адмиттанса.
Так на частоте , где адмиттанс положителен, получаем амплитуды полей: , , , При этом адмиттансы равны: ; . Подставляя в (118)-(120) приведенные выше числовые значения амплитуд полей и адмиттансов, получаем: , ,
Легко проверить, что при таких численных значениях условие (117) выполняется.
На частоте , где адмиттанс отрицателен, амплитуды полей и адмиттансы соответственно равны:
, ,
,
При этом адмиттансы равны:
; .
Потоки энергии при таких численных значениях получаются равными: ,
,
Можно видеть, что и при этих численных значениях условие (117) также выполняется.
Таким образом, можно сделать вывод, что условие баланса энергии на структуре в целом выполняется при любых, как положительных, так и отрицательных значениях адмиттанса.
При этом вопрос о чрезмерном на первый взгляд увеличении амплитуды волн в случае отрицательного импеданса в этом случае математически решается, однако физический смысл отрицательного значения потока энергии , проходящего через структуру, по-видимому, состоит в изменении его направления в соответствии с отрицательным знаком. То есть можно полагать, что здесь имеет место аналогия с распространением обратной волны, в которой направления фазовой и групповой скоростей противоположны [32-38]. Увеличение же амплитуды волн во внутренних слоях структуры по сравнению с амплитудой падающей волны можно трактовать как переход волны из среды более плотной в среду менее плотную (аналогично отмеченному в разделе №5).
ЗАМЕЧАНИЕ. Использованное здесь определение потока энергии как произведения квадрата амплитуды электрического поля на адмиттанс среды, полученное из аналогии с одномерной волной, вообще говоря, относится к потоку, распространяющемуся точно вдоль оси структуры, то есть вдоль оси на рис.1, 4, 5. Для изотропного диэлектрика такое определение соответствует классическому определению потока энергии через вектор Пойнтинга [23-29]. При этом предполагается, что магнитное поле волны перпендикулярно электрическому и по абсолютной величине равно произведению электрического поля на адмиттанс среды. Однако для гиромагнитной волны магнитное поле кроме поперечной имеет также и продольную составляющую, в результате чего вектор Пойнтинга за счет входящего в него векторного произведения отклоняется от оси структуры, приобретая составляющую вдоль оси . В настоящей работе мы полагаем структуру в плоскости бесконечно протяженной, поэтому такую составляющую не рассматриваем.
22. Отражение и прохождение в широком диапазоне частот
Рассмотрим теперь частотные зависимости амплитуд волн в слоях в более широком диапазоне частот, когда характеристики отражения и прохождения определяются как магнитным, так и геометрическим факторами структуры.
Как показано в разделах №17,18, при слабом и среднем магнитном затухании в диапазоне частот появляются запрещение полосы, где распространение электромагнитных волн невозможно. Поэтому можно ожидать, что на общем частотном спектре отражения и прохождения, подобном показанному в работе [2] на рис.6, появятся какие-то провалы, обусловленные упомянутыми полосами запрещения. Более подробное исследование показывает, что на обоих краях таких провалов со стороны разрешенных частот отражение волн стремится к единице, а прохождение - к нулю. В остальных частях разрешенных областей отражение и прохождение определяется конкретными значениями компонент магнитной проницаемости, которые для близки к единице, а для - к нулю. То есть картина распространения волн мало отличается от случая скалярной магнитной проницаемости, причем при сравнительно небольших ее значениях.
С другой стороны, как показано в тех же разделах, при сильном магнитном затухании запрещенные области отсутствуют, так что волна может распространяться во всем интервале частот от нуля до плюс бесконечности (разумеется, в тех пределах, где работают обычные механизмы прецессии намагниченности в гиротропной среде [7-9]). Поэтому дальнейшее рассмотрение посвятим именно случаю сильного магнитного затухания и рассмотрим трансформацию амплитуд в слоях в широком диапазоне частот.
Обратимся к рис.10, где показаны зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а,б) и прямо направленных волн в слоях №15 (в) и №16 (г) от частоты падающей волны при двух различных значениях намагниченности. На рисунке вертикальными пунктирными линиями показаны граничные частоты запрещенной области, то есть и , определяемые формулами (113) и (115), равные соответственно и . Вертикальными точечными линиями показаны частоты, определяемые укладыванием нечетного числа четвертей длин волн на длине одного барьера. Для расчета таких частот в работе [2] предложены две формулы, первая - аналитическая под номером (65):
, (121)
где - порядковый номер максимума, при котором на длине барьера укладывается четвертей длин волн, - скорость электромагнитной волны в свободном пространстве ();
вторая - эмпирическая под номером (66):
. (122)
где полагается .
В рассматриваемом случае вертикальные точечные линии построены по формуле (121) при (частота ) и при (частота ).
В дальнейших расчетах полагаем параметр затухания , то есть, в соответствии с приведенной в разделе №5 оценкой, затухание является сильным.
Итак переходим к рассмотрению рисунка. Случай рис.10а соответствует крайне малой намагниченности барьеров, равной , то есть можно считать, что при этом , . Этот случай приведен здесь для сравнения. Показана амплитуда только волны обратного направления в слое №1, при этом амплитуды волн прямого направления в слоях №15 и №16 равны единице с точностью до То есть можно считать, что от структуры практически ничего не отражается, а вся энергия возбуждаемых волн проходит насквозь. Однако, тем не менее, на частотной характеристике четко выражены два максимума при частотах и . Таким образом, даже при столь малой намагниченности, весьма далекой от условий магнитного резонанса, геометрические резонансные свойства магнитных барьеров, хотя и крайне слабо, но все же проявляются, давая четко выраженные максимумы отражения на частотах, практически точно соответствующих укладыванию нечетного числа четвертей длин волн по длине магнитного барьера (121). В интервале частот, соответствующем полосе непропускания (между пунктирными линиями) каких-либо особенностей не наблюдается.
Рис.10. Зависимости нормированных амплитуд обратно направленной волны в слое №1 (а,б) и прямо направленных волн в слоях №15 (в) и №16 (г) от частоты падающей волны при двух различных значениях намагниченности.
а - ; б,в,г - .
Компоненты магнитной проницаемости определяются формулами (107)-(109).